1、立體表面的展開在生產中，經常用到各種薄板制件，如管道、容器等，圖11-1所示的集粉筒即為其例子之一。制造這類制件時，通常是先在薄板上畫出表面展開圖，然后下料成型，再用咬縫或焊縫連接。 圖11-1 集粉筒 將立體表面按其實際大小和形狀，依次連續地展平在一個平面上，稱為立體表面的展開。展開后所得的圖形，稱為展開圖。立體表面分為可展與不可展兩種。平面立體的表面都是平面，是可展的；曲面立體的表面是否可展，則要根據組成其表面的曲面是否可展而定。凡是相鄰兩條素線彼此平行或相交（能構成一個平面）的曲面，是可展曲面，如柱面和錐面等。凡是相鄰兩條素線成交叉兩直線（不能構成一個平面）或母線是曲線的曲面，是不可展曲

2、面，如球面、環面等。不可展表面可采用近似作圖法展開。繪制展開圖有兩種方法：圖解法和計算法。圖解法是根據展開原理得到的，其實質是作立體表面的實形，而作實形的關鍵是求線段的實長和曲線的展開長度。圖解法具有作圖簡捷、直觀等優點，目前應用較廣。計算法是用解析計算代替圖解法中的展開作圖過程，求出曲線的解析表達式及展開圖中一系列點的坐標、線段長度，然后繪出圖形或直接下料的方法。隨著計算機技術的發展，這種方法更顯示出準確、高效、便于修改、保存等優點，它必將得到日益廣泛的應用。11.1 圖解法展開     平面立體的表面展開  作平面立體的表面展開圖，就是分別求出屬于立體表面的所

3、有多邊形的實形，并將它們依次連續地畫在一個平面上。 1.斜截四棱柱管的展開,圖11-2a為斜截四棱柱管的立體圖。由于從兩面投影圖（圖11-2b）中可直接量得各表面實形的邊長，因此作圖較簡單，具體作圖步驟如下：1)按各底邊的實長展開成一條水平線，標出、諸點； 2)過這些點作鉛垂線，在其上分別量取各棱線的實長，即得諸端點A、B、C、D、A。 3)用直線依次連接各端點，即可得展開圖。見圖11-2c。  圖11-2 斜截四棱柱管的展開2.吸氣罩的展開如圖11-3a為矩形吸氣罩的立體圖。圖11-3b為其兩面投影。從圖中可知，吸氣罩是由四個梯形平面圍成，其前后、左右對應相等，在其投影圖上并不反映

4、實形。為求梯形平面實形，可將梯形分成兩個三角形，(思考一下：為什么要把四邊形轉化成三角形來處理？)然后求三角形三邊實長，就可畫出三角形實形。具體作圖步驟如下： 1)在圖11-3b的俯視圖上，把前面的梯形分成abd與bcd兩個三角形，右邊梯形分成bfe與bec兩個三角形。注意其中ab、dc、bf、ce分別為相應線段實長。 2)如圖11-3c所示，用直角三角形法求出三角形在投影圖上不反映實長的另幾邊BC、BD、BE的實長B1C1、B1D1、B1E1。為了圖形清晰且節省地方，把各線段實長的圖解圖集中畫在一起。 3)如圖11-3d所示，取AB=ab；BD=B1D1；AD=BC=B1C1；DC=dc ，

5、畫出三角形ABD 和三角形BDC ，得前面梯形ABCD 。同理可作出右面梯形BCEF 。由于后面和左面兩個梯形分別是前面和右面的全等圖形，故可同樣作出它們的實形。由此即可得吸氣罩的展開圖。圖11-3 吸氣罩展開   可展曲面的展開 1.圓管的展開 如圖11-4所示，圓管表面展開為一矩形，其高為管高 H ，長為圓管周長D 。2.斜口圓管的展開 如圖11-5所示，圓管被斜切以后，表面每條素線的高度有了差異，但仍互相平行，且與底面垂直，其正面投影反映實長，斜口展開后成為曲線，具體作圖步驟如下：1）在俯視圖上，將圓周分成若干等分（圖為12等分），得分點1、2、3，過各分點

6、在主視圖上作相應素線投影1a、2b、 等。 2）展開底圓得一水平線，其長度為D ，并將其分同樣等分，得、 分點，如準確程度要求不高時，各分段長度可以底圓分段各弧的弦長近似代替。 3）過、 各分點作鉛垂線，并截取相應素線高度（實長）A=1a, B= 2b,得 A、B、C、 各端點。 4）光滑連接A、B、C、 等各端點，即可得到斜口圓管表面的展開圖，如圖11-5c。 圖11-5  斜切圓筒展開 3.等徑直角彎管的展開圖11-6a所示彎管，用來連接等徑兩互相垂直的圓管。為了簡化作圖和節約材料，工程上常采用多節斜口圓管拼接而成一個直角彎管來展開。本例所示彎管由四節斜口圓管組成。中間兩節是兩面

7、斜口的全節，端部兩節是一個全節分成的兩個半節，由這四節可拼接成一個直圓管，如圖11-6b、c所示。根據需要直角彎管可由n節組成，此時應有n-1 個全節，各節斜口角度可用公式計算：=90°/2(n-1)（本例彎管由四節組成，=150°）。 彎頭各節斜口的展開曲線可按上例斜口圓管展開圖的畫法作出，如圖11-6所示。 在實際生產中，若用鋼板制作彎管，不必畫出完整的彎管正面投影，只需要求出斜口角度，畫出下端半節的展開圖，再以它為樣板畫出其余各節的下料曲線。 圖11-6 1/4圓環面彎管接頭的表面展開4.異徑直角三通管的展開圖11-7所示,異徑直角三通管的大小兩個圓管的軸線是垂直相交

8、的。圖11-7b畫出了它們V面和W面投影.為了簡化作圖，往往不畫H面投影，而把小圓管水平投影的圓分別用半個圓畫有V面和W面投影上。作展開圖時，必須先在視圖上準確地畫出兩圓管的相貫線，然后 分別作出大、小圓管的展開圖。具體作圖步驟如下： (1)作兩圓管的相貫線   畫相貫線的作圖方法與步驟可以參考前面有關章節。這里介紹一種方法，其實質就是前面所述的輔助平面法，這種方法作圖緊湊，實際工作中應用較多。具體作圖過程如下： 1)將小圓管的半圓分成六等分，并標出相應符號（注意V面投影和W面投影符號的編寫次序）。 2)作小圓管相應的等分素線。 3)W面投影上等分素線與大圓管的圓交于點1、

9、2、3、4，由這些點分別作水平線，在V面投影上與相應的等分素線交于點1、2、3、4，用光滑曲線連接各點，即為所求相貫線的V面投影。 (2)作展開圖 1)小圓管展開，與前述斜口圓管展開方法相同，如圖11-7所示。 2)大圓管展開，主要是求相貫線展開后的圖形。先將大圓管展開成一個矩形，其邊長分別為大圓管的長度和周長。然后作一水平對稱線11為大圓管最高素線的展開位置，在矩形的垂直邊上，在所作水平線的上下量取12=弧長1"2"   、23=弧長2"3"   、34=弧長3"4" （可取弦長近似代替弧長），過1、2、3、4各

10、點作水平線，與過正面投影圖上1、2、3、4各點向下所引鉛垂線相交，得相應交點、 。光滑連接這些點，即得相貫線展開后的圖形，如圖11-7所示。 在實際生產中，也常常只將小圓管展開，彎成圓管后，定位在大圓管上劃線開口，最后把兩管焊接起來。 圖11-7 異徑直角三通管的展開5.正圓錐面的展開完整的正圓錐的表面展開圖為一扇形，可計算出相應參數直接作圖，其中，扇形的直線邊等于圓錐素線的實長，扇形的圓弧長度等于圓錐底圓的周長D ，扇形的中心角=360°D/2R=180° D/R , 見圖11-8。 近似作圖時，可將正圓錐表面看成是由很多三角形（即棱面）組成，那么這些三角形的展開圖近似地

11、為錐管表面的展開圖，具體作圖步驟如下(見圖11-8)： 1）把H面投影圓周12等分，在V面投影圖上作出相應投影s1、s2、。 2）以素線實長s7為半徑畫弧，在圓弧上量取12段等距離，此時以底圓上的分段弦長近似代替分段弧長，即=12、=23、 ，將首尾兩點與圓心相連，得正圓錐面的展開圖。若需展開如圖11-1中大喇叭管形平截口正圓錐管，只需在正圓錐管展開圖上截去下面小圓錐面即可。  圖11-8 圓錐表面的展開6.斜截口正圓錐管的展開圖11-9為斜截口正圓錐管，它的近似展開圖見圖11-9,作圖步驟如下： 1）把H面投影圓周12等分，在V面投影圖上作出相應素線投影s1、s2、。 2）過V面投

12、影圖上各條素線與斜頂面交點a、b、 分別作水平線，與圓錐轉向線s1分別交于a1、b1、 各點，則1a1、1b1、 為斜截口正圓錐管上相應素線的實長。 3）作出完整圓錐表面的展開圖。在相應棱線上截取A= 1a1、B= 1b1、,得A、B、 各端點。 4）用光滑曲線連接A、B、 各端點，得到斜截口正圓錐管的表面展開圖，如圖11-9c所示。 圖11-9 斜截口正圓錐管的展開7.方圓過渡管的展開 圖11-10a中間部分為一上連圓形管口，下連方形管口的上圓下方變形接頭，為了準確地畫出這種接頭的展開圖，必須正確地分析它的表面組成。從11-10b骨架模型可知，它由四個相同的等腰三角形和四個相同的1/4局部斜

13、錐面組成，將這些組成部分依次展開畫在同一平面上，即得該方圓過渡管的展開圖，見圖11-10d。作圖步驟如下:  1）在水平投影圖上，將圓口的1/4圓弧分成三等分，得分點2、3。由圖11-10b可知，連線a1、a2、a3、a4 分別為斜圓錐面上素線A、A、A、A 的H面投影，其中素線A= A，A= A 。2）用直角三角形法求作素線A，A的實長，畫在V面投影的右方，圖11-10c中O=a1，O=a2， 實長為 A（A）、A（A）。 3）在展開圖上，取 AB=ab ，分別以A、B為圓心，A為半徑作圓弧，交于點，得三角形AB ，為三角形的實形。再分別以、A 為圓心，以34 的弧長（近似作圖用弦

14、長代替）和 A為半徑作圓弧，交于 點，得三角形 A 。同理依次作出三角形 A、A ，用光滑曲線連接、 各點，即可得1/4斜錐面的展開圖。 4）以完全相同的方法繼續作圖，即得方圓接管的展開圖。 實際作圖時，可以(3）中所得1/4斜錐面的展開圖作樣板，套畫其余部分。下料時，為了便于接合，應從平面部分截開，可以是整塊（如圖11-10d），也可以做成對稱的兩塊。圖11-10  上圓下方變形接頭的展開1 不可展曲面的近似展開作不可展曲面的展開圖時，可假想把它劃分為若干與它接近的可展曲面的小塊（柱面或錐面等），按可展曲面進行近似展開；或者假想把它分成若干與它接近的小塊平面，從而作近似展開。本節僅

15、以球面展開為例，說明前一種方法的應用。 1.球面按柱面近似展開（圖11-11）1)過球心作一系列鉛垂面，均勻截球面為若干等分（圖11-11b中為12等分）。 2)作出一等分球面的外切圓柱面，如 nasb ，近似代替每部分球面。 3)作外切圓柱面的展開圖： 在V面投影上，將轉向線 nos 分成若干等分（圖中為六等分）。在展開圖上將 nos 展成直線 NOS ，并將其六等分得O、 等點；從所得等分點引水平線：在水平線上取AB=ab, CD=cd, EF=ef（近似作圖，可取相應切線長代替），連A、C、E、N、. 等點，即得十二分之一球面的近似展開圖，其余部分的作圖相同圖11-11 柱面法

16、展開球面2.球面按錐面和柱面近似展開  （圖11-12 ）用水平面將球分成若干等分（圖11-12中為七等分），然后除當中編號為1的部分近似地當作圓柱面展開外，其余即以它們的內接正圓錐面作近似展開，其中編號為2、3、5、6四部分當作截頭正錐面來展開，編號為4、7部分當作正圓錐面展開，各個錐面的頂點分別為s1、s2、s3等點。所得展開圖如圖11-12c所示。 圖11-12 錐面和柱面法展開球面用計算法作展開圖，就是在分析制件的基礎上，建立起制件展開曲線的解析表達式，從而計算出展開圖中點的坐標、線段長度等參數，最后由計算結果繪出圖形，或由計算機直接繪出圖形，有數控切割機自動進行切割下料。限于篇幅，本節僅作簡單介紹。   解析表達式的建立  采用計算法作展開圖的前提是建立展開曲線的解析表達式，下面僅以斜口圓管展開為例，說明解析表達式的建立過程。圖11-13為斜口圓管的投影圖和展開圖。制件的已知尺寸為D、h和a。斜口展開曲線上的每個點Pi將對應一個固定的角ji。如對展開圖建立直角坐標系，則可根據各尺寸間的幾何關系和角ji推導出點Pi的坐標：Xi=D/2(2/360)ji Yi=