1、2013年秋 西南大學概率論作業及答案(共6次,已整理)第一次作業一、主觀題、論述題、判斷題：1.“ABC”表示三事件A、B、C至少有一個發生. 【】2.設A、B為二事件，則AB=AAB. 【】3.已知：P(A)=0.2, P(B)=0.5, P(AB)=0.1,則P(AB)=0.6. 【】4. 一批產品有10件正品，3件次品，現有放回的抽取，每次取一件，直到取得正品為止，假定每件產品被取到的機會相同，用隨機變量表示取到正品時的抽取次數，則服從幾何分布. 【】5設二維隨機變量(X,Y)具有聯合概率密度，則X與Y相互獨立. 【×】6特征函數具有性質：. 【】7設隨機變量的特征函數為，且

2、它有n階矩存在，則當時，有.【×】8從一堆產品中任意抽出三件進行檢查，事件A表示“抽到的三個產品中合格品不少于2個”，事件B表示“抽到的三個產品中廢品不多于2個”，則事件A與B是互為對立的事件. 【×】9對二項分布，當時，概率值達到最大. 【×】10設一口袋中有a只白球,b只黑球,從中取出三只球(不放回),則三只球依次為黑白黑的概率為. 【】11.設，若 A與B互不相容，則A與B必不相互獨立. 【】 12.n個相互獨立的隨機變量之積的特征函數等于它們特征函數的乘積. 【×】. 13設X服從參數為 的泊松分布，則. 【×】14設兩個相互獨立的隨機

3、變量，的方差分別是 4 和 2 ，則 44.【】15.設服從的均勻分布，則的密度函數為. 【】16.任意隨機變量均存在數學期望. 【×】17.X為隨機變量，a,b是不為零的常數，則E(aX+b)=aEX+b. 【】18.XN(3,4),則P(X<3)= P(X>3). 【】19.隨機變量X、Y相互獨立，則D(X+Y)=DX+DY. 【】20.設為兩兩不相關的隨機變量序列，且存在常數C，使得，則服從大數定律. 【】二、主觀題：0.9三、主觀題：0.85四、客觀題：×、×、×、×、×、×、×、B、D第二次作

4、業一、單項選擇題1.設A、B為二事件，事件可化簡為（D）.（A）A (B) B (C) A-B (D) B-A 2.對事件A、B，下列說法正確的是（D）.(A)若 A與B互不相容，則與也互不相容(B)若 A與B相容，則與也相容(C)若 A與B互不相容，則A與B相互獨立(D)A與B相互獨立，則與也相互獨立3.設事件、的概率均大于零，且與互為逆事件（或對立事件），則有（B） (A)與相互獨立 (B)與互不相容 (C)與相等 (D)包含或包含 4. ，(A)(A) (B)(C) (D)5.設隨機變量的分布函數為則其中常數為（A）.(A)A= -1,B=1 (B)A=1,B= -1 (C) A=1,B

5、=1 (D) A=-1,B=-16.下列函數可以作為某個隨機變量的概率密度函數的是（D）.(A) (B) (C) (D)7.設隨機變量的概率密度函數為則隨機變量的概率密度為（C ）.（A） (B) (C) (D)8.設隨機變量X服從二項分布 ,由切比雪夫不等式有 (B).(A) (B)(C) . (D) 9袋中裝有1，2，N號球各一只，現從中不放回的摸球，則第k次摸球時首次摸到1號球的概率為（A）.(A) (B) (C) (D) 10.對于任意兩個隨機變量與，下面（A）說法與協方差不等價.(A) 與相互獨立 (B) (C) (D) 相關系數11.設隨機變量x服從參數為l的泊松分布，則Ex2 =

6、（D）.(A) l(B) l2(C) l2l(D) l2l12下列函數中，（A )可以作為連續型隨機變量的分布函數.(A). (B)(C) (D)13.已知二維隨機變量的聯合分布律為-2-112000100則(B).(A) 與相互獨立、不相關 (B) 與不相互獨立、不相關(C) 與相互獨立且相關 (D) 與不相互獨立且相關14已知二維隨機變量的聯合分布律為-10100010則(D ).(A) 與相互獨立、不相關 (B) 與不相互獨立且相關(C) 與相互獨立且相關 (D) 與不相互獨立、不相關15設服從二維正態分布，是獨立的（C）.(A)充分但不必要條件 . (B)必要但不充分條件.(C)充分且

7、必要條件 . (D).既不充分也不必要條件.16設兩個相互獨立的隨機變量、 ，,則（D ）.(A) (B)(C) (D)17兩人約定7點到8點在某地會面，則一人要等另一人半小時以上的概率為（C）. (A) 0 (B) (C) (D)118.設隨機變量XB(n,p),且E(X+1)= 6,D(X+1)= 4,則n = ( B ).(A)20； (B)25； (C)10； (D)50.19.設X、Y為相互獨立的隨機變量，且,則E(X-Y),D(X-Y)分別為（B ）.(A)-1，7； (B)-1，25；(C)1，7； (D)1，25。20.設隨機變量服從兩點分布，其分布律為X01Pqp其中則的特征

8、函數為（A）.(A) (B)(C) (D)二、填空題：0.2三、填空題：5/13四、判斷題：×、×、五、單選題：C、A、D第三次作業一、填空題（主觀題）1.一袋中有編號為0，1，2，9的球共10只，某人從中任取3只球，則（1）取到的球最小號碼為5的概率為 ；（2）取到的球最大號碼為5的概率為 .2.一部五卷的文集，按任意次序放到書架上，則（1）“第一卷及第五卷出現在旁邊”的概率為 0.2 ；（2）“第一卷出現在旁邊”的概率為 0.4 .3設連續型隨機變量的分布函數為則（1）A= 1 ；（2）= 0.5 ；（3）的密度函數為= 。4. 設隨機變量X的分布列為（1）常數C 4

9、.（2）= 不存在 .5設則 .6. 若A、B為二事件，則 0.7 .7已知隨機變量的概率密度為其中、為常數，則= m .8.設x 服從正態分布，即x N (m, s2)，則x的密度函數p(x)在x= m .時達到最大值.9.設隨機事件A的概率為P(A)=0.5, 隨機事件B的概率為P(B)=0.4，條件概率，則= 0.8 .10.設隨機變量X、Y、Z，已知E(X)=1,E(Y)=2,E(Z)=3,D(X)=9,D(Y)=4,D(Z)=1,則（1）E(X+Y+Z)= 6 ；(2) D(X+Y+Z)= 19 . 11.在某城市中，共發行三種報紙A、B、C。在這城市的居民中，訂閱A報的占45%,訂

10、閱B報的占35%,訂閱C報的占30%,同時訂閱A報及B報的占10%,同時訂閱A報及C報的占8%,同時訂閱B報及C報的占5%,同時訂閱A、B、C三種報紙的占3%，則（1）“只訂A報及B報的”概率為 0.07 ；（2）“只訂A報的”概率為 0.3 .12.將n個不同的球等可能地放入N (N>n)個盒子中，則（1）某指定的n個盒子中各有一個球的概率p1= ；（2）任意n個盒子中各有一個球的概率p2= .13. 設的概率密度為，則_ _;_。14.設隨機變量的分布函數為則(1) ;(2) = ; (3) .15.設在（0，5）服從均勻分布，則的方程有實根的概率為 0.6 .16.設隨機變量X的概

11、率密度為且，則k= 2 ， b= 1 .17. 設.18.418.設X與Y為相互獨立的隨機變量,Y的密度函數為,則（1）E(X+Y)= 5/8 ；（2）D(X-Y)= 49/192 . 19.設隨機變量X服從幾何分布。則X的特征函數 .20.隨機變量的特征函數為，則（1）的特征函數為_；（2）的特征函數為_.二、判斷題（客觀題）1、設X、Y是隨機變量，若E(XY)=EXEY,則X與Y相互獨立.（ × ）2、X、Y相互獨立，則X、Y必不相關. （ ）3、A.B為任意二隨機事件，則P(A-B)=P(A)-P(B).（ × ）4、C為常數，則D(C)=0.（ ）5、若X服從二項分

12、布B(5,0.2),則EX=2. （ × ）6、若X服從泊松分布P(10),Y服從泊松分布P(10),且X與Y相互獨立，則X+Y服從泊松分布P(20). （ ）7、cov(X,Y)=0等價于D(X+Y)=DX+DY. （ ）8、隨機變量的分布函數與特征函數相互唯一確定。（ ）9、兩個相互獨立的隨機變量之和的特征函數等于他們的特征函數之和. （ × ）10、×11、第四次作業計算題1.設連續型隨機變量X的分布函數為：(1) 確定常數A及P(-1<x<1/2)；(2) 求Y=2X的分布函數及密度函數.；(3)求DY.解：(1)因是連續型隨機變量X的分布函數

13、，所以在1處連續故F（1）=F（1+0）=F（10）可得A=1 (2)分布函數為 密度函數為 (3)2.設隨機變量的概率密度函數為，求（1）常數；（2）概率；（3）的密度函數。解：（1）由性質得得：， （2）. （3）故。3.設二維隨機變量的聯合密度函數為求：（1）常數；（2）；（3）；（4）。解：（1） （2）（3）（4）當， 故。4.設的聯合密度函數為，求（1）的邊際密度函數，的邊際密度函數，并說明與是否獨立？（2）條件密度函數.解：（1）可求得，；因為，故與不獨立。（2）當時，。5.設的密度函數為求：（1）常數A；（2）求的邊際密度；（3）是否相互獨立？（4）求概率P(<1)；（5

14、）.解：(2)(4)(5)6.設二維隨機變量的分布函數為，則常數分別為多少？并求其密度函數.解：由分布函數的性質有，得 ，因， 所以，。，故所求密度函數為。7.設在平面上以原點為心1為半徑的圓內服從均勻分布，（1）求的聯合密度函數；（2）是否相互獨立？為什么？(3)求的協方差.解：（1）由已知可得：的概率密度為（2）同理當且時，說明與不是獨立的。（3）因為同理有：所以：。第五次作業1、甲、乙兩市都位于長江的下游，根據上百年來的氣象記錄知，一年中甲市雨天的概率為0.2，乙市雨天的概率為0.14，兩地同時下雨的概率為0.12，求：（1）兩市至少有一市下雨的概率；（2）兩市都不下雨的概率。（3）已知

15、甲市下雨的情況下，乙市下雨的概率；（4）僅有乙市下雨的概率。解：設A=“甲市下雨”，B=“乙市下雨”（1）（2）（3）（4）2、為防止意外， 在某礦內同時設有兩種報警系統A及B，每種系統單獨使用時，其有效的概率系統A為0.9，系統B為0.92，在A失靈的條件下，B有效的概率為0.8，求（1）發生意外時，這兩種報警系統至少有一個有效的概率；（2）B失靈的條件下，A有效的概率。解：設A表示“A有效”，B表示“B有效”，則（1）（2）。3、假設某地區位于甲、乙兩河流交處，當任一河流泛濫時，該地區即遭受水災，設某時期內甲河流泛濫的概率為0.1，乙河流泛濫的概率為0.2，當甲河流泛濫時，乙河流泛濫的概率

16、為0.3，求：(1)該時期內這個地區遭受水災的概率；(2)當乙河流泛濫時，甲河流泛濫的概率;(3) 該時期內只有甲河流泛濫的概率。解：設A:表示“甲河泛濫”，B:表示“乙河泛濫”，（1）（2） （3）4發報臺分別以0.7和0.3的概率發出信號0和1，由于通信系統受到干擾，當發出信號0時，收報臺分別以0.8和0.2的概率收到信號0和1；又當發出信號1時，收報臺分別以0.9及0.1的概率收到信號1和0。求收報臺收到信號0，此時原發信號也是0的概率. 解：,所求概率為。5炮戰中，在距目標250米，200米，150米處射擊的概率分別為0.1、0.7、0.2,而在各處射擊時命中目標的概率分別為0.05、

17、0.1、0.2,（1）求目標被擊毀的概率；（2）現在已知目標被擊毀，求擊毀目標的炮彈是由距目標250米處射出的概率。解：設A表示“目標被擊中”，表示“炮彈距目標250米射出”，表示“炮彈距目標200米射出”，表示“炮彈距目標150米射出”，（1）（2）=0.043。6.已知產品中96是合格品，現有一種簡化的檢驗方法，它把真正的合格品確認為合格品的概率為0.98，而誤認廢品為合格品的概率為0.05，求：(1) 產品以簡化法檢驗為合格品的概率；（2）以簡化方法檢驗為合格品的一個產品確實為合格品的概率。解：設A=“產品為合格品”，B=“簡化方法檢驗為合格品”（1）（2）。7.一個機床有的時間加工零件

18、A,其余時間加工零件B，加工零件A時，停機的概率為0.3,加工零件B時，停機的概率為0.4,求這個機床停機的概率。解：設C表示“機床停機”,A表示“加工A零件”,B表示“加工B零件”則：=0.38.8兩臺機床加工同一種零件，第一臺出現不合格品的概率為0.03，第二臺出現不合格品的概率為0.06，加工出來的產品放在一起，且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍，求（1）現任取一零件是合格品的概率；（2）如果取出的是不合格品，求它是第一臺生產的概率。解：設表示“產品為第臺機床加工”，B表示“取到的產品為合格品”（1）由全概率公式（2）由貝葉斯公式9設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間（以分計）服從指數分布其概率密度函數為某顧客在窗口等待服務，若超過十分鐘他就離開，他一個月要到銀行五次，以表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，（1）求概率；（2）求的數學期望解：（1），故（2）。10.某單位內部有200部電話分機，每個分機有5%的時間要與外線通話，可以認為每個電話分機用不同的外線是相互獨立的，利用中心極限定理確定，需準備多少條外線，才能以不低于95%的概率滿足每個分機需使用外線時不用等候？解：設表示200臺電話機需要外線的條數，則，由中心極限定理，設準備n條外線，由題意查表得，取n=15（條）。第六次作業證明題：1.設A、B為兩個隨機事件，且，證明：若，則A與B