1、授課內容：向量的坐標表示及其運算一.情境引入上海市莘莊中學的健美操隊四名隊員A、B、C、D在一個長10米，寬8米的矩形表演區域EFGH內進行健美操表演.（1）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖1所示的平行四邊形隊形.隊員A位于點F處，隊員B在邊FG上距F點3米處，隊員D位于距EF邊2米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？說明 此時隊員C在位于距EF邊5米距FG邊5米處.這個圖形比較特殊，學生很快就會得到答案，這時教師引入第二個問題.（2）若在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖2所示的平行四邊形隊形.隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊

2、員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？說明 不要求學生寫出結果，只引導學生思考.這個圖形更為一般一些，學生解決的可能不是很順，這時，教師就可以說，這一節我們就來學習一個新的內容：向量的坐標表示及其運算，學習了這個內容之后，同學們只要花上兩分鐘或者只要一分鐘的時間就可以解決這個問題了，引起學生學習的興趣與探究的欲望.二學習新課1. 向量的正交分解 我們稱在平面直角坐標系中，方向與x軸和y軸正方向分別相同的的兩個單位向量叫做基本單位向量，分別記為，如圖，稱以原點O為起點的向量為位置向量，如下圖左，即為一個位置向量.思考1：對于任一位置向量，我們能用基本單位向量來表示它嗎？

3、如上圖右，設如果點A的坐標為，它在小x軸，y軸上的投影分別為M，N，那么向量能用向量與來表示嗎？（依向量加法的平行四邊形法則可得），與能用基本單位向量來表示嗎？（依向量與實數相乘的幾何意義可得），于是可得：由上面這個式子，我們可以看到：平面直角坐標系內的任一位置向量都能表示成兩個相互垂直的基本單位向量的線性組合，這種向量的表示方法我們稱為向量的正交分解.2.向量的坐標表示 思考2：對于平面直角坐標系內的任意一個向量，我們都能將它正交分解為基本單位向量的線性組合嗎？如下圖左. 顯然，如上圖右，我們一定能夠以原點O為起點作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐標系內，任意一個向量都存在一個與它相

4、等的位置向量.由于這一點，我們研究向量的性質就可以通過研究其相應的位置向量來實現.由于任意一個位置向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合，所以平面內任意的一個向量都可以正交分解為基本單位向量的線性組合.即：= 上式中基本單位向量前面的系數x,y是與向量相等的位置向量的終點A的坐標.由于基本單位向量是固定不可變的，為了簡便，通常我們將系數x,y抽取出來，得到有序實數對（x,y）.可知有序實數對（x,y）與向量的位置向量是一一對應的.因而可用有序實數對（x,y）表示向量，并稱（x,y）為向量的坐標，記作：=（x,y）說明（x,y）不僅是向量的坐標，而且也是與相等的位置向量的終點A的坐標！當將向

5、量的起點置于坐標原點時，其終點A的坐標是唯一的，所以向量的坐標也是唯一的.這樣，我們就將點與向量、向量與坐標統一起來，使復雜問題簡單化.顯然，依上面的表示法，我們有：.例1.（課本例題）如圖，寫出向量的坐標.解：由圖知與向量相等的位置向量為，可知與向量相等的位置向量為，可知說明 對于位置向量，它的終點的坐標就是向量的坐標；對于起點不在原點的向量，我們是通過先找到與它相等的位置向量，再利用位置向量的坐標得到它們的坐標.那么，有沒有不通過位置向量，直接就寫出任意向量的坐標的方法呢？答案是肯定的，而且很簡便，但我們需幾分鐘后再來解決這個問題.讓我們先學習向量坐標表示的運算：3.向量的坐標表示的運算

6、我們學過向量的運算，知道向量有加法、減法、實數與向量的乘法等運算，那么，在學習了向量的坐標表示以后，我們怎么用向量的坐標形式來表示這些運算呢？設是一個實數，由于 所以 于是有： 說明上面第一個式子用語言可表述為：兩個向量的和(差)的橫坐標等于它們對應的橫坐標的和(差)，兩個向量的和(差)的縱坐標也等于它們對應的縱坐標的和(差)，可籠統地簡稱為：兩個向量和(差)的坐標等于對應坐標的和(差)；同樣，第二個式子用語言可表述為：數與向量的積的橫坐標等于數與向量的橫坐標的積，數與向量的積的縱坐標等于數與向量的縱坐標的積，也可籠統地簡稱為：數與向量積的坐標等于數與向量對應坐標的積.4.應用與深化下面我們來

7、研究剛才提出的不通過位置向量，如何直接寫出任意向量的坐標的問題：例2.如下圖左，設、是平面直角坐標系內的任意兩點，如何用P、Q的坐標來表示向量？解：如上圖右，向量 從而有 說明上面這個式子告訴我們：平面直角坐標系內的任意向量的橫坐標等于它終點的橫坐標與它起點的橫坐標的差，縱坐標也等于它終點的縱坐標與它起點的縱坐標的差，可簡稱為“任意向量坐標=終點坐標-起點坐標”.例3.（課本例題）如圖，平面上A、B、C三點的坐標分別為、.（1）寫出向量的坐標；（2）如果四邊形ABCD是平行四邊形，求D的坐標.解：（1） （2）在上圖中，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以 設點D的坐標為，于是有 又 故 由此

8、可得 解得 因此點D的坐標為.練習：（1）請大家用兩分鐘的時間解答本節課一開始我們所提出的在某時刻，健美操隊員C的位置問題.即：在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持如圖所示的平行四邊形隊形.如下圖左，隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員D位于距EF邊4米距FG邊5米處.你能確定此時隊員C的位置嗎？ 解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標系.則依題意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),設C(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得：又故于是 x=8, y=7,即C（8，7）.答：隊員C位于距EF邊8米、距FG

9、邊7米處.（2）在某時刻，四名隊員A、B、C、D保持平行四邊形隊形.已知隊員A位于距EF邊2米距FG邊1米處，隊員B在距EF邊6米距FG邊3米處，隊員C位于如下圖左所示的矩形陰影部分區域內（包括邊界）某一位置.你能確定此時隊員D可能的位置區域嗎？ 解：以點F為坐標原點，以邊FG為x軸，以邊FE為y軸，建立如上圖右所示直角坐標系.依題意有A(2,1),B(6,3),設D(x,y),則由ABCD是平行四邊形可得： 又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2) 由題意于是可得隊員D可能的位置區域如圖所示陰影部分（除去點B）：例4.已知向量與，求的坐標. 解：因為， 所以 三鞏固練習1. 如圖，寫出向量的坐標.2.已知，若其終點坐標是(2,1),則其起點的坐標是 ；若其起點坐標是(2,1),則其終點的坐標是 .3.已知向量與，求及的坐標.解：1