1、 第三章 多維隨機變量及其分布答案一、填空題（每空3分）1設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為,則A=_1_2若二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)則隨機點落在矩形區(qū)域x1<x<x2,y1<y<y2內(nèi)的概率為_ _ _ 3(X,Y)的聯(lián)合分布率由下表給出，則，應(yīng)滿足的條件是; 當(dāng) ， 時與相互獨立（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）P1/61/91/181/34設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù),則_ _.5設(shè)隨機變量X,Y同分布，X的密度函數(shù)為，設(shè)A=（X>b）與B=（Y>b）相互獨立，且,則b=_ _.6在區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機

2、取兩個數(shù)，則事件“兩數(shù)之積大于”的概率為_ _ .7 設(shè)X和Y為兩個隨機變量，且,則_ . 8隨機變量,則D(3X-2Y)= _ 13 .9設(shè),則 85 ， 37 .10設(shè)隨機變量 ,則 108 .二、單項選擇題（每題4分）1下列函數(shù)可以作為二維分布函數(shù)的是（ B ）. . .2設(shè)平面區(qū)域D由曲線及直線圍成，二維隨機變量在區(qū)域D上服從均勻分布，則(X,Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)在y=2處的值為（C ） 3若(X,Y)服從二維均勻分布，則（ B ）隨機變量X,Y都服從一維均勻分布 隨機變量X,Y不一定服從一維均勻分布隨機變量X,Y一定都服從一維均勻分布隨機變量X+Y服從一維均勻分布4若D(X+Y)

3、=D(X)+D(Y),則（ A ）X與Y不相關(guān) X與Y相互獨立 5在上均勻地任取兩數(shù)X和Y，則（ D ）1 三、計算題（第一題20分，第二題24分）1已知(1)確定a,b的值；(2)求(X,Y)的聯(lián)合分布列；(3)求X-Y的概率分布.解：(1)由正則性有， 有，(2)(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX-3-2-1124/53954/539216/539212/53927/539108/53938/53918/53972/539(3) X-Y的概率分布為X-Y-2-1012P24/53966/539251/539126/53972/5392. 設(shè)隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為(1)確定常數(shù)k；(2)求

4、(X,Y)的分布函數(shù)；(3)求.解：（1）k=12（2）（3）3設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且各自的密度函數(shù)為，求Z=X+Y的密度函數(shù)解：Z=X+Y的密度函數(shù)在x0時有非零值，在z-x0即xz時有非零值在0xz時有非零值當(dāng)z<0時，所以Z=X+Y的密度函數(shù)為4設(shè)隨機變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為，分別求下列概率密度函數(shù).(1) ; (2) .解：（1）因為 所以即X與Y獨立.所以當(dāng)z<0時，當(dāng)z0時，所以(2) 當(dāng)z<0時，當(dāng)z0時，所以5設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,其密度函數(shù)分別為，求.解：因為X,Y相互獨立，則Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以6設(shè)隨機變量(

5、X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)分別為，求X和Y的邊際密度函數(shù).解：四、證明題.1已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)分布列如下表，試驗證X與Y不相關(guān)，但X與Y不獨立.證明：因為E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0 所以E(XY)= E(X) E(Y)即X與Y不相關(guān).又因為P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375P(X=1,Y=1)P(X=1) P(Y=1)所以X與Y不獨立.2設(shè)隨機變量(X,Y)滿足,證明.證明：因為 所以 所以由柯西施瓦茲不等式有所以又因