1、第4章 剛體的定軸轉動 習題及答案1剛體繞一定軸作勻變速轉動，剛體上任一點是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向和法向加速度的大小是否隨時間變化？答：當剛體作勻變速轉動時,角加速度不變。剛體上任一點都作勻變速圓周運動，因此該點速率在均勻變化，所以一定有切向加速度，其大小不變。又因該點速度的方向變化，所以一定有法向加速度，由于角速度變化，所以法向加速度的大小也在變化。2. 剛體繞定軸轉動的轉動定律和質點系的動量矩定理是什么關系？答：剛體是一個特殊的質點系，它應遵守質點系的動量矩定理，當剛體繞定軸Z轉動時，動量矩定理的形式為，表示剛體對Z軸的合外力矩，表示剛體對Z軸的動量矩。,其中，代表剛體對定

2、軸的轉動慣量，所以。既 。所以剛體定軸轉動的轉動定律是質點系的動量矩定理在剛體繞定軸轉動時的具體表現形式，及質點系的動量矩定理用于剛體時在剛體轉軸方向的分量表達式。3兩個半徑相同的輪子，質量相同，但一個輪子的質量聚集在邊緣附近，另一個輪子的質量分布比較均勻，試問：（1）如果它們的角動量相同，哪個輪子轉得快？（2）如果它們的角速度相同，哪個輪子的角動量大？答：(1)由于，而轉動慣量與質量分布有關，半徑、質量均相同的輪子，質量聚集在邊緣附近的輪子的轉動慣量大，故角速度小，轉得慢，質量分布比較均勻的輪子轉得快； （2）如果它們的角速度相同，則質量聚集在邊緣附近的輪子角動量大。4一圓形臺面可繞中心軸無

3、摩擦地轉動，有一玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動，問平臺如何運動？如小汽車突然剎車，此過程角動量是否守恒？動量是否守恒？能量是否守恒？答：玩具車相對臺面由靜止啟動，繞軸作圓周運動時，平臺將沿相反方向轉動；小汽車突然剎車過程滿足角動量守恒，而能量和動量均不守恒。5一轉速為的飛輪，因制動而均勻地減速，經10秒后停止轉動，求：（1） 飛輪的角加速度和從開始制動到停止轉動，飛輪所轉過的圈數；（2） 開始制動后5秒時飛輪的角速度。解：（1）由題意飛輪的初角速度為飛輪作均減速轉動，其角加速度為 故從開始制動到停止轉動，飛輪轉過的角位移為因此，飛輪轉過圈數為100圈。（2）開始制動后5秒時飛輪的角速

4、度為6如圖所示， 一飛輪由一直徑為，厚度為的圓盤和兩個直徑為，長為的共軸圓柱體組成，設飛輪的密度為，求飛輪對軸的轉動慣量。aLd1d2解：如圖所示，根據轉動慣量的可加性，飛輪對軸的轉動慣量可視為圓盤與兩圓柱體對同軸的轉動慣量之和。由此可得7. 如圖所示，一半徑為r，質量為m1的勻質圓盤作為定滑輪，繞有輕繩，繩上掛一質量為m2的重物，求重物下落的加速度。解：設繩中張力為T對于重物按牛頓第二定律有 (1)對于滑輪按轉動定律有    (2)由角量線量關系有  （3）聯立以上三式解得 8. 如圖所示，兩個勻質圓盤同軸地焊在一起，它們的半徑分別為r1、r

5、2，質量為和，可繞過盤心且與盤面垂直的光滑水平軸轉動，兩輪上繞有輕繩，各掛有質量為和的重物，求輪的角加速度。解：設連接的繩子中的張力為T1，連接的繩子中的張力為T2。對重物按牛頓第二定律有   (1)對重物按牛頓第二定律有   （2)對兩個園盤，作為一個整體，按轉動定律有  (3) 由角量線量之間的關系有  (4) (5)聯立以上五式解得9. 如圖所示，一半徑為R，質量為m的勻質圓盤，以角速度繞其中心軸轉動。現將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數為。（1）求圓盤所受的摩擦力矩；（2）問經過多少時間后，圓盤轉動才能停止？rdFdr

6、解：分析：圓盤各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤分割成許多同心圓環，對環的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動量定理可求得圓盤停止前所經歷的時間。（1）圓盤上半徑為r、寬度為dr的同心圓環所受的摩擦力矩為負號表示摩擦力矩為阻力矩。對上式沿徑向積分得圓盤所受的總摩擦力矩大小為（2）由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉動慣量，由角動量定理可得圓盤停止的時間為10. 飛輪的質量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉動，轉速為900rev·min-1現利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題4-10圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩

7、擦系數=0.4，飛輪的轉動慣量可按勻質圓盤計算試求：(1)設100 N，問可使飛輪在多長時間內停止轉動?在這段時間里飛輪轉了幾轉?(2)如果在2s內飛輪轉速減少一半，需加多大的力?解: (1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力桿處于靜止狀態，所以對點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉動定律有，式中負號表示與角速度方向相反 又 以等代入上式，得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉動的時間為這段時間內飛輪的角位移為可知在這段時間里，飛輪轉了轉(2)，要求飛輪轉速在內減少一半，可知用上面式(1

8、)所示的關系，可求出所需的制動力為11. 如圖所示，主動輪A半徑為r1，轉動慣量為，繞定軸轉動；從動輪B半徑為r2，轉動慣量為，繞定軸轉動；兩輪之間無相對滑動。若知主動輪受到的驅動力矩為M，求兩個輪的角加速度和。解：設兩輪之間摩擦力為f對主動輪按轉動定律有: (1)對從動輪按轉動定律有 (2)由于兩個輪邊沿速率相同，有 (3)聯立以上三式解得  12. 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉動設大小圓柱體的半徑分別為和，質量分別為和繞在兩柱體上的細繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側，如題4-12(a)圖所示設0.20m, 0.10m，4 kg，10 kg，2 k

9、g，且開始時，離地均為2m求：(1)柱體轉動時的角加速度；(2)兩側細繩的張力解: 設,和分別為,和柱體的加速度及角加速度方向題4-12(b)圖(1) ,和柱體的運動方程如下： 式中 而 由上式求得 (2)由式由式13. 一質量為、半徑為R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉動另一質量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(包括輪和質點)最后動能和初始動能之比解: (1)射入的過程對軸的角動量守恒 (2) 14. 如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎

10、直面內轉動，轉軸O距兩端分別為和輕桿原來靜止在豎直位置今有一質量為m的小球，以水平速度與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度2mmmOlll解：碰撞過程滿足角動量守恒： 而 所以 由此得到： 15. 如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設兩輪的轉動慣量分別為 JA10 kg·m2 和 JB20 kg·m2開始時，A輪轉速為600 rev/min，B輪靜止C為摩擦嚙合器，其轉動慣量可忽略不計A、B分別與C的左、右兩個組件相連，當C的左右組件嚙合時，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉速相等為止設軸光滑，求： (1) 兩輪嚙合后的轉速n； (2) 兩輪各自所受的沖量矩 解：(1) 兩輪嚙合過程滿足角動量守恒： 所以 因為 故 (2) 兩輪各自所受的沖量矩：末角速度：A輪各所受的沖量矩：B輪各所受的沖量矩：16. 有一半徑為R的均勻球體，繞通過其一直徑的光滑固定軸勻速轉動，轉動周期為如它的半徑由R自動收縮為，求球體收縮后的轉動周期(球體對于通過直徑的軸的轉動慣量為J2mR2 / 5，式中m和R分別為球體的質量和半徑)解：(1) 球體收縮過程滿足角動量守恒： 所以 17. 一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面