1、數(shù)值計(jì)算解矩陣的按模最大最小特征值及對應(yīng)的特征向量一.冪法1. 冪法簡介：當(dāng)矩陣A滿足一定條件時(shí)，在工程中可用冪法計(jì)算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩陣A需要滿足的條件為：(1) (2) 存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，設(shè)為1.1計(jì)算過程：不全為0，則有可見，當(dāng)越小時(shí)，收斂越快；且當(dāng)k充分大時(shí)，有，對應(yīng)的特征向量即是。2 算法實(shí)現(xiàn)3 matlab程序代碼 function t,y=lpowerA,x0,eps,N) % t 為所求特征值，y是對應(yīng)特征向量 k=1; z=0; % z 相當(dāng)于 y=x0./max(abs(x0); % 規(guī)范化初始向量 x=A*y; % 迭代格式 b=max(x)

2、; % b 相當(dāng)于 if abs(z-b)eps & kN k=k+1; z=b; y=x./max(abs(x); x=A*y; b=max(x); end m,index=max(abs(x); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值 t=x(index); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗(yàn)證 選取一個(gè)矩陣A，代入程序，得到結(jié)果，并與eig(A)的得到結(jié)果比較，再計(jì)算 A*y-t*y，驗(yàn)證y是否是對應(yīng)的特征向量。結(jié)果如下：結(jié)果正確，表明算法和代碼正確，然后利用此程序計(jì)算15階Hilb矩陣，與eig(A)的得到結(jié)果比較，再計(jì)算 A*y-t*y，驗(yàn)證y是否是對應(yīng)的特征向量。設(shè)置初始向量

3、為x0=ones(15,1)，結(jié)果顯示如下可見，結(jié)果正確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量。二.反冪法1.反冪法簡介及其理論在工程計(jì)算中，可以利用反冪法計(jì)算矩陣按模最小特征值及其對應(yīng)特征向量。其基本理論如下，與冪法基本相同： ，可知，A和A-1的特征值互為倒數(shù)，求A按模最小特征值即求A-1的按模最大特征值,取倒數(shù)即為A的按模最小特征值所以算法基本相同，區(qū)別就是在計(jì)算2. 算法實(shí)現(xiàn)3 matlab程序代碼function s,y=invpower(A,x0,eps,n) % s 為按模最小特征值，y是對應(yīng)特征向量 k=1; r=0; % r相當(dāng)于 y=x0./max(ab

4、s(x0); % 規(guī)范化初始向量 L,U=lu(A); z=Ly; x=Uz; u=max(x); s=1/u; % 按模最小為A-1按模最大的倒數(shù). if abs(u-r)eps & kn % 終止條件. k=k+1; r=u; y=x./max(abs(x); z=Ly; x=Uz; u=max(x); end m,index=max(abs(x); % 這兩步保證取出來的按模最大特征值s=1/x(index); % 是原值，而非其絕對值。end4 舉例驗(yàn)證同冪法一樣，選取一個(gè)矩陣A，代入程序，得到結(jié)果，并與eig(A)的得到結(jié)果比較，再計(jì)算 A*y-t*y，驗(yàn)證y是否是對應(yīng)的特征向量。可

5、見結(jié)果正確，然后利用此程序計(jì)算15階Hilb矩陣，eig(A)的得到結(jié)果比較，再計(jì)算 A*y-s*y，驗(yàn)證y是否是對應(yīng)的特征向量。設(shè)置初始向量為x0=ones(15,1)，結(jié)果顯示如下可見，結(jié)果真確。得到了15階Hilb矩陣的按模最大特征值和對應(yīng)的特征向量。3. 計(jì)算條件數(shù)矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆的范數(shù)的乘積，即cond(A)=AA(-1)，對應(yīng)矩陣的3種范數(shù)，可以定義3種條件數(shù)。 函數(shù) cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf)是判斷矩陣病態(tài)與否的一種度量，條件數(shù)越大表明矩陣的病態(tài)程度越大.,而如果A為對稱矩陣，如Hilb矩陣，的最大最小特征值，分別為A的最大最小特

6、征值的平方。所以cond(A) 為A的最大最小特征值得比值。對于本例中的15階Hilb矩陣來說，利用上面計(jì)算結(jié)果得其條件數(shù)(選擇第二種條件數(shù)）為：3.0934e+017；這與直接利用cond(A)得到的結(jié)果：2.5083e+017 在同一數(shù)量級，再次表明了上述算得得最大最小特征值的正確性，同時(shí)又表明Hilb矩陣是病態(tài)矩陣。4. Aitken商加速法1. 簡介與原理同冪法和反冪法計(jì)算最大和最小特征值類似，如果計(jì)算最大特征值，則迭代格式為；計(jì)算最小特征值時(shí)，迭代格式為。2. 算法實(shí)現(xiàn)計(jì)算按模最大特征值算法如下：類似冪法和反冪法可以寫出按模最小特征值算法，此處不再贅述。3. matlab 程序代碼f

7、unction r,y=aitken(A,x0,eps,n) % r按模最大特征值,y為對應(yīng)特征向量 k=1; a0=0; % a 相當(dāng)于 a1=1; % a1 相當(dāng)于 r0=1; % 相當(dāng)于2中的 y=x0./max(abs(x0); % 規(guī)范化初始向量 x=A*y; a2=max(abs(x); % a2相當(dāng)于 r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); % 相當(dāng)于 if (a2-2*a1+a0)=0 % 若上式中分母為0，則迭代失敗，返回 disp 初始向量迭代失敗 return; end if abs(r-r0)eps & k0 |aa(index)=0 r=r; else

8、 r=-r; end end end類似可得按模最小特征值和特征向量的代碼如下：與上面類似，所不同的只是迭代格式不同.function r,y=invaitken(A,x0,eps,n) k=1; a0=0; a1=1; r0=1; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式的不同 z=Ly; x=Uz; a2=max(abs(x); r=a0-(a1-a0)2/(a2-2*a1+a0); if (a2-2*a1+a0)=0 disp 初始向量迭代失敗 return; end if abs(r-r0)eps & k0 |aa(index)=0 r=1/r; els

9、e r=-1/r; endend4. 計(jì)算Hilb矩陣特征值此處不再舉例，而是直接應(yīng)用于15階Hilb矩陣，初始向量選為ones(15,1)，結(jié)果如下，并將結(jié)果與冪法和反冪法得到結(jié)果比較 這與冪法得到的特征值和特征向量一致，表明算法和代碼正確；同理，最小特征值結(jié)果如下： 這與反冪法得到的結(jié)果一致，表明結(jié)果正確。 五，對稱矩陣的Rayleigh商加速法1. 簡介與原理原理如下：2. 算法實(shí)現(xiàn)3. Matlab程序代碼function r,y=rayleigh(A,x0,eps,n) % r 是特征值，y是特征向量 k=1; r0=0; y=x0./max(abs(x0); x=A*y; % 迭代

10、格式計(jì)算新的x r=dot(y,x)/dot(y,y); % Reyleigh商 if abs(r-r0)eps & kn k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x); x=A*y; r=dot(y,x)/dot(y,y); endend類似得計(jì)算按模最小特征值的Rayleigh商加速法，如下：function r,y=invrayleigh(A,x0,eps,n) k=1;r0=0; y=x0./max(abs(x0); L,U=lu(A); % 迭代格式不同 z=Ly; x=Uz; r=dot(y,x)/dot(y,y); if abs(r-r0)eps & kn k=k+1; r0=r; y=x./max(abs(x); z=Ly; x=Uz; r=dot(