1、導數教材分析與教學建議導數是新課程增加的內容，隨著課程改革的不斷深入，導數知識在高考中的考查要求也逐年加強，導數已經由前兩年只是在高考中的輔助地位上升為分析和解決問題所必不可少的工具。那么如何恰如其分地進行導數的教學呢？如何將這一研究函數及其性質的先進方法融入學習者原有的知識結構呢？如何組織導數的復習教學呢？一、教材分析1本章教材第一節講導數的概念，它有著什么廣泛的應用，因此是本章教材的一個重點。導數概念是從許多實際問題中概括出來的一個非常抽象的概念，也是本章的難點。教材從切線及其斜率出發引入導數概念，為了便于學生掌握，又按導數定義，對求導數的一般方法規定了三個步驟，接著又闡明了導數的幾何意義

2、及其在求切線方程中的應用。教師在教學過程中要充分利用這些材料幫助學生理解導數概念的實質，對理科班的教學應不失時機地介紹其相關的物理意義，而不要停留在形式地記住定義，會套用三個步驟求函數的導數。然后，不知何故，大綱與考綱存在脫節現象。考試說明在對文科的考察要求上對極限不作要求。受功利的影響，沒有極限的導數便成為無源之水，必然導致導數教學“掐頭去尾燒中段”現象的產生。把主要精力放在了如何求導及簡單應用上，對導數的背景、概念及綜合應用重視不夠。為扭轉這一被動局面，花5課時左右的時間對極限進行教學。有了極限的基礎知識，學生才能逐步領會微積分方法的精神實質，學會用事物在全過程中的發展變化規律來確定它在某

3、一時刻的狀態，這今后學生打下一個良好的基礎。2第二節講求導的方法。當我們想知道一個問題的具體解答時，求導方法無疑是非常重要的。由于僅限于多項式函數的導數，因此，本節只需要求導的二個公式及三條法則，學生定能準確而又熟練的掌握。同時，這些公式和法則的推導過程，既能鞏固導數概念和極限運算法則，又能復習代數式的恒等變形，應充分發揚學生的能動作用。3第三節導數在研究函數方面的應用，應引導學生在定性思考的基礎上給出定量的判斷。對結論的把握要準確：導函數為正（負），函數為增（減）函數，這顯然是判斷函數增減性的充分條件而非必要條件；函數在極值點處的導函數為零，這是函數在該點處取得極值的必要條件。對解題過程的規

4、律要求：求導數解方程列表格寫結論，待學生積累了大量感性認識后再提出更高的要求。二、教學建議1改進一道課本例題人民教育出版社中學數學室編著的全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）數學第三冊（選修）（2001年12月版）P64例2是：已知曲線上一點.求(1)過點P的切線斜率；（2）過點P的切線方程.教科書中的解法是:. ,即過點P的切線斜率為4,從而由點斜式得切線方程為.然而筆者在講解此例時學生提出了如下解法:設所求的切線與曲線相切于點.則切線斜率為,由切點與斜率知切線方程為: ,因所求的切線過點P,故,即,從而,所以切線斜率為4或1，相應的切線方程為或.學生的解法無可非議,這不得不引起筆者的思索

5、.原來 “過曲線上點P的切線”與“曲線在點P處的切線”一般是不同的。曲線在點P處的切線系指曲線上以該點為切點的直線，它是惟一的；而過曲線上點P的切線，除了包括以點P為切點的切線外，還可能出現其它切線.教科書中的解法正是忽略了“過曲線上點P的切線”與“曲線在點P處的切線”間的這種區別,而造成的偏差.一般地,過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條。由于三次曲線都是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標原點便可將三次函數的解析式簡化為。若M（x1，y1）是三次曲線上的任一點，設過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0

6、，y0），則切線方程為，因點M上此切線上，故，又，所以，整理得：，解得，或。綜上所述，當點M是對稱中心即時，過點M作曲線的切線切點是惟一的，且為M，故只有一條切線；當點M不是對稱中心即時，過點M作曲線的切線可產生兩個不同的切點，故必有兩條切線，其中一條就是以M為切點（亦即曲線在點M處）的切線。由此可見,在三次曲線中,不僅切線與曲線的公共點可以多于一個,而且過曲線上點的切線也不一定惟一.這正是三次曲線與二次曲線間的本質區別，至此P64例2可作如下改進:一方面,如果僅想做簡單化的處理,那么建議將原題中的“求過點P的切線”改為“求在點P處的切線”；如果想讓學生體會“二次”與“三次”的不同、“初等”與

7、“高等”區別，那么就應改變原題的解法。2滲透三次函數的圖象、性質及相關推理一二次函數是重要的且具有廣泛應用的基本初等函數已是不爭的事實，在初等數學范疇內利用直觀的初等方法，學生對此已有較為全面、系統、深刻的認識，并在某些方面具備了把握規律的能力。然而，三次多項式函數雖然同樣初等，但是諸多問題的研究與探討學生均顯力不從心。目前，研究函數性質的高等工具導數，已進入中學課堂，作為教者理應力所能及地借助于這一工具讓學生對三次多項式函數能有一些初步的理性認識。21 三次函數是中心對稱曲線三次函數關于點（m，n）對稱的充要條件是f(m-x)+f(m+x)=2n,即+，整理得，。據多項式恒等對應系數相等,可

8、得且，從而三次函數是中心對稱曲線，且由知其對稱中心仍然在曲線上；同理可探索出三次函數不是軸對稱曲線。22 三次曲線有兩種形狀由于三次曲線是中心對稱曲線，因此，將其對稱中心移至坐標原點便可將三次曲線的解析式簡化為。不妨設，據導函數知，當時，f（x）在實數集R是為增函數，利用幾何畫板作其圖像如圖1所示；當時，f（x）在實數集R上有兩個遞增區間與一個遞減區間，其圖像如圖2所示。 圖1 圖2三次曲線的如上兩類圖形為學習三次函數提供了直觀的背景，指引著我們從定性思考順利地走向定量證明。23 三次曲線性質及其聯系借助于導數及三次函數的圖象，很容易解決三次函數的定義域、值域、對稱性、單調性、極值、切線等基本

9、問題。此外，三次曲線的內部尚蘊藏著如下深刻的聯系。性質1在三次曲線上存在惟一一點，使曲線在該點處的切線與該曲線有惟一公共點，并且此點即為三次曲線的對稱中心。證明：設M（x0，y0）是曲線上任一點，則曲線y=f（x）在點M處的切線斜率k=，切線方程為：。由聯立并消去y，得：，整理得： 切線與曲線有惟一公共點的方程有三個相等實根x0=0，故點M惟一確定且恰好為曲線的對稱中心。性質2若三次曲線上存在極大值點與極小值點，則極值點連線段的中點也在三次曲線上，并且此點也為三次曲線的對稱中心。證明：若三次曲線上存在極值點，則方程=0必有相異兩實根，從而且實根，此時，三次曲線上的兩個極值點為A（x1，f(x1

10、)）,B（x2，f(x2)）,它們的中點恰是坐標原點,當然在曲線上且為曲線的中心。性質3過三次曲線的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且僅有一條；而過三次曲線上除對稱中心外的任一點與該三次曲線相切的直線有二條。證明：若M（x1，y1）是三次曲線上的任一點，設過M的切線與曲線y=f（x）相切于（x0，y0），則切線方程為，因點M上此切線上，故，又，所以，整理得：，解得，或。綜上所述，當點M是對稱中心即時，過點M作曲線的切線切點是惟一的，且為M，故只有一條切線；當點M不是對稱中心即時，過點M作曲線的切線可產生兩個不同的切點，故必有兩條切線，其中一條就是以M為切點（亦即曲線在點M處）的切線。 由此可

11、見,在三次曲線中,不僅切線與曲線的公共點可以多于一個,而且過曲線上點的切線也不一定惟一.這正是三次曲線與二次曲線間的本質區別，三次曲線的這一性質告訴我們，“過曲線上點P的切線”與“曲線在點P處的切線”一般是不同的。曲線在點P處的切線系指曲線上以該點為切點的直線，它是惟一的；而過曲線上點P的切線，除了包括以點P為切點的切線外，還可能出現其它切線。人民教育出版社中學數學室編著的全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）數學第三冊（選修）（2001年12月版），由于忽視了這種區別，便將P64例2中過點P的切線錯誤看成以點P為切點的切線。24 與三次曲線相關的推理題例1 若，求證：。分析：該題的傳統證法是

12、數學歸納法，在證題過程中需要具備一定的放縮技巧；而導數證法則不然。證明：構造函數，其定義域為4，。，在4，為增函數，當時，即原不等式成立。例2 已知函數。(1)設f(x) 在處取得極大值、在處取得極小值,求證: ；（2）求證：過原點且與曲線y=相切的兩條直線不可能垂直（3）若，求證：過原點且與曲線y=相切的兩條直線不可能垂直。簡析略證：（1）由題意知、必是方程的兩個實根，且易列表發現。至此，問題已轉化為二次方程實根分布：令，由，結合二次不等式知： 且。（2）因y=表示的曲線是開口向上的拋物線，故過原點與其相切的直線的斜率是存在的，設其方程為，與曲線y=聯立并消去y，得，據一元二次方程的判別式，

13、得 。假設過原點且與曲線y=相切的兩條直線相互垂直，那么它們的斜率k1、k2必是關于k的方程的兩實根，進而有 ，由知，此與式矛盾。綜上所述，過原點且與曲線y=相切的兩條直線不可能垂直。（3）同性質3的證明，可以求出切點的橫坐標或，從而兩條切線的斜率，所以，從而兩條切線不垂直。評注：本例的第二小題使用的是初等方法，這是因為導數方法較為繁瑣；而第三小題選擇了導數方程，這是因為初等方法力不從心。也只有在初高等方法的結合中，才能將新舊知識融會貫通。例3 已知在（-，0）上是增函數，在(0，2)上是減函數，且方程f（x）=0有三個根，它們分別為.（1）求證：；（2）求證:.簡析略證:由題意可知,方程即的

14、一個根為0、另一個根不小于2，從而c=0且.f(2)=0,即4b+d+8=0.(1) f(1)=b+d+1=-3b-7；(2) 方程f（x）=0可化為,故一元二次方程的兩實根為,從而=.評注: 一般地，三次函數的導函數是二次函數，因此，熟練把握二次函數的圖像與性質便是研究三次函數圖像與性質的起點。三、值得重視的幾個問題1重視初高等方法的交融函數是高中數學的核心內容，在新教材高三數學選修本中雖然利用了導數方法重新研究了函數的若干性質，但是在離開導數背景的函數問題的學習與研究中，學生仍習慣于選擇并不高明的初等方法進行問題解決。究其原因，在于未能將這些用于研究初等函數的先進的高等方法納入原有的知識結

15、構之中。為克服高中函數學習二年多的思維定向，筆者曾選用高中數學教學中遇到的用初等方法較難解決且流傳甚廣的典型問題作為范例，在闡述原有的初等方法繁冗且難以思考的同時，給出其簡捷明快的導數解法，旨在使學生真正學會用導數作為工具研究函數的性質、并能將該思想方法早日納入到原有的知識結構之中，形成自覺的應用意識。為節省篇幅又不影響問題的闡述，文中所選例題僅限于選修中多項式函數導數的應用問題。例1 已知函數，且（1）求m的值；（2）設，求g（x）的解析式；（3）是否存在實數，使在上是減函數，在上是增函數。分析：易得m=1，且，這樣便是x的雙二次函數。若將其轉化為函與函數的復合函數，并用關于復合函數單調性的

16、“同增異減”法則進行判斷，一方面其思維的靈活性令學生較難把握；另一方面，該法則屬于“非知識性”的結論，其解題的邏輯依據又令人難以信服。若利用函數單調性的定義逆向作差進行探索，則解題過程較繁且其中的恒不等式又較為抽象。而利用導數研究函數的單調性，則有如下簡明扼要的解法。解 ，首先由題意知x=-1是的根，求得；其次易驗證，當時，在上恒負、在上恒正。綜上知，存在適合題意。例2 設f（x）是定義在R上以2為周期的偶函數，在區間2，3上。（1）求時，f（x）的解析式；（2）若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在函數的圖象上，求這個矩形面積的最大值。分析：（1）首先由周期性和奇偶性知，在區間1，

17、2上，；（2）因在區間0，1上，也有，故在時，。由二次函數圖象的對稱性知，可設A、B兩點的坐標分別為（1-t，0）和（1+t，0）（。，矩形ABCD的面積。以往只能運用三元和積不等式求函數的最大值，殊不知直接由原式湊合出“和定”后，等號又不成立，尚需將原解析式平方后進行配湊，技巧性極強，稍有不甚便誤入歧途。如今有導數作為工具，求上述函數的最值便是程序性的知識。，令，得區間0，2上的惟一極大值點，故它也是最大值點，所求面積的最大值為。例3 在的圖象上有A，B兩動點，滿足ABx軸且點A在y軸右側。點M（1，m）（m為常數，）是三角形ABC的邊BC的中點。（1）寫出用A點的橫坐標t表示三角形ABC面

18、積S的解析式S=f（t）；（2）試求f（t）的最大值及此時點C的坐標。分析：（1）利用解析幾何的有關公式可得：。（2）用初等方法，由f（t）是t的高次函數，聯想到和積不等式，煞費苦心地將f（t）變形成，利用和積不等式時等號卻不成立，思維限入困境。而，當且僅當，即時，前述不等式取等號。如果就此斷言，必將產生錯誤的結論。這是因為自變量t僅能在區間（0，1上取值，而據知，有時在（0，1內、有時不在（0，1內。故以上結論僅對，即時正確，而對必須重新選擇方法。當時，又有幾位學生能聯想到通過證明函數f（t）在區間（0，1上是增函數來解題呢？可以說上述初等方法是一部“天書”，即使你在平時教學中反復操練，也難

19、取得好的學習效益。而用導數方法則不然。，令，得（其中當然應該舍去）。下僅需就是否屬于區間（0，1作簡明扼要的討論便可：當時，在處，此時相應的點C坐標為；當時，f（t）在區間（0，1為增函數，此時相應的點C的坐標為（3，2m-3）。例4 設f（x）是定義在上的偶函數，g（x）的圖像與f（x）的圖像關于直線x=1對稱，且當時，其中a為實常數。（1）求f（x）的表達式；（2）問：是否存在正數a，使函數f（x）圖象的最高點落在直線y=12上？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由。分析：（1）由對稱性得；（2）該題的初等方法雖然有多種，但均不常規，此處從略，請讀者試之。下僅給出導數解法：由偶函數知

20、，只要研究函數在區間0，1上的最大值。由，得。若，即，則，故此時不存在a適合題意；若，即，則在區間0，1上為增函數，故，令其為12得a=8。綜上知，存在惟一正數a=8，使函數f（x）圖象的最高點落在直線y=12上。例5 已知，函數的最大值為1，試確定實數a的取值范圍。分析：三角變換只能將原函數化為后便力不從心，而憑代數換元，即令又可將其轉化為代數函數，且其定義域為-1，1。至此，若沿用初等方法，則既要深刻理解最大值的含義又要靈活地進行代數變形，解題方法極不常規。而轉換思維利用導數方法，雖然不可避免地進行分類討論，但是所有這一切工作都蘊藏在自然的思考之中。解 ，令，下就方程的根是否在代數函數的定

21、義域-1，1內展開討論：若，則，函數y=t在-1，1上為增函數，最大值恰好為1；若，則可化為，再據是否屬于區間0，1進行討論：（1）當即或時，。因區間的端點的函數值，故在時，f（x）在區間-1，1上的極大值即，結合圖象知；在時，f（x）在區間-1，1上的極大值即，結合圖象知，從而a=-1。（2）當即時，y在其定義域上為增函數，由閉區間端點的函數值知，此時函數的最大值為1，故適合題意。（3）當即時，y在其定義域上為增函數，由閉區間端點的函數值知，此時函數的最大值為1，故也適合題意。綜上所述，a的取值范圍是-1，8。由上可見，諸多在初等方法下技巧性極強的函數問題，在高等工具導數的作用下是那樣的單純與簡捷。為將新增導數內容融入原有的知識體系，并找回其應有的位置，作為教者只有打破傳統內容的束縛并深入挖掘新增內容在原有知識體系下潛在的應用功能，才能取得良好的教學效果。2重視導數的綜合應用21涉及切線的推理題（與解幾綜合）例1 已知函數，設，設曲線y=在點處的切線為m.（1）求m的方程；（2）設m與x軸的