1、課程設計報告課程設計題目：野兔生長問題2015年01月15日數學建模一周論文目錄摘要03問題重述05模型假設06建立模型07模型求解09模型誤差分析13- # -數學建模一周論文摘要假設野兔生長的條件是在無外界干擾的完美條件下（即不考慮外界因素對野兔繁殖的影響），該種群的成長曲線應該為對數型增長。但依題意可知，野兔增長先是成對數增長后來趨于平緩，變化幅度不斷降低，這說明野兔生長并不是處于理想的情況下的，考慮到自然的各種原因，諸如，環境條件因為兔群激增而變得惡劣，天氣的變化，天敵的增多等等。對于這種種群生態學問題，我們可以用Logistic（邏輯斯蒂方程）模型來模擬。Logistic模型是種群生

2、態學的核心理論之一，它可以很好的表示生物種群的生長規律，動態的表示生物種群的增減情況，例如兔子。由于野兔生長問題相對簡單，其涉及的內容和有求也相對較少，并且該問題概過了種群在生態中生長問題。根據邏輯斯蒂方程，以及建立一只雙曲線右支可以預測出在T=10時，野兔數量為10.8156十萬只。在此，我們結合過去九年野兔數量的歷史數據，建立了邏輯斯諦增長模型，得到野兔的生長規律如下：野兔初始于該地方生存時，野兔的生長繁殖有充分的保障，數量增多。隨著野兔的不斷繁殖，其有限生存空間日趨減小，其數量趨向于某一極值。而當野兔數量超過環境容納量時,野兔種群的增長受到抑制，數量下降。當野兔種群數量降低到環境容納量以

3、下時,野兔種群的出生率上升，死亡率下降，自然資源與食物資源較為充裕，種內與種間競爭有所緩解，從而野兔種群增長加快。通過建立Logistic模型，我們小組得出當T=10時，野兔數量為10.8156（十萬）只左右。該結果比較符合客觀規律。利用Logistic模型可以表征種群的數量動態；如昆蟲類種群的增長，收獲與時間關系的確定。描述某一研究對象的增長過程如生態旅游區環境容量的確定，森林資源的管理以及耐用消費品社會擁有量的預測、國民生產總值的預測等；也可作為其它復雜模型的理論基礎如Lotka-Volterra兩種群競爭模型；以上的大多數的工作都是拿邏輯斯蒂模型來用，但也由此可看出邏輯斯蒂方程不管在自然

4、科學領域還是在社會科學中都具有非常廣泛的用途。關鍵字:分析數據異常現象預測數量邏輯斯蒂方程模型問題重述- 3 -數學建模一周論文野兔生長問題:在某地區野兔的數量在連續十年的統計數量(單位十萬)如下:T=0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.314.506.906.005.565.327.568.939.589698535685124958071019217分析該數據，得出野兔的生長規律。并指出在哪些年內野兔的增長有異常現象，預測T=10時野兔的數量。首先，野兔是生長在自然環境中的。自然很復雜，存在著許多影響種群發展的因素。我們知道，假如給野兔一個理想的環境，野兔數量是呈

5、對數增長的。現實情況中，種群一般是呈S型增長的，從題中表格看出，野兔的數量并不是單一地增長，T=1,2.31969;T=3,6.90568;T=4,6.00512;T=5,5.56495,呈類J型增長，說明兔子數量不多受內外因素的因數影響不明顯。第四年到第七年，這三年野兔的數量不增反降呈類S型增長，說明其間有影響野兔生長的因素存在。我們探討了其中的因素：(1),兔子的內部矛盾，兔子之間因為食物的減少而引發爭斗等。(2),自然環境的惡化，比如說兔子的激增使糞便數量大大增加是環境變得惡劣，不在適合兔子的生存；再如氣候反常，使野兔的產卵，交配受影響。(3),天敵的捕食，狼，狐貍等天敵大量地捕食使野兔

6、生存受到威脅。（ 4） ，疾病的侵擾，野兔種群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。（ 5） ，人類的影響，城市擴建，使其棲息地面積減少；捕殺。考慮到上述因素，野兔的生長就不能完全用一個Logistic模型來模擬模型假設因為所學知識有限，所以我們做出以下假設以方便猜想：（ 1） ,假設它使處于自然的情況（沒有人的作用）,人類活動對其生存不產生影響。（ 2） ，假設各個環境因素對野兔生長的影響是互不影響的。兔子種族內部生存空間足夠多，不存在對生存空間需求問題。（ 3） ，假設兔子的內部因素對其生存率的影響不大。（ 4） ，假設野兔在各年齡段中的分布率不變，即年齡結構不變，并采用各種措施維持這

7、一結構；（5）假設野兔性別比接近1：1，且采用措施維持這個比列。（6）假設母兔可以懷孕的年齡為1到6歲，最高年齡為10歲，10歲的死亡率為100%，并且6到10歲的野兔個數成線性遞減趨勢。在以上條件成立的前提下，用Logistic模型來模擬野兔的增長情況。建立模型對于生物模型，首先考慮的是logistic模型，考慮到logistic模型的增長曲線是單調的，而題目所給的數據中有一段是下降的，這是反常的情況，而正常情況應當是單調上升的。考慮到可能在這段時間內有使野兔減少的因素。不能在整個時間段進行擬合，我們應當在每個單調區間上進行擬合。第一單調增區間T=0T=1T=2T=312.319694.50

8、8536.90568第一單調減區間T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807第二單調增區間T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我們把野兔生長情況分成了上表三個區間，建立野兔生長的logistic模型聲,鄧頤一個小的單位時間間隔內新出生的兔子百分比為壬死W輸百分比為c。換句話，新的兔子數P(t+t)是原有兔子數P(t)- 7 -數學建模一周論文在t時間內新增兔子數減去死亡兔子數，即P(t+t)=P(t)+bP(t)t-cP(t)t或AP=bP-cP=kPAt有上述假設可知，在一個時間段內兔子數的平均變化率與兔子的數量成

9、正比例心用瞬時變化率來逼近平均變化率，我們就得到下面的微分方程模型；(式 2T)dP=kpdt尸(%)=Pq這樣我們把問題化歸到如何確定k。一旦k被確定，通過已知數據,我們解這個微分方程，就可以得到一個野兔數量隨時間變化的函數了rM(t-t)pMeP(t)=M-ppe這個模型就成為logistic模型模型求解對于logistic連續模型，設微分方程為(1)/axd-bx)x(0)=x。(X。¥0,1/b,X。A。),其中參數a,b需要通過擬合得到。(1)的解為設已知連續三年的數據x(t)= b-b eXp(-at)【X。X(t1 ), X(t2 ), X(t3 ) 苴中 t3 - t

10、2 t2 t1 T A。(2),則由(2)得方程組b 1X。-b eXp(-ati)=JXi4b +Ix。,喂1-b eXp(一at1 一aT)=X2，、1-b exp(一at1 一2aT)=X3這三個方程中有三個未知量a，b，x。可以解出a,b如下:將(3)中第一式代入第二、三式消去X。,- -b exp(-aT)=lX1J.bX2Xi1-b eXp(-2aT) = - -bX3消去a后得b滿足的方程丫1b ! blX1人 X311'2- b<X2)- 11 -解得(X2)"X1X3(6)x2(x2x3x1x2-2x1x3)代入（4）的第一式得a滿足的方程lnx3(x

11、2-x1)1X1(x3x2)Ja二T(3)求參數a,b的MATLABS序functiona,b,q=hare(p,T)%輸入單調的連續三年數量p和時間間隔T(本題T=1),輸出參數a,b和下一年的數量qa=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)八2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2)；q=1/(b+(1/p(3)-b)*exp(-a*T);在第一個上升階段，對于連續三年(0,1,2)和(1,2,3)分別計算得到二組a,b值0.999996295432800.09999899065418

12、1.000001896730560.10000006995945在下降階段，對于連續三年（3,4,5）和（4,5,6）分別計算得到的二組a,b值0.499999514703010.200000053216010.499983964746560.20000085565547在第二個上升階段，對于連續三年（6,7,8）和（7,8,9）分別計算得到的二組a,b值1.000005087174110.100000057968451.000009756401800.10000014562299當取a,b為最后一組數據時，T=10時由（2）得到預測數為10.1（十萬），當取a=1,b=0.1時，預測數為10

13、.1（十萬）.（M為兔子飽和值）（3）M=10.1（十萬）,用類似于（1）的方怯,得到的表格:時間（年）統計得到的兔子數量（十萬）通過函數計算得到的兔子數量（十萬）仃分誤差01.00000L000000.00000%12.319692.31103-0.37300%24.508534.49235-0.33900%36.905686.906850.01700%46.005128.6234413.60100%一05.564959.4976970.67000%65.328075,328070.00000%77.561017.47658-1.11700%8&939208.87936-0.6700

14、099.581709.583840.02200%109.89129表5-3從表格中看出：此時，第卜年的野兔數量為g8g129只。這個時候的對比圖形;結論是:dx=x(10.1x)在t=0到t=3N間增長規律為logistic模型：dt在t=3到t=6之間增長規律有異常情況，但仍為logistic模型；：dxx=0.5x(1-0.2x)dtdxx=x(1-0.1x)在t=6到T=9N間增長規律恢復為logistic模型：dt在T=10時，在正常，懵況下，野兔數量為10.8156(十萬)只.數學建模一周論文模型的誤差分析這里我們需要討論幾個造成模型誤差的問題，它們都很有實際意義。一個是模型對初值的

15、依賴性問題，另一個是模型對參數選取的依賴性問題。模型的優缺點模型的評價與推廣模型評價一開始我們根據生物學的知識，對種群數量的飽和值取了一個估計值，而事實上，我們在估計了M=10左右的幾個值后，又分析了不同的M值對模型解的影響，從而得出我們對M值的估計具有一定的現實性和真實性。在考慮初值誤差對模型解影響過程中，我們采用常微分知識，考慮解對初值的依賴性和解對參數的依賴性，這種思路對于實際研究具有極其重大的現實意義。該模型的使用范圍是：在一定的空間區域內，不考慮環境的重大變化對生物種群的影響，而是按照該區域的一般自然規律。同樣，這也是本模型的不足之處，因為現實中，我們研究的生物種群可能對環境的依賴性

16、很強，那么環境的影響就是一個重要的因素，但是我們也意識到要用一個很具體的模型，該模型考慮現實中的每一個因素，并且表示這些因素的表達式又是簡單的數學式，要找這樣的模型是很困難的，而我們采用的模型在絕大部分同類問題中所體現的優越性是易見的，并且我們在以上的分析中也給出了相對較好的模型。模型的推廣這個模型是針對一定空間區域內，在一般規律下，對生物種群數量隨時間的變化范圍作出的估計。這種估計對于研究某一區域內的種群有直接的好處，也利于人類研究人類自身。對于一定區域內的生物種群，如果考慮種群生存環境的一般現象，我們可以從事實上看到我們應用的模型對于該類問題的解決有重大的預見效果。現在，在關于生物種群數量

17、的研究中，有很多種方法，而logistic模型對于這類與現實搭配的事實更趨于成功。由以上的分析，我們看到了該模型對于相對較小誤差的測量，是可以得到相當準確的預測值的。于是，我們認為，在環境不發生重大改變的情況下，研究生物種群數量與時間的關系就可以采用我們在解決本問題時的解法。東華理工大學長江學院課程設計評分表學生姓名：郭耀文、葉協波、周超太班級：1331702班學號：201330170223、201330170231、201330170221課程設計題目：野兔生長問題項目內容滿分實評選題能結合所學課程知識、有f的能力訓練。符合選題要求（3人一®）5工作量適中，難易度合理10能力水平能熟練應用所學知識，