1、第7講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考試要求1.對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，換底公式及應(yīng)用（B級(jí)要求）；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)（B級(jí)要求）；3.指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,且a小）與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0,且aw1）互為反函數(shù)（A級(jí)要求）.回顧教材夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 .對(duì)數(shù)的概念如果ax=N（a>0,且awl）,那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN、其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2 .對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：alogaN=N;logaab=b(a>0,且a*1).對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且awl,M>0,N>0,那么 loga

2、(MN);logaM+logaN; logaMy=logaM-logaN；logaMn=nlogaM(nCR)；logamMn=mlogaM(m,nCR,且mw0).(3)對(duì)數(shù)的重要公式換底公式：logbN=器N1（a,b均大于零且不等于1）；-1logab=joga，推廣logablogbclogcd=logad.3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)性質(zhì)定義域：(0,+8)值域：R當(dāng)x=1時(shí)，y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0;當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0;當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減

3、函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且aw1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=log月x(a>0、且aw1)互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)匕上對(duì)稱(chēng).診斷自測(cè)1 .思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打或"X”)(1)lOg2X2=2lOg2X.()函數(shù)y=log2(x+1)是對(duì)數(shù)函數(shù).().1+X,(3)函數(shù)y=lnTX與丫=ln(1+x)ln(1x)的止義域相同.()(4)當(dāng)x>1時(shí)，若logax>logbx,貝Ua<b.()解析(1)log2x2=2log2|x|,故錯(cuò).(2)形如y=logax(a>0,且a*1)為對(duì)數(shù)函數(shù)，故錯(cuò).(4)當(dāng)x>1時(shí)，logax>l

4、ogbx,但a與b的大小不確定，故(4)錯(cuò).答案(1)X(2)X，(4)X2 .計(jì)算：log212=；210g23+l0g43=.211解析1og22=10g2/1og22=21=2；210g23+10g43=210g23210g43=3X210g43=3X產(chǎn)2b=373.答案23m3 .(2018全國(guó)I卷)已知函數(shù)f(x)=1og2(x2+a).若f(3)=1,貝Ua=.解析由f(3)=1得10g2(32+a)=1,所以9+a=2,解得a=-7.答案74 .（2019-南通、揚(yáng)少卜1等七市調(diào)研）函數(shù)y=lg（43xx2）的定義域?yàn)?解析要使函數(shù)y=lg（4-3x-x2）有意義，則4-3x-x

5、2>0,解得一4<x<1,故函數(shù)的定義域是（4,1）.答案（4,1）5 .（2018天津卷改編）已知a=log2e,b=ln2,c=log；3,則a,b,c的大小關(guān)系為解析法因?yàn)?a=log2e>1,b=ln 2C （0, 1）, c=,1110g231og23>1og2e=a>1,所以c>a>b.-.11法一logq=log23,如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log2x,y=lnx的圖象,23由圖知c>a>b.答案c>a>bI考點(diǎn)聚焦突破考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1】（1）設(shè)2a=5b=m,且1+1=2,則m=;ab（2）設(shè)

6、x,y,z為正數(shù)，且2x=3y=5：則（填序號(hào)）.2x<3y<5z;5z<2x<3y;3y<5z<2x;3y<2x<5z.2（3）（2018淮陰中學(xué)期中）求值：273（牌725）22log23xlog2+log23Xlog34.解析（1）由已知得a=log2m,b=log5m,-1111則+人=+=logm2+logm5=logm10=2.ablog2mlog5m解得m=10.(2)令t=2x=3y=5z,x,y,z為正數(shù),t>1.則x=log2t=藻，同理，V=號(hào)，z=伯.cc2lgt3lgtlgt(2lg3-3lg2)“x3尸Ig2-l

7、g3=lg2Xlg3lgt(lg9-lg8)=>0lg2Xlg30,2x>3y.p一2lgt5lgt1gt(2lg55lg2)又,2x5z=;大一;-lg2lg5lg2Xlg5lgt(lg25-lg32)=<0,lg2Xlg5'2x<5z,3y<2x<5z.答案(1)匹(2)解273(3/-125)2-2bg23Xlog28+log23Xlog34=(33)3-(-5)2-3X10g223+JgjX策=9-25-3X(3)+2=5.規(guī)律方法(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法

8、則化簡(jiǎn)合并.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、幕再運(yùn)算.(3)ab=N?b=logaN(a>0,且aw1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.42一廠山一一，2x,x>4,i【訓(xùn)練11(1)(2018無(wú)錫期末)已知函數(shù)f(x)=/則f(2+log23)、f(x+1),x<4,的值為.(2)(2019蘇州調(diào)研)已知4a=2,logax=2a,則正實(shí)數(shù)x=.解析(1)因?yàn)?<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)=23+lOg23=8X2lOg23=24.11

9、由4=2得a=2，則log(x=1,解得x=/.答案(1)24(2)2考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,BC平行于x軸，頂點(diǎn)A,B和C分別在函數(shù)y=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的圖象上，則實(shí)數(shù)a的值為. yc = yB,xa = xb, xc xb = 2, y yA yB=2,lOg2x,x>0,(2)(2019蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=,3xx<0且關(guān)于x的方程f(x)+xa=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析(1)由題設(shè)可得lOgaxC=2lOgaxB,xa=xb,2即d化

10、簡(jiǎn)可得xb=2,logaxB=2,所以a=2,xcxb=2,k3lOgaxA2lOgaxB=2,故a=加(負(fù)值舍去).(2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出v=£僅)與y=x+a的圖象，其中a表示直線(xiàn)在y軸上截距.由圖可知，當(dāng)a>1時(shí)，直線(xiàn)y=x+a與y=log2x只有一個(gè)交點(diǎn).答案（1）2（2）（1,+oo）規(guī)律方法（1）在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項(xiàng).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象在x軸上方，底數(shù)a越大，圖象越靠近x軸.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【訓(xùn)練2】函數(shù)

11、v=210g4（1x）的圖象大致是領(lǐng)序號(hào)）.1（2018宿遷,K擬）當(dāng)0<x02時(shí)，4x<1ogax,則a的取值范圍是.解析（1）函數(shù)y=210g4（1x）的定義域?yàn)椋ㄒ籵o,1）,排除，；又函數(shù)y=210g4（1x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除.由題意得，當(dāng)0<a<1時(shí)，要使得4x<1ogax2<xW2j,即當(dāng)0<x<g時(shí)，函數(shù)y=1 .14的圖象在函數(shù)y=logax圖象的下萬(wàn).又當(dāng)x=2時(shí)，42=2,即函數(shù)y=4的圖象過(guò)點(diǎn)g,2j把點(diǎn)g,2，弋入y=logax,得a=g2.若函數(shù)y=4x的圖象在函數(shù)y=logax圖象的下方，則需#<a<

12、;1（如圖所示）.當(dāng)a>1時(shí)，不符合題意，舍去.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是停,11答案住2,1）考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較大小1【例31】（1）（2018天津卷改編）已知a=log32，b=j，c=l°g；5，則a,b,c的大小關(guān)系為.若a>b>0,0<c<1,貝U（填序號(hào)）.logac<logbC；®logca<logcb；ac<bc；ca>cb.解析（1）log11=log3T5-1=log35,因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x為增函數(shù)，所以log35>3510log37>log33=1,因?yàn)楹瘮?shù)y=）為減函

13、數(shù)，所以2）<）=1,故c>a>b.由y=xc與y=cx的單調(diào)性知，不正確;,V=logcx是減函數(shù)，得logca<logcb,正確;, lg_c logac= ,lg a'logbc=lg c lg b', ,0<c<1, lg c< 0.又a>b>0,.lga>lgb,但不能確定lga,lgb的正負(fù),logac與logbc的大小不能確定.答案c>a>b角度2解不等式【例32】求不等式的解集:（1）33x<2;（2）log5（x1）<2.解（1）33x<2,.33x<3log32,

14、.3x<log32,x>3-log32,解集為（3log32,+00）.1（2）log5（x1）<2,log5（x1）<log5加.0<x-1<V5,.1<x<V5+1,解集為（1,V5+1）.角度3對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)【例33(2018儀征中學(xué)高三期初檢測(cè))已知aeR,函數(shù)f(x)=log28+a)當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f(x)>1;(2)若關(guān)于x的方程f(x)+log2x2=0有且僅有一解，求a的值；設(shè)a>0,若對(duì)任意teg,11函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=1時(shí)，由10g2，

15、+1,>1,得x+1>2,解得0<x<1.故不等式的解集為x0<x<1.(2)log2(1+a!：+10g2x2=0有且僅有一解，等價(jià)于'1+ax2=1有且僅有一解，等價(jià)xx于ax2+x1=0有且僅有一解.當(dāng)a=0時(shí)，x=1,符合題意；1當(dāng)aw0時(shí)，1+4a=0,解得a=4.,、，.、1綜上，a=0或4.(3)易知f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值與最小值分別為f(t),f(t+1).則f(t)f(t+1)=log21+ajlogzj+a卜1,即at2+(a+1)t10對(duì)任意teg1成立.因?yàn)閍>0,所以

16、函數(shù)y=at2+(a+1)t1在區(qū)間g,11上單調(diào)遞增，所以t=1時(shí)，y有最小值3a1,由3a*0得a>2.故a的取值范圍為i,+".2424233/規(guī)律方法(1)確定函數(shù)的定義域，研究或利用函數(shù)的性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行.(2)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤.(3)在解決與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的比較大小或解不等式問(wèn)題時(shí)，要優(yōu)先考慮利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求解.在利用單調(diào)性時(shí)，一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響，及真數(shù)必須為正的限制條件.【訓(xùn)練3】(1)設(shè)a=log32,b=log52,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系是已知函數(shù)f(x)=loga(

17、8ax)(a>0,且a*1),若f(x)>1在區(qū)間1,2上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析(1)a=log32<log33=1,b=log52<log55=1,又c=log23>log22=1,所以c最大.11由1做示啕25嘮23>陶25,即a>b，所以c>a>b.(2)當(dāng)a>1時(shí),f(x)=loga(8ax)在1,2上是減函數(shù),由f(x)>1在區(qū)間1,2上包成立，貝Uf(x)min=loga(82a)>1,解之得1<a<8.若0<a<1時(shí)，f(x)在1,2上是增函數(shù),由f(x)>1在區(qū)間1

18、,2上恒成立,貝Uf(x)min=loga(8a)>1,且82a>0.a>4,且a<4,故不存在.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是卜，8j答案c>a>b(2)1,3)I分層限時(shí)調(diào)煉分層訓(xùn)練.提不能力一、必做題1.(2018南通中學(xué)考前沖刺練習(xí))函數(shù)y=ln(12x)的定義域?yàn)?解析要使函數(shù)v=ln(12x)有意義，則1-2x>0,解得x<0,故函數(shù)的定義域是(一00,0).答案(一?0)2.(2018全國(guó)m卷)已知函數(shù)f(x)=ln(Vl+x2-x)+1/=4,則f(a)=解析由f(a)=InCyl+a2a)+l=4,得1nzTTa2a)=3,所以f

19、(a)=1nC/l+a2+a)+1=-Inf+1=1nM+a2-a)+1=-3+1=-2.W+a2+a答案23 .艾>1”是“1og1(x+2)<0"的條件(在“充分不必要”“必要不充2分”“充要”“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)填寫(xiě)).解析由x>1得x+2>3,所以1og-(x+2)<0,2.1由log-(x+2)<0可得x+2>1,即x>-1,2所以x>1”是“1og1(x+2)<0”的充分不必要條件.2答案充分不必要4 .(2018淮陰中學(xué)期中)已知函數(shù)v=1oga(x-1)(a>0,a*1)的圖象過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A

20、也在函數(shù)f(x)=2x+b的圖象上，則f(1og23)=.解析易知點(diǎn)A(2,0),又因?yàn)辄c(diǎn)A在函數(shù)f(x)=2x+b的圖象上，所以22+b=0,.b=4,所以f(x)=2x4,則f(log23)=210g234=34=1.答案15.已知函數(shù)f(x)=1oga(x+b)(a>0且awl,bCR)的圖象如圖所示,則a+b的值是c、./c，,、c11f(一3)=loga(3+b)=0,a=3，q解析由圖象可得解得2則a+b=/If(0)=10gab=2,lb=4,29答案26.(2019南京、鹽城模擬)設(shè)")=#127+aj是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值Xi/范圍是.解析

21、由f(x)是奇函數(shù)可得a=1,1+x.f(x)=1g-,定義域?yàn)?1,1).由f(x)<0,可得0<但？<1,1x-1<x<0.答案(一1,0)t'a+b17.(2019揚(yáng)州質(zhì)檢)設(shè)f(x)=1nx,0<a<b,若p=f(Vab),q=fJ,r=2(f(a)+f(b),則p,q,r的大小關(guān)系為.a+b解析.0<a<b,-2->vab,X,.f(x)=1nx在(0,+00)上為增函數(shù)，l"b)f>f(Vab),即q>p.22J一11又r=2(f(a)+f(b)=2(lna+lnb)=ln>/ab=p,

22、故p=r<q.答案p=r<q10g2X,X>0,8.(2019通東中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=S1若f(a)>f(a),則實(shí)|log2(-X),x<0,數(shù)a的取值范圍是.1斛析當(dāng)a>0,即一a<0時(shí)，由f(a)>f(a)知log2a>log2a,在同一坐標(biāo)系中回出1 ,函數(shù)丫=喻"和丫=logx的圖象(圖略)，由圖象可得a>1；當(dāng)a<0,即一a>0時(shí),同理可得1<a<0,綜上可得，a的取值范圍是(1,0)U(1,+oo).答案(一1,0)U(1,+oo)log3x|,0<X<3,c9.已知

23、函數(shù)f(x)=,若a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),則(ab+2)的取x+4,x>3,值范圍是.解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象(圖略)，結(jié)合圖象并由a<b<c且f(a)=f(b)=f(c),得1<a<1<b<3<c<4且一log3a=log3b,所以ab=1,故(ab+2)c=3c,又cC(3,4),3所以3ce(27,81).故(ab+2)c的取值范圍是(27,81).答案(27,81)10.(2019淮海中學(xué)第一次階段性考試)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=lg(2+x)lg(x).(1)求函數(shù)f(x)的解析式及

24、定義域;(2)解不等式f(x)<1.解(1)令1=乂+1,貝Ux=t1,所以f(t)=lg(1+t)-lg(1-t),即f(x)=lg(1+x)lg(1x),1+x>0,由3得一1<x<1,1x>0所以f(x)=lg(1+x)lg(1x),其定義域是(一1,1).(2)由f(x)=lg(1+x)lg(1x)=lg=<1,1x1+x:<10.9即彳當(dāng)且僅當(dāng)x+ 1 = T, x+ 1即x=0時(shí)取等號(hào).所以一m> 1,解得m< 1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一,1.二、選做題12.(2018汪蘇運(yùn)河中學(xué)一診)已知f(x) = log2(x2),若實(shí)

25、數(shù)m, n滿(mǎn)足f(m) + f(2n) =3,則m+n的最小值是.解析 法一 由 f(m) + f(2n) = 3 得 log2(m2)(2n 2) = 3? (m2)(2n2)=23,Zm-2+n-12即(m2)(n1) = 4,由已知得m>2, n>1,由基本不等式得 m 2+n 1>4(當(dāng)x解得1<x<R.、一1<x<1,所以不等式的解集為僅一1<x<柒11.函數(shù)f(x)=log3(x2 J+2x8)的定義域?yàn)锳,函數(shù)g(x)=x2+(m+1)x+m.(1)當(dāng)m=4時(shí)，g(x)&0的解集為B,求AAB；(2)若存在xL0,2使得不等式g(x)<-1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由x2+2x8>0得x<4或x>2,則A=(oo,4)U(