1、精選優質文檔-傾情為你奉上數學模型案例4森林救火模型 森林失火了！消防站接到火警后，立即決定派消防隊員前去救火.一般情況下，派往的隊員越多，火被撲滅的越快，火災所造成的損失越小，但是救援的開支就越大；相反，派往的隊員越少，救援開支越少，但滅火時間越長，而且可能由于不能及時滅火而造成更大的損失，那末消防站應派出多少隊員前去救火呢？ （1）問題分析如題中所述，森林救火問題與派出的消防隊員的人數密切相關，應綜合考慮森林損失費和救援費，以總費用最小為目標來確定派出的消防隊員的人數使總費用最小. 救火的總費用由損失費和救援費兩部分組成.損失費由森林被燒毀的面積大小決定 ，而燒毀面積與失火、滅火（指火被撲

2、滅）的時間（即火災持續的時間）有關，滅火時間又取決于參加滅火的隊員的數目，隊員越多滅火越快.救援費除與隊員人數有關外，也與滅火時間長短有關.救援費可具體分為兩部分：一部分是滅火器材的消耗及消防隊員的薪金等，與隊員人數及滅火時間均有關；另一部分是運送隊員和器材等一次性支出，只與隊員人數有關. 設火災發生時刻為t=0，開始救火時刻為t=t1，滅火時刻為t=t2，t時刻森林燒毀面積為B（t），則造成損失的被燒毀的森林的面積為B（t2），而是森林被燒毀的速度，也表示了火勢蔓延的程度.從火災發生時刻開始到火被撲滅的過程中，被燒毀的森林的面積是不斷擴大的，因而B（t）應是時間t的單調非減的函數，即.從火災

3、發生到消防隊員到達并開始救火這段時間內，火勢是越來越大的，即.開始救火以后，即時，如果隊員滅火能力足夠強，火勢會越來越小，即，并且當t=t2時，.在建立數學模型之前，需要對燒毀森林的損失費、救援費及火勢蔓延程度作出合理的假設. （2）模型假設 森林中樹木分布均勻，而且火災是在無風的條件下發生的； 損失費與森林燒毀面積B（t2）成正比，比例系數為c1，即燒毀單位面積的損失費為c1； 從失火到開始救火這段時間內，火勢蔓延程度與時間t成正比，比例系數為，稱之為火勢蔓延速度，即 派出消防隊員x名，開始救火以后（），火勢蔓延速度降為（線性化），其中可視為每個隊員的平均滅火速度，且有，因為要撲滅森林大火，

4、滅火速度必須大于火勢蔓延的速度，否則火勢將難以控制； 每個消防隊員單位時間費用為c2（包括滅火器材料的消耗及消防隊員的薪金等），救火時間為t2-t1，于是每個隊員的救火費用為c2(t2-t1)；每個隊員的一次性支出為c3(運送隊員、器材等一次性支出).對于假設3可作如下解釋：由于森林中樹木分布均勻，且火災是在無風條件下發生的，因而火勢可看作以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，因而蔓延半徑r與時間t成正比，又因為燒毀面積B與r2成正比，故B與t2成正比，從而與t成正比. （4）模型建立總費用由森林損失費和救援費組成.由假設2，森林損失費等于燒毀面積B（t2）與單位面積損失費c1的積，即c1B(t2)；由假設5，救援費為c2x(t2-t1)+c3x，因此，總費用為 .由假設3，4，火勢蔓延速度在內線性地增加，t1時刻消防隊員到達并開始救火，此時火勢用b表示，而后，在內，火勢蔓延的速度線性地減少（如圖26），即 圖26與時間t的關系 因而有. 燒毀面積為 恰為圖26中三角形的面積. 由b的定義有，于是 所以