1、7完全平方公式 一、完全平方公式的推導(dǎo)一、完全平方公式的推導(dǎo)1.1.兩數(shù)和的平方兩數(shù)和的平方. .(a+b)(a+b)2 2=(a+b)(a+b=(a+b)(a+b)=_=_)=_=_. .2.2.兩數(shù)差的平方兩數(shù)差的平方. .(a-b)(a-b)2 2=(a-b)(a-b)=_=_.=(a-b)(a-b)=_=_.a a2 2+ab+ab+b+ab+ab+b2 2a a2 2-ab-ab+b-ab-ab+b2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2【歸納歸納】(1)(a+b)(1)(a+b)2 2=_,(=_,(a-b)a-b)2 2=_.=_

2、.(2)(2)公式特征公式特征: :左邊左邊: :二項(xiàng)式的二項(xiàng)式的_;_;右邊是右邊是_項(xiàng)項(xiàng), ,且有且有_個(gè)平方項(xiàng)個(gè)平方項(xiàng), ,中間項(xiàng)為首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的中間項(xiàng)為首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的2 2倍倍. .(3)(3)語(yǔ)言敘述語(yǔ)言敘述: :兩數(shù)和兩數(shù)和( (或差或差) )的平方的平方, ,等于這兩個(gè)數(shù)的等于這兩個(gè)數(shù)的_,_,加加上上( (或減去或減去) )這兩數(shù)的這兩數(shù)的_的的2 2倍倍. .a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2平方平方三三兩兩平方和平方和積積二、幾何解釋二、幾何解釋如圖如圖, ,最大正方形的面積可用兩種形式表示最大正方形的面積可用兩種形式表

3、示: :_,_,_,_,由于這兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊面積由于這兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊面積, ,所以應(yīng)所以應(yīng)相等相等, ,即即_=_._=_.【點(diǎn)撥點(diǎn)撥】公式中的公式中的a a和和b b可代表一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)字、單項(xiàng)式或可代表一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)字、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式多項(xiàng)式. .(a+b)(a+b)2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(a+b)(a+b)2 2 a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2【預(yù)習(xí)思考預(yù)習(xí)思考】(a-b)(a-b)2 2與與(-a+b)(-a+b)2 2相等嗎相等嗎? ?提示提示: :相等相等. . 完全平方公式完全平方公式【例例1 1】計(jì)算計(jì)算:(1)(-2x+ )

4、:(1)(-2x+ )2 2.(2)(-3m-2n).(2)(-3m-2n)2 2. .12【解題探究解題探究】(1)(1)方法一方法一: :括號(hào)內(nèi)可以看成是括號(hào)內(nèi)可以看成是-2x-2x與與 的和的和. .運(yùn)用公式計(jì)算運(yùn)用公式計(jì)算: :原式原式=(=(-2x-2x) )2 2+2+2( (-2x-2x) ) + = + =方法二方法二: :括號(hào)內(nèi)可以看成是括號(hào)內(nèi)可以看成是 與與2x2x的差的差. .運(yùn)用公式計(jì)算運(yùn)用公式計(jì)算: :原式原式= = (2)(2)利用互為相反數(shù)的平方相等化去括號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)為利用互為相反數(shù)的平方相等化去括號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)為: :(-3m-2n)(-3m-2n)2 2=(=(3m

5、+2n3m+2n) )2 2. .運(yùn)用公式計(jì)算運(yùn)用公式計(jì)算: :原式原式=(=(3m3m) )2 2+2+2( (3m3m) )2n2n+(+(2n2n) )2 2= =9m9m2 2+12mn+4n+12mn+4n2 2. .1212122( )214x2x.412222( )2111(2x)2x2x222()() 212x.4x4【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】運(yùn)用完全平方公式計(jì)算的運(yùn)用完全平方公式計(jì)算的“技巧技巧”口訣口訣: :“首首(a)(a)平方、尾平方、尾(b)(b)平方平方, ,首首(a)(a)尾尾(b)(b)乘積的乘積的2 2倍在中央倍在中央”; ;變形變形:(-a+b):(-a+b)2

6、2,(-a-b),(-a-b)2 2在計(jì)算中易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤在計(jì)算中易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤, ,可作如下變形可作如下變形: :(-a+b)(-a+b)2 2=(b-a)=(b-a)2 2,(-a-b),(-a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2. .【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】1.1.下列計(jì)算正確的是下列計(jì)算正確的是( () )(A)(x+y)(A)(x+y)2 2=x=x2 2+y+y2 2(B)(x-y)(B)(x-y)2 2=x=x2 2-2xy-y-2xy-y2 2(C)(x+2y)(x-2y)=x(C)(x+2y)(x-2y)=x2 2-2y-2y2 2(D)(-x+y)(D)(-x+y)2 2

7、=x=x2 2-2xy+y-2xy+y2 2【解析解析】選選D.D.選項(xiàng)選項(xiàng)A:(x+y)A:(x+y)2 2=x=x2 2+2xy+y+2xy+y2 2, ,選項(xiàng)選項(xiàng)B:(x-y)B:(x-y)2 2=x=x2 2-2xy+y-2xy+y2 2, ,選項(xiàng)選項(xiàng)C:(x+2y)(x-2y)=xC:(x+2y)(x-2y)=x2 2-4y-4y2 2, ,故故A,B,CA,B,C錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .2.(20122.(2012涼山州中考涼山州中考) )整式整式A A與與m m2 2-2mn+n-2mn+n2 2的和是的和是(m+n)(m+n)2 2, ,則則A=A=. .【解析解析】A=(m+n)A=(

8、m+n)2 2-(m-(m2 2-2mn+n-2mn+n2 2)=4mn.)=4mn.答案答案: :4mn4mn3.3.計(jì)算計(jì)算:(1)(-m-n):(1)(-m-n)2 2.(2)(-5a-2)(5a+2).(2)(-5a-2)(5a+2).【解析解析】(1)(-m-n)(1)(-m-n)2 2=(-m)=(-m)2 2+2(-m)(-n)+(-n)+2(-m)(-n)+(-n)2 2=m=m2 2+2mn+n+2mn+n2 2. .(2)(-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2)(2)(-5a-2)(5a+2)=-(5a+2)(5a+2)=-(5a+2)=-(5a+2)2 2=

9、-(25a=-(25a2 2+20a+4)=-25a+20a+4)=-25a2 2-20a-4.-20a-4. 完全平方公式的應(yīng)用完全平方公式的應(yīng)用【例例2 2】已知已知x+y=8,xy=12,x+y=8,xy=12,求求x x2 2+y+y2 2的值的值. .【解題探究解題探究】(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閤+y=8,x+y=8,所以所以(x+y)(x+y)2 2的值是的值是6464. .(2)(2)由完全平方公式可知由完全平方公式可知(x+y)(x+y)2 2= =x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2, ,由上述探究可得由上述探究可得x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2= =6464,

10、 ,即即x x2 2+y+y2 2= =64-2xy64-2xy. .(3)(3)由已知由已知xy=12xy=12可得可得x x2 2+y+y2 2= =64-264-21212= =4040. .【規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)】完全平方公式的完全平方公式的“四種恒等變形四種恒等變形”1.a1.a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(a-b)-2ab=(a-b)2 2+2ab.+2ab.2.(a+b)2.(a+b)2 2+(a-b)+(a-b)2 2=2a=2a2 2+2b+2b2 2; ;(a+b)(a+b)2 2-(a-b)-(a-b)2 2=4ab.=4ab.3.ab= (a

11、+b)3.ab= (a+b)2 2-(a-(a2 2+b+b2 2)= (a+b)= (a+b)2 2-(a-b)-(a-b)2 2=( )=( )2 2-( )-( )2 2. .4.x4.x2 2+ =(x+ )+ =(x+ )2 2-2.-2.1214ab2ab221x1x【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】4.4.計(jì)算計(jì)算:2 012:2 0122 2= =. .【解析解析】2 0122 0122 2=(2 000+12)=(2 000+12)2 2=2 000=2 0002 2+2+22 0002 00012+1212+122 2= =4 048 144.4 048 144.答案答案: :4 048

12、 1444 048 1445.5.已知已知(a-b)(a-b)2 2=4,ab= ,=4,ab= ,則則(a+b)(a+b)2 2= =. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?a-b)(a-b)2 2=4,=4,所以所以a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=4,=4,又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍b= ,ab= ,所以所以a a2 2+b+b2 2=5,=5,所以所以(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=5+2=5+2 =6. =6.答案答案: :6 61212126.(20126.(2012株洲中考株洲中考) )先化簡(jiǎn)先化簡(jiǎn), ,再求值再求值:(2a-b):(2a-b)2 2-b

13、-b2 2, ,其中其中a=-2,b=3.a=-2,b=3.【解析解析】原式原式=4a=4a2 2-4ab+b-4ab+b2 2-b-b2 2=4a=4a2 2-4ab.-4ab.當(dāng)當(dāng)a=-2,b=3a=-2,b=3時(shí)時(shí), ,原式原式=4=4(-2)(-2)2 2-4-4(-2)(-2)3 3=16+24=40.=16+24=40.1.(20121.(2012遵義中考遵義中考) )如圖如圖, ,從邊長(zhǎng)為從邊長(zhǎng)為(a+1) cm(a+1) cm的正方形紙片中剪的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為去一個(gè)邊長(zhǎng)為(a-1) cm(a-1) cm的正方形的正方形(a1),(a1),剩余部分沿虛線又剪拼剩余部分沿

14、虛線又剪拼成一個(gè)矩形成一個(gè)矩形( (不重疊無(wú)縫隙不重疊無(wú)縫隙),),則該矩形的面積是則該矩形的面積是( () )(A)2 cm(A)2 cm2 2(B)2a cm(B)2a cm2 2(C)4a cm(C)4a cm2 2(D)(a(D)(a2 2-1) cm-1) cm2 2【解析解析】選選C.C.矩形的面積是矩形的面積是(a+1)(a+1)2 2-(a-1)-(a-1)2 2=a=a2 2+2a+1-(a+2a+1-(a2 2-2a+1)=4a(cm-2a+1)=4a(cm2 2).).2.2.已知已知a+b=5,ab=6,a+b=5,ab=6,則則(a-b)(a-b)2 2的值為的值為(

15、 () )(A)1(A)1(B)4(B)4(C)9(C)9(D)16(D)16【解析解析】選選A.(a-b)A.(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=5-4ab=52 2-4-46=1.6=1.3.(20123.(2012南安中考南安中考) )已知已知a+b=3,ab=1,a+b=3,ab=1,則則a a2 2+b+b2 2的值為的值為. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)?a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab,+2ab,所以所以a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=3-2ab=32 2-2=7.-2=7.答案答案: :7 74.(20124.(2012常州中考常州中考) )已知已知x=y+4,x=y+4,則代數(shù)式則代數(shù)式x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2-25-25的值為的值為. .【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)閤=y+4,x=y+4,所以所以x-y=4,x-y=4,(x-y)(x-y)2 2=16,=16,即即x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2=16,=16,所以所以x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2-25=16-25=-9