1、 預(yù)習(xí)課本P1214，思考并完成以下問(wèn)題 (1)方向角和方位角各是什么樣的角？ (2)怎樣測(cè)量物體的高度？ (3)怎樣測(cè)量物體所在的角度？ 實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名稱、術(shù)語(yǔ)名稱定義圖示基線在測(cè)量中，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向?yàn)槭歼叄D(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角方位角從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過(guò)的水平角1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)

2、誤的打“×”)(1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊()(2)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無(wú)法求得()(3)方位角和方向角是一樣的()解析：(1)錯(cuò)誤，要解三角形，至少知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)(2)錯(cuò)誤，兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助第三個(gè)點(diǎn)和第四個(gè)點(diǎn)量出角度、距離求得(3)錯(cuò)誤方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，而方向角是以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角)答案：(1)×(2)×(3)×2若P在Q的北偏東44°50方向上，則Q在P的()A東偏北45°10方向上

3、 B東偏北45°50方向上C南偏西44°50方向上 D西偏南45°50方向上解析：選C如圖所示3從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為()A BC90° D180°解析：選B根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖知，故應(yīng)選B.4兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A，B之間距離為()A.a km B.a kmCa km D2a km解析：選AABC中，ACBCa，ACB90°，所以ABa.測(cè)量高度問(wèn)題典例如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可

4、以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D.現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.解在BCD中，CBD()由正弦定理得.BC.在RtABC中，ABBCtanACB.測(cè)量高度問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路 活學(xué)活用1一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的A處測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿A向北偏東30°方向前進(jìn)1

5、00 m到達(dá)B處，在B處測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m解析：選A如圖，設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022×h×100×cos 60°，即h250h5 0000，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如圖所示，在山底A處測(cè)得山頂B的仰角CAB45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1 000 m到達(dá)S點(diǎn)，又測(cè)得山頂仰角DSB75°，則山高B

6、C為_(kāi)m.解析：因?yàn)镾AB45°30°15°，SBAABCSBC45°(90°75°)30°，所以ASB180°SABSBA135°.在ABS中，AB1 000，所以BCAB·sin 45°1 000×1 000(m)答案：1 000測(cè)量角度問(wèn)題典例如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3) n mile的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°方向、B點(diǎn)北偏西60°方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 n mil

7、e的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30 n mile/h，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？解由題意，知AB5(3) n mile，DBA90°60°30°，DAB90°45°45°，ADB180°(45°30°)105°.在DAB中，由正弦定理得，即BD10 n mile.又DBCDBAABC60°，BC20 n mile，在DBC中，由余弦定理，得CD 30 n mile，則救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為1 h.測(cè)量角度問(wèn)題主要是指在海上或空中測(cè)量角度的問(wèn)題，如確定目標(biāo)的方位，觀

8、察某一建筑物的視角等解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解活學(xué)活用在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A 2 n mile的C處的緝私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此時(shí)，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船

9、，畫出示意圖，則有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120°，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC(1)2222·(1)·2·cos 120°6，BC，且sinABC·sinBAC·，ABC45°，BC與正北方向成90°角CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30°.即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.測(cè)量距離問(wèn)題題點(diǎn)一：兩點(diǎn)間不可通又不可視1.如

10、圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離即AB.若測(cè)得CA400 m，CB600 m，ACB60°，試計(jì)算AB的長(zhǎng)解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB，AB2400260022×400×600cos 60°280 000.AB200 (m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為200 m.題點(diǎn)二：兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)2.如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，其方法在A

11、所在的岸邊選定一點(diǎn)C，可以測(cè)出A，C的距離m，再借助儀器，測(cè)出ACB，CAB，在ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB.若測(cè)出AC60 m，BAC75°，BCA45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi) m.解析：ABC180°75°45°60°，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B兩點(diǎn)間的距離為20 m.答案：20題點(diǎn)三：兩點(diǎn)都不可到達(dá)3.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CDa，同時(shí)在C，D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分

12、別計(jì)算出AC和BC，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離解：ADCADBCDB60°，ACD60°，DAC60°，ACDC.在BCD中，DBC45°，由正弦定理，得BC·sinBDC·sin 30°.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcos 45°2×××.AB(km)A，B兩點(diǎn)間的距離為 km.當(dāng)A，B兩點(diǎn)之間的距離不能直接測(cè)量時(shí)，求A

13、B的距離分為以下三類：(1)兩點(diǎn)間不可通又不可視(如圖)：可取某點(diǎn)C，使得A，B與C之間的距離可直接測(cè)量，測(cè)出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：AB.(2)兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)(如圖)：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C，測(cè)出BCa以及ABC和ACB，先使用內(nèi)角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)兩點(diǎn)都不可到達(dá)(如圖)：在河邊測(cè)量對(duì)岸兩個(gè)建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C，D，測(cè)出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB. 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4 m，

14、A30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A12 m B8 mC3 m D4 m解析：選D由題意知，AB30°，所以C180°30°30°120°，由正弦定理得，即AB4.2一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h解析：選A如圖所示，在PMN中，MN34，v n mile/h.3若某人在點(diǎn)A測(cè)得金字塔頂端仰角為30°，

15、此人往金字塔方向走了80米到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得金字塔頂端的仰角為45°，則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110米 B112米C220米 D224米解析：選A如圖，設(shè)CD為金字塔，AB80米設(shè)CDh，則由已知得(80h)×h，h40(1)109(米)從選項(xiàng)來(lái)看110最接近，故選A.4設(shè)甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A20 m， m B10 m,20 mC10()m,20 m D. m， m解析：選A由題意，知h甲20tan 60°20(m)，h乙20ta

16、n 60°20tan 30°(m)5海上的A，B兩個(gè)小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile解析：選D由題意，做出示意圖，如圖，在ABC中，C180°60°75°45°，由正弦定理，得，解得BC5(n mile)6某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3 km到B處，再沿正東方向行走2 km到C處，則A，C兩地的距離為_(kāi)km.解析：如圖所示，由題意可

17、知AB3，BC2，ABC150°.由余弦定理，得AC22742×3×2×cos 150°49，AC7.則A，C兩地的距離為7 km.答案：77坡度為45°的斜坡長(zhǎng)為100 m，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)_m.解析：如圖，BD100，BDA45°，BCA30°，設(shè)CDx，所以(xDA)·tan 30°DA·tan 45°，又DABD·cos 45°100×50，所以xDA5050()m.答案：50()8一蜘蛛沿東北方向爬行x c

18、m捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x_cm.解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來(lái)在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75°，ABO45°，則AOB60°，由正弦定理知：x(cm)答案：9.如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，

19、此時(shí)兩船相距10海里，求乙船航行的速度解：如圖，連接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260°，又易求得A1A230×10A2B2，A1A2B2為正三角形，A1B210.在A1B1B2中，易知B1A1B245°，(B1B2)24002002×20×10×200，B1B210，乙船每小時(shí)航行30海里10.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且ABBC60 m，求建筑物的高度解：設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC

20、中，分別由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180°，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度為30 m.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖，從氣球A上測(cè)得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高度AD是60 m，則河流的寬度BC是()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：選C由題意知，在RtADC中，C30°，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC75°30°45°，ABC180°45°30&

21、#176;105°，由正弦定理，得BC120(1)(m)2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖支桿BC10 m，吊桿AC15 m，吊索AB5 m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A30 m B. mC15 m D45 m解析：選B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180°，sinACDsinACB.在RtADC中，ADAC·sinACD15× m.3.如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在C，D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30&#

22、176;，在水平面上測(cè)得BCD120°，C，D兩地相距500 m，則電視塔AB的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m解析：選D設(shè)ABx，在RtABC中，ACB45°，BCABx.在RtABD中，ADB30°，BDx.在BCD中，BCD120°，CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022×500xcos 120°，解得x500 m.4.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測(cè)站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測(cè)站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測(cè)得該貨船位于觀測(cè)站A東偏北(0

23、76;<<45°)的C處，且cos .已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A4 海里/小時(shí) B3 海里/小時(shí)C2 海里/小時(shí) D4 海里/小時(shí)解析：選A因?yàn)閏os ，0°<<45°，所以sin ，cos(45°)××，在ABC中，BC2(20)21022×20×10×340，所以BC2，該貨船的船速為4海里/小時(shí)5.如圖所示，客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)，以速度v沿直線勻速航行，將貨物送達(dá)客輪已知ABBC，且ABBC50 n mile

24、，若兩船同時(shí)起航出發(fā)，則兩船相遇之處距C點(diǎn)_n mile(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位)解析：由題易知兩船相遇之處M位于BC上，如圖，設(shè)|MC|d，則(M位于BC延長(zhǎng)線上取“”，M位于BC上取“”)，所以(100±d)24d2(25)2±50d，即3d210025 000，所以d2，即d40.8(n mile)答案：40.86甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距a n mile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的倍，則甲船應(yīng)沿_方向行駛才能追上乙船；追上時(shí)甲船行駛了_n mile.解析：如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時(shí)間為t，乙船的速度為v，則BCtv，ACtv，又B120°，則由正弦定理，得，sinCAB，CAB30°，甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛又ACB180°120°30°30°，BCABa n mile，AC a(n mile)答案：北偏東