1、第七章第七章 異方差模型異方差模型 本章內容：本章內容：n普通回歸中的異方差n時間序列中的條件異方差模型簡介n使用Eviews建立ARCH模型 第一節第一節 異方差的概念異方差的概念一. 異方差的性質n隨機誤差項的方差受到解釋變量的影響，隨解釋變量取值的變化而變化，稱隨機誤差項存在異方差。n同方差性(Homoskedasticity)：等同的(home)分散程度(skedasticity); 隨機擾動項ui對每一個樣本點的方差是一個常數 niuVari,2, 1,)(2n異方差性(Heteroskedasticity).隨機擾動項ui的條件方差不再是一個常數2)(iiuVarx1 x2X收入密

2、度同方差同方差Y儲蓄Y=b0+b1x異方差異方差x1 x2X 收入密度Y儲蓄Y=b0+b1xXYXY遞減異方差遞增異方差YXXY復雜異方差等方差 二、產生異方差的原因二、產生異方差的原因n模型中省略了對被解釋變量有影響的解釋變量n模型中變量觀測值的測量誤差n對被解釋變量有影響的各種隨機因素n異方差性還會因為異常值(outliers)的出現而產生。Example 1n對收入低的家庭，收入中扣除必要的生活費支出外，用于其他支出和消費的部分也較小，隨機項波動程度小，即方差小n對收入高的家庭，收入中扣除必要的生活費支出外，用于其他支出和消費的部分也較大，隨機項波動程度小，即方差大n因此，隨機誤差項的方

3、差隨解釋變量（收入）的增加而遞增iiiXbbY10（儲蓄）（收入）Example 2n對規模小的企業，在一定的勞動投入和資金投入下，產出的波動幅度小，隨機項的方差小n對規模大的企業，在一定的勞動投入和資金投入下，產出的波動幅度大，隨機項的方差大n隨機誤差項的方差隨企業規模增大而遞增iiiiXbXbbY22110lnln（產出）（資本）（勞動力）Example 3 20個國家在第二次世界大戰后直至1969年期間的股票價格(y)和消費者價格(x)的百分率變化的散點圖sample5.311051015202530051015202530XY051015246810X1Y1 n異方差的產生異方差的產生

4、a)變量為時間序列數據的模型可能產生異方差例：1951年至1998年我國商品零售物價指數s和居民消費價格指數x。Sample5.3121234567556065707580859095SX-0.2-0.10.00.10.2556065707580859095W0.000.010.020.030.04556065707580859095W2 b)變量為截面數據的模型更常出現異方差第二節第二節 出現異方差時的出現異方差時的OLSOLS估計估計n參數的OLS估計仍然是線性無偏的，但不是最小方差的估計量nt檢驗失效n降低預測精度：由于異方差，會使得OLS估計的方差增大，從而造成預測誤差變大，降低預測精

5、度。 1、參數的OLS估計仍然是線性無偏,但不是最小方差的估計量1、線性性22iiixyx=22iiixux2、無偏性E(2)=E(22iiixux)=22)(iiixuEx=23、方差Var(2)=Var(22iiixux)=222)()(iiixuVarx=2222)(iiixx在同方差時，Var(2)=22ix一元線性回歸模型為例該形式不具有最小方差該形式具有最小方差 2、t 檢驗失效檢驗失效) 2()(22ntSt212222)()(XXVaru 第三節第三節 異方差的檢驗異方差的檢驗一、非正式方法1、問題的性質：根據所考慮問題的性質來判斷是否會遇到異方差性。例如:在投資與銷售量、利率

6、等的關系的橫截面分析中，如果樣本同時含有小、中和大型廠家，一般都預期有異方差存在.2 2、圖示法、圖示法XXYY nEviews步驟：nquick/graph,在隨后的對話框中輸入殘差序列名和因變量名n從Graph type中選Scatter Diagrama)如果殘差的絕對值分布比較隨機，無明顯規律，可判定不存在異方差。 n例：sample5.313的消費支出Y和收入X數據的異方差圖檢驗。-20-10010203050100150200YRESID二、正式方法二、正式方法1 1 Goldfeld-QuandtGoldfeld-Quandt檢驗檢驗建立兩個子樣本：按大小排列樣本觀測值，去除中間

7、c個觀測值（c一般為樣本容量的1/4到1/3）原假設（同方差）： ； 備擇假設（異方差）：分別對兩個子樣本利用最小二乘估計進行回歸，得出殘差平方和選擇統計量：若 拒絕H0，存在異方差；若 ，接受H0 ，同方差22210:H22211:H)2,2()2/()2/(1212kcnkcnFRSSRSSkcnRSSkcnRSSF FF FF n例：sample5.314的消費支出Y和收入X數據的異方差的戈德菲爾德-匡特檢驗。1、按X升序排序2、去掉居中的4個觀測3、對頭13個觀測值作回歸1117.3776968. 04094. 31dfRSSXYii 對末13個觀測值作回歸4、計算統計量5、查表5%顯

8、著水平的F臨界值為2.82，故否定原假設，認為存在異方差性。118 .15367941. 00272.282dfRSSXYii07. 411/11.37711/8 .1536/12dfRSSdfRSSF2 、Glejser檢驗檢驗n基本思想：看看殘差與解釋變量是否存在因果關系n方法：對殘差 和解釋變量Xi進行各種形式的回歸分析（最小二乘估計）如果某種回歸形式的擬合優度高，系數的t檢驗顯著，說明 受到Xi的影響，即存在異方差iiiiivXu21|iiivXu21|iiivXu1|21iiivXu1|21iiivXu21|iiivXu221|3、 Spearman等級相關系數檢驗等級相關系數檢驗利

9、用最小二乘法進行回歸分析，計算殘差原假設：同方差；備擇假設：異方差對解釋變量Xi和 分別按從小到大的順序排列，并賦予1到n中的一個順序號表示其等級對每個下標i，計算Xi和 的等級差di計算等級相關系數計算統計量當 ，等級相關系數不明顯，接受原假設，同方差；否則存在異方差iiinndrnii31261) 1 , 0(1NnrZ2/ ZZ4 4 WhiteWhite檢驗檢驗1）、利用最小二乘法進行回歸，計算殘差2）、將 關于各解釋變量、各解釋變量的平方、兩兩解釋變量的乘積利用最小二乘法作回歸分析。3）、計算white檢驗的統計量4）、若 拒絕H0，存在異方差；若 ，接受H0 ，同方差。其中k是除常

10、數項以外的回歸系數的個數。i2i2Rnm)(2km)(2km n例：對sample5.315數據作white異方差檢驗 LS Y C X Z拒絕原假設，認為有異方差存在。White Heteroskedasticity Test:F-statistic19.41959 Probability0.000022Obs*R-squared 16.02013 Probability0.006787 n其他異方差檢驗：布勞殊-培干-戈弗雷(Breusch-Pagan-Godfrey)、reset檢驗、帕克(Park)檢驗等等。 第四節第四節 異方差的處理異方差的處理n情形一： 已知時n情形二： 未知時2

11、i2i加權最小二乘法加權最小二乘法(WLS) WLS的思路：的思路：n根據誤差最小建立起來的OLS法，同方差下，將各個樣本點提供的殘差一視同仁是符合情理的。各個 提供信息的重要程度是一致的。n但在異方差下，離散程度大的 對應的回歸直線的位置很不精確，擬合直線時理應不太重視它們提供的信息。即Xi對應的 偏離大的所提供的信息貢獻應打折扣，而偏離小的所提供的信息貢獻則應于重視。n因此采用權數對殘差提供的信息的重要程度作一番校正，可以提高估計精度。這就是WLS（加權最小二乘法）的思路。iii加權最小二乘法的機理加權最小二乘法的機理n以遞增型為例。設權術WI與異方差的變異趨勢相反。Wi=1/2i。Wi使

12、異方差經受了“壓縮”和“擴張”變為同方差。加權最小二乘法的原理加權最小二乘法的原理 大乘小，小乘大，加權為同方差誤差隨E由大到小權數w由小到大1. 1. 已知時已知時ikikiiiXbXbXbbY22110兩邊同除iiiiiiiikikiiiXbXbXbbY221101令iiiiiiiikikiiiiiiiiXXXXXXXYY,1,22110ikikiiiiXbXbXbXbY*22*1100得*2*10,kiiiiiXXXXY已知，所以i均可觀測2i有1)(*iVar同方差同方差滿足經典假設，用最小二乘法估計參數niiiniiiniiYYYYi12212*12*)(1)(min2. 未知時未知

13、時2iXXXXXXxbXXXxbXXXbXXXYXXXXbXbXbbYkiiiikiiiikkkiiiikiiikiiiikiiikiiiiikikiiiffffffXXXf,),(212121112102121212222110兩邊同除存在異方差：同方差轉換后的模型符合經典假設，可以用OLS估計參數 n懷特的懷特的“異方差性相一致異方差性相一致”的方差與標準誤的方差與標準誤：White給出一種估計，可對真實的參數值做出漸近有效的估計.例子：例子：一元線性回歸模型：iiiXbbY10假定：222)(iiXVar隨機項的方差與自變量X的平方成正比兩邊除以Xi ：iiiiiiivXbbXbXbXY

14、10110222221)(1)()(iiiiiiiXXVarXXVarvVar符合經典假設，用OLS求出 對 回歸方程iiXYiX1iiiiiXbbYXbbXY10011加權最小二乘法（加權最小二乘法（WLS）的一般形式的一般形式YWXXWXIDDDDYDDXXDDXDWDYXXXBDUUEDDUUDEUUEUBXYUDXBDYDDDDWDDWIDWDWIWWUUCovUEUXBYwwwn111111111111*111 11111111111222*212)()()()(0)(估計加權模型：左乘模型用對稱正定加權矩陣加權矩陣Wn采用OLS估計原模型：Y=XB+Un得到殘差，以各次觀察殘差的平

15、方作為W權數矩陣主對角線上總體方差的近似值DDWDWWeeeeeeeeennn11111111111212222122221 第五節第五節 ARCH模型模型一、一、ARCH模型的定義模型的定義n由Engle,1982年提出。Autoregressive conditional heteroskedasticity modeln波動的集群性(Volatility Clustering)：時序中出現某一特征的值成群出現的情況。 n就ARCH(1)為例：時刻t的殘差 的方差 依賴于時刻t-1的平方誤差的大小，即依賴于 。 更具體地，首先我們做k-變量回歸模型：假定在時刻t-1所有信息的條件下，干擾項

16、的分布為：2ttu21tutktkttuXXY110, 02110ttuNu n定義：對于通常的回歸模型如果隨機擾動項的平方 服從AR(q)過程，即其中， 獨立同分布，并滿足 ，則稱模型(5.3)是自回歸條件異方差模型，簡記為ARCH模型。稱序列服從q階的ARCH過程，記作 。(5.2)和(5.3)構成的模型稱為回歸-ARCH模型。 tktkttuXXY1102tu, 2 , 1,221102tuuutqtqttt2)(, 0)(ttDE)(qARCHt 二、二、ARCH效應檢驗效應檢驗n最常用的檢驗方法：拉格朗日乘數法，即LM檢驗。n步驟：n建立輔助回歸方程n原假設和備擇假設分別為n檢驗統計

17、量n其中，n為計算輔助回歸(5.4)時的樣本數據個數， 是輔1)助回歸的決定系數(采用OLS估計)tqtqttuuu221102)1 (0:; 0:1210qiHHiq)(22qnRLM2R 4) 給定顯著性水平 和自由度q，如果 ，則拒絕原假設，認為序列存在ARCH效應；如果 ，則不能拒絕原假設，說明序列不存在ARCH效應。例：sample5.312 檢驗1951年至1988年我國商品零售物價指數和居民價格指數回歸滯后殘差的ARCH效應。)(2qLM)(2qLMARCH Test:F-statistic5.799957 Probability0.020494Obs*R-squared5.338877 Probability0.020855 三、三、ARCH模型的參數估計模型的參數估計n上述回歸-ARCH(q)模型的參數估計的對數似然函數為其中，使該函數達最大值的參數 ，就是 的極大似然估計。ntttntttnttyhhnxyL111|ln)/(21)ln(21)2ln(21),|,(ln22110qtqttuuh和和 例：