1、幾種常見圓錐曲線題型小結圓錐曲線的常見題型包括：1.圓錐曲線的弦長求法、2.與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、3.與圓錐曲線有關的證明問題4.圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，5.直線與圓錐曲線位置關系等。下面分別作簡單介紹。一、重、難、疑點分析1重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題，利用坐標法研究直線與圓錐曲線的有關的問題.2難點：雙圓錐曲線的相交問題 (應當提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析) ，運用解析幾何的思想方法解決幾何問題.3疑點：與圓錐曲線有關的證明問題(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線

2、平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范)二教學目標1. 理解直線與圓錐曲線的位置關系，能利用對方程組的解的討論來研究直線與圓錐曲線的位置關系，進而研究直線與圓錐曲線的有關問題；2.在探究過程中,幫助學生體會運用數形結合思想，方程的思想、轉化思想以及運動變化的觀點，分析和解決問題，提高學生的數學思維能力；3.讓學生體會解析幾何的思想方法用代數方法解決幾何問題，并強調理解代數關系的幾何意義，有助于學生認識數學內容之間的內在聯系，逐步形成正確的數學觀 三簡單復習1.研究直線與圓錐曲線的位置關系可通過代數方法即解方程組的辦法來分析，因為方程組解的個數

3、與直線與圓錐曲線的公共點的個數是一樣的.直線與圓錐曲線相交的弦長公式設直線l: y=kx+b，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為A (x1,y1)，B (x2,y2)，則|AB|=四、題型展示1圓錐曲線的弦長求法設圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A()、B()兩點，則弦長|AB|為：(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF| 例1 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角分析一：由弦長公式易解解答為： 拋物線方程為x2=-4y， 焦點為(0，-1)設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，

4、即y=kx-1將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0x1+x2=-4，x1+x2=-4k由|AB|=8得: 又有得:或.分析二:利用焦半徑關系.|AB|=-(+y2)+p=-(kx1-1)+(kx2-1)+p=-k(+x2)+2+p由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成2與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍例2已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值解一：將+4(y-1)2=4代入得：+y2=4-4(y

5、-1)2+y2=-3y2+8y由點(x，y)滿足+4(y-1)2=4知：4(y-1)24 即|y-1|10y2當y=0時，(+y2)min=0解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，則將此代入+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值令x+y=u， 則有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0又0y2，(由(1)可知) -(2u+8)2-4×5×0當時,; 當時,;3與圓錐曲線有關的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法例3.在拋物線x24y上有兩點A(x1，

6、y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；(2)為定值.證明：(1)拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1 A、B到準線的距離分別d1y1+1，d2=y2+1(如圖246所示)由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三點共線(2)如圖246，設AFK=|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin+2 又|BF|=|BB1|=2-|BF|sin 小結:與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質.4圓錐曲線與圓錐曲線

7、的相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用0來處理但用0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的解決這類問題：方法1，由“0”與直觀圖形相結合；方法2，由“0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)例4 已知曲線及有公共點,求實數a的取值范圍可得：=2(1-a)y+-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)0， .如圖247，可知：橢圓中心,半軸長,拋物線頂點為,所以當圓錐曲線在下方相切或相交時,.綜上所述,當時, 曲線與相交.5利用共線向量解決圓錐曲線中的參數范圍問題例5.已知橢圓的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，向量與

8、是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點， 、分別是左、右焦點，求 的取值范圍；解：（1），。是共線向量，b=c,故。（2）設當且僅當時，cos=0，。由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題. 6. 利用向量的數量積解決圓錐曲線中的參數范圍問題例6.橢圓的焦點為FF，點P為其上的動點，當FP F為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是_。解：由橢圓的知焦點為F1（,0）F

9、2（,0）.設橢圓上的點可設為P（3cos,2sin）.為鈍角 =9cos254sin2=5 cos21<0 解得： 點P橫坐標的取值范圍是（）.解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.7. 直線與圓錐曲線（2）設點C是橢圓上一點，求它到直線AB的距離的最大值【分析】方法1：可用把直線AB平移至直線l的位置，直線l與橢圓相切，求直線l的方程，再求切線l到直線AB的最大距離。方法2：先設C(x,y),表示出C到直線AB的距離，考慮到用函數的思想方法來求最值，所以想到把x,y用三角函數表示出來，求點C到直

10、線AB的距離的最大值【解】法1：設直線l:y=x+m與橢圓相切，聯立直線l與橢圓的方程，得到：，則即有：，即，解得m=，算得：當m=3時，直線l與直線AB距離d有最大值，=,此時橢圓上的點C的坐標為.法2：設點C到直線AB的距離為d，則d=,因為點C在橢圓上，設,代入上式，得到：d=令=,=,則d=，當=-1，=-,=,即C時，d有最大值，=。【點評】本題考查橢圓的性質與方程，直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離，函數與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。例2. 已知橢圓,弦AB的中點是P(1，1),求弦AB所在直線的方程.【分析】目標問題：“求直線的方程”“過一點，確定斜率（包括斜率是否存

11、在，存在時是多少）”幾何條件：直線AB與橢圓交于A，B；弦AB的中點代數關系：；. 由此建立關于斜率的方程求解.【解】直線AB垂直x軸時，直線AB中點在x軸上，所以直線AB的斜率存在.設直線AB：y-1=k(x-1)，設A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程組：，得：有：，則，得到，把代入判別式驗證成立（其實我們還能判斷出點P必在橢圓內）.則AB的方程為：，即【解2】設A(x1,y1),B(x2,y2)，（）因為點A、B在橢圓上，所以，得到：，因為線段AB的中點是P（1，1），所以，得到：，所以=，所以AB的方程為：，即.【小結】（1）本題是弦的中點問題，基本解法是聯立直線與圓錐曲線的方程

12、，用弦的端點坐標表示弦的中點坐標來解決問題。這類問題的解決仍然深刻體現了坐標法的應用.（2）同樣要檢驗判別式大于0。（）注意點差法的使用范圍.例3.設是一個大于0的常數，過點的直線與拋物線相交于A、B兩點，以弦AB為直經作圓H（H為圓心），求證：拋物線頂點在圓H的圓周上.【分析】對運動變化過程進行描述：用幾何畫板。目標問題：“點在圓上”“點到圓心的距離等于直徑的一半”；“此點與直徑端點連線形成的圓周角等于º.幾何條件：點在圓上代數關系：法1： .法2：【解題指導】（1）深入探究對幾何特征的理解，轉化出不同的代數關系，分析多種證明策略.（2）總結較復雜的解析幾何問題的解題思路.（）通過演示讓學生體會幾何直觀對他們的思路打開有一定的幫助.【解】法1：設，顯然直線AB不平行于軸，設直線AB：由方程組 得：則 ，得：.因此：.所以拋物線的頂點O在圓H的圓周上.法2：設，設直線AB：，由方程組 得：所以，點， ，所以拋物線的頂點O在圓H的圓周上.【變式】設是一常數，過拋物線的頂點O作兩條互相垂直的弦OA和OB.試說明動直線AB是否過