1、第7講 化歸與轉化的思想在解題中的應用一、知識整合1解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”。2化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已

2、知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。3轉化有等價轉化和非等價轉化。等價轉化前后是充要條件，所以盡可能使轉化具有等價性；在不得已的情況下，進行不等價轉化，應附加限制條件，以保持等價性，或對所得結論進行必要的驗證。4化歸與轉化應遵循的基本原則： （1）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決。（2）簡單化原則：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的

3、，或獲得某種解題的啟示和依據。 （3）和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律。（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。（5）正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。二、例題分析例1某廠2001年生產利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設，元月份投入資金建設恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設資金又恰好與12月的生產利潤相同，問全年總利

4、潤m與全年總投入N的大小關系是 （ ）A. m>N B. m<N C.m=N D.無法確定分析每月的利潤組成一個等差數列an，且公差d0，每月的投資額組成一個等比數列bn，且公比q1。，且，比較與的大小。若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數列的通項公式an=a1+（n-1）d是關于n的一次函數，其圖象是一條直線上的一些點列。等比數列的通項公式bn=a1qn-1是關于n的指數函數，其圖象是指數函數上的一些點列。 在同一坐標系中畫出圖象，直觀地可以看出aibi 則，即mN。 點評把一個原本是求和的問題，退化到各項的逐一比較大小，而一次函數、指數函數的圖象又是每個學生所熟悉的。在

5、對問題的化歸過程中進一步挖掘了問題的內涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新。例2如果，三棱錐PABC中，已知PABC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h求證三棱錐PABC的體積分析：如視P為頂點，ABC為底面，則無論是SABC以及高h都不好求如果觀察圖形，換個角度看問題，創造條件去應用三棱錐體積公式，則可走出困境解：如圖，連結EB，EC，由PABC，PAED，EDBC=E，可得PA面ECD這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VPABC=VPECD+VAECD

6、=SECDAE+SECDPE=SECD PA=BC·ED·PA= 評注：輔助截面ECD的添設使問題轉化為已知問題迎刃而解例3在的展開式中x的系數為( )(A)160 (B)240 (C)360 (D)800分析與解：本題要求展開式中x的系數，而我們只學習過多項式乘法法則及二項展開式定理，因此，就要把對x系數的計算用上述兩種思路進行轉化：思路1：直接運用多項式乘法法則和兩個基本原理求解，則展開式是一個關于x的10次多項式， =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次

7、項3x并在其余四個括號中均選 擇常數項2相乘得到，故為·(3x)··24=5×3×16x=240x，所以應選(B)思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉化為二項式定理再進行計算，x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，這條思路下又有四種不同的化歸與轉化方法如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉化，可以發現只有(3x+2)5中會有x項，即(3x)·24=240x，故選(B)；如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x進行轉化，則只 (x2+2) 4

8、83;3x中含有x一次項，即·3x·C44·24=240x；如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進行轉化，就只有·(x2+3x)·24中會有x項，即240x；如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進行轉化，=×展開式中的一次項x只能由(1+x)5中的一次項乘以(2+x)5展開式中的常數項加上(2+x)5展開式中的一次項乘以(1+x)5展開式中的常數項后得到，即為x·25+24x15=160x+80x=240x，故選(B) 評注：化歸與轉化的意識幫我們把未知轉化為已知。例4若不等式對一切均成立，試求實數的取值范圍。解：

9、 令，則要使它對均有，只要有 或。點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉化，使問題變成關于p的一次不等式，使問題實現了從高維向低維轉化，解題簡單易行。三、總結提煉1熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現轉化的橋梁；培養訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典