1、精選優質文檔-傾情為你奉上 論 文 專心-專注-專業摘要概率是對大量隨機現象的考察中顯現出來的，而對于大量的隨機現象的描述就要采用極限的方法。概率統計中的極限定理研究的是隨機變量序列的某種收斂性，對隨機變量收斂性不同定義將導致不同的極限定理，而隨機變量的收斂性的確可以有各種不同的定義。主要討論了依概率收斂與依分布收斂，r階收斂與幾乎處處收斂，幾乎處處收斂與依概率收斂之間的關系。給出了由依概率收斂推出幾乎處處收斂的條件和由依概率收斂推出r階收斂的條件，從而比較完全地說明了隨機變量序列的各種收斂性之間的關系。本論文將對隨機變量的幾種收斂作出較為簡單扼要的介紹和討論.論文結構如下：一、隨機變量的幾種

2、收斂的概念理論；二、隨機變量的幾種收斂之間的關系；從以上幾個方面對隨機變量的幾種收斂理論簡明扼要地分析，說明隨機變量序列收斂理論在實際問題中的應用范圍之廣，在實際生活中的重要性。關鍵詞：r階收斂；幾乎處處收斂；依概率收斂；依分布收斂。AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and sta

3、tistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and conve

4、rgence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introducti

5、on of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variable

6、s the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real l

7、ife importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目 錄引言：概率論最早產生于17世紀，本來是保險事業的發展而產生的，但是來自于賭博者的請求，卻是數學家們思考概率論中問題的源泉。然而其體系只在20世紀的20至30年代才建立起來并得到迅速發展，在過去的半個世紀里概率論在越來越多的新興領域顯示了它的應用性和實用性。概率論是根據大量同類隨機現象的統計規律，對隨機現象出現

8、某一結果的可能性作出一種客觀的科學判斷，對這種出現的可能性大小做出數量上的描述；比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯系，從而形成一整套數學理論和方法。特別值得一提的是，概率論是今天的基礎，其結果被用做問卷調查的分析資料或者對經濟前景進行預測。概率論中的重要概念概率的收斂性，尋找概率收斂中的隨機變量序列收斂性的相互性質以及收斂性之間的相互關系，弄清楚它們之間的關系在理論和應用上都是很有意義的。1 幾種收斂性定義 定義1.1 (r階收斂)設對隨機變量,及有,其中為常數,如果則稱r階收斂于,并記為. 當是，稱均方收斂到。記為.例1.1 設相互獨立，且滿足，。則，故，即.定義1.2 (幾乎處處收斂)

9、如果則稱以概率1收斂于,又稱必乎處處收斂于X,并記為.例1.2 設，是定義在0,1上博雷爾概率空間=上的隨機變量，滿足：，。而，若=0,1上理點；，若=0,1上有理點全體。而，若；，若。則易知。；，但，故。定義1.3 （依分布收斂）設隨機變量,X的分布函數分別為及。若對的每個連續點x有則稱依分布函數收斂于X （弱收斂到）。記為，或者。例1.3 ，的記號同林德伯格-萊維（Lindeberg-Levy）定理，令，則，即，有。定義1.4 （依概率收斂）如果對于任意>0,則稱Xn依概率收斂于X，并記為或. 例 1.4 設獨立同分布，且，令，則由大數定律可知.2 依概率收斂與依分布收斂的關系隨機變

10、量序列依概率收斂和依分布收斂是概率論中兩種較重要的收斂形式,弄清楚它們之間的關系是本節要討論的.本節約定所涉及定義1.3，定義1.4。定理2.1 若隨機變量序列依概率收斂于某隨機變量,則依分布收斂于X.但定理2.1的逆不成立。證明 設，則=,從而設，則因而有同理可證，對，有所以對，有如果x是的連續點，則令，趨于x，得即.反之不然，例如，若樣本空間，定義隨機變量如下：，則的分布律為，,1,如果對一切n，令，則顯然。但是對于任意的，所以不依概率收斂于。但是在特殊場合有下面結果：對于常數C，則與等價。事實上，若，則， 從而。反之，若，則由定理2.1得。例2.1 設為獨立同分布的隨機變量,公共的分布列

11、為顯然:與X的分布函數相同,故依分布收斂X.但對于任意0<E<1和0<R<12,對一切n,有 可見不依概率收斂于.同此可知,一般說來,并不能從隨機變量序列依分布收斂肯定其依概率收斂,但在特殊情形下,它卻是成立的,那就是下述定理.定理 2.2 隨機變量序列依概率收斂于XC(C為常數)的充要條件是依分布收斂于XC. 那么,在一般情形,能不能適當地增加條件,使隨機變量序列依分布收斂能保證其依概率收斂呢?考察一下上述反例知,當極限分布函數不連續時無法保證,但如果極限分布函數連續呢?回答是肯定的,這就是本文的主要結果.定理2.3 設分布函數列弱收斂于連續的分布函數,則存在隨機變量

12、序列和隨機變量X,它們分別以和為其對應的分布函數列和分布函數,且依概率收斂于X.定理的證明需用到下述引理.取,再取F為0,1)中Borel點集全體,而P取直線上的Lebesgue測度,則構成一概率空間.引理2.1 在上定義, ,則是服從0,1)上均勻分布的隨機變量,且對任意,有.證明 顯然是上的隨機變量.又當時,有;當時,有當時,有,故服從0,1)上均勻分布.對任意實數a,b,若,則若,因,故,于是.總之,有.引理2.2設為一分布函數,對任意,定義,則有(i)對任意和實數b, 當且僅當;(ii)對任意和實數當且僅當.證 (i)必要性.設,由下確界定義知,存在,使.因為單調不減,故.充分性 設,

13、由于單調不減,且在點b處左連續,故存在,使,從而有.(ii)是(i)的直接推論.引理2.3 設為一分布函數,則存在上的隨機變量,使的分布函數正好是.證明 在上定義，設, (2.1)由引理2.1知, 是服從0,1)上均勻分布的隨機變量.因為單調不減,對任意,定義. (2.2)顯然也是單調不減函數,從而是Borel函數.令, , (2.3)則是上的隨機變量,且由引理2.2(i)可知.因此, 還是以為分布函數的隨機變量.引理2.4 若分布函數列弱收斂于連續的分布函數,則這時收斂關于x是一致的.證明 對應于和是同一概率空間上,類似于引理2.3中的(2.1),(2.2)和(2.3)式,定義函數, 以及隨

14、機變量X和,存在性即得證.下證依概率收斂于X.因,對于任意給定的和,存在充分大的M>0,使有.對于取定的M,可選取正整數k和m,使有對于取定的m,存在,使有對于取定的r,由引理2.4, 關于x是一致的,因而存在正整數N,使當時,有 (2.4)對一切成立,從而當時,有=.由的任意性知依概率收斂于X,定理得證.對給定的分布函數,由于可以在不同的概率空間上定義隨機變量X ,使X 的分布函數為,故無法討論X的唯一性.但我們猜測下述結論成立.3 r階收斂與幾乎處處收斂的關系在一般情況下,不能由幾乎處處收斂推出r階收斂。那么,在何種場合下,以上的r階收斂與幾乎處處收斂中一種收斂性能導致另一種收斂性呢

15、?這就是本文要討論的問題,本文在一定條件下得到了這兩種收斂性的等價關系, 本節約定所涉及定義1.1 ，定義1.2。具體結果表述為如下定理:定理3.1 1)設存在使,且 (3.1)則 (3.2)2)如(3.2)式成立,且幾乎處處有界,即存在正數 c ,使得 (3.3)則對任 , (3.4)證明:1)設(3.1)式成立,往證 (3.5)用反證法:若(3.5)式不成立,則必有 (3.6)定義事件 (3.7)其中為給定的數。易見,單調非降,因此 (3.8)于是由概率的連續性和單調性知 (3.9)從而由此得，即， (3.10)上式中令,此與(3.1)式矛盾。這樣,我們證明了(3.5)式成立。由數字分析知

16、,收斂級數的一般項趨于零,因此由(3.5)式得出從而有2)由(3.2)、(3.3)式容易推出 (3.11)于是由不等式得,a.s. (3.12)其中 (3.13)因此由Lebegue控制收斂定理知，證畢。由定理3.1 可得到下面的推論:推論3.1 設存在 使,c為常數,且,則;反之,若且幾乎處處有界,則。4 依概率收斂與r階收斂的關系設依概率收斂于，眾所周知，此時未必r階收斂于;如果給附加一些另外條件，則可r階收斂于，本文證明了幾個這樣的定理，它們推廣了有關文獻中的類似定理。設是概率空間.的元素記為.隨機變量,常簡記成,.,()，有時簡記為.引理4.1 (不等式)設,是R.V則，其中注 關于數

17、列的不等式為 ，其中與引理2.3.1中的相同.當然，它可看作是引理4.1的特殊情形。 推論4.1如果，則(此推論使我們在一些情形免除證明)。 引理4.2 設，g(x)為實值連續函數，則.特別地，若，則對r>0,有。引理4.3 (控制收斂定理)若隨機變量序列滿足(1),是可積隨機變量(從而存在);(2) 以概率1(或依概率)收斂于隨機變量，則.引理4.4設，g(x)為有界實值連續函數，則 (1) ,(2) 證 由引理4.2,.再由有界控制收斂定理，就有(1)式成立.又由，有.由不等式可知有界，再由有界控制收斂定理，.引理4.5設,，又，則.引理4.6若,，則 (i) ; (ii).證明 只

18、證(i)，令.對自然數K，令，因，故有,當時，就取，則=.于是，引理4.7 若X為R.V且，則對任何實值函數好g(x)都有.下面的定理4.1說明:對有公共界的隨機變量序列，依概率收斂與任何r>0階收斂是等價的。 定理4.1 設對某常數c有，則對任何實數而言，的充要條件是.證明 只須證充分性。取則g(x)為有界實值連續函數，對如此的g及利用引理4.4的(1)就有.由引理4.6及4.7, .從而有 . 再由引理4.6及4.7有.從而，亦即.證畢若受控于，而為次可積，則r階平均收斂等價于依概率收斂.定理4.2 設其中隨機變量滿足 (其中r>0為一實數)，則對這個r而言的充要條件是.證明

19、只須證充分性.因為，由引理4.2有.因為,由引理5就有.于是,.又.故.總之: 以概率1成立且可積，還有.所以由控制收斂定理.定義4.1 設是概率空間，是R.V序列，若則稱的積分一致可積.若對任給，存在，使得所有滿足的事件A，都有，則稱的積分一致絕對連續。若 ，即若 ，則稱的積分一致有界.若，則稱依概率有界. 引理4.8 (i)的積分一致可積的充要條件是的積分一致絕對連續且一致有界。 （ii）若依分布收斂，則依概率有界。 引理4.9 若依概率有界，且 (r>0)的積分一致絕對連續，則一致可積. 證明 對于，由于的積分一致絕對連續，有存在，使當時就有.因為依概率有界，對于上述的有B>

20、0使當>B時就有 .這樣一來，當>B時就有 證畢定理 4.3 設對某, 一致可積，則的充要條件是.證明 充分性.由Riesz定理，存在的子列，使以概率1收斂于.由Fatou定理,有,可見可積.由于的積分一致絕對連續及可積,對任給，存在，當且時就有.又因，故存在N，當時.這樣一來，當時就總有.這便證明了.由引理4.9及定理4.3，立即得到:若對某, 的積分一致絕對連續，則對這個r而言的充要條件是.這條結論也可由定理4.3的證明看出, 因那里僅用到及的積分的一致絕對連續性。5 幾乎處處收斂與依概率收斂和依分布收斂的關系在一般情況下，由隨機變量序列幾乎處處收斂可推出其依概率收斂 ,進而可

21、推出其依分布收斂,可見判別幾乎處處收斂的重要性.給出了它的幾個等價命題,同時還證明了獨立隨機變量和序列幾乎處處收斂等價于依概率收斂,亦等價于依分布收斂。若存在集,使當時，有，則稱隨機變量序列是 a.s.收斂的。定理5.1 a.s.收斂的.證明：必要性 設則存在集當時，有進而有充分性 設是則存在集使當時，有，對任意的，由于是一實值序列，因此，從而對，有即.定理5.2 定理5.3 證明：對因為，所以，于是，推論5.1 ，證明：由及定理5.3可得推論5.2 若對證明： 由定理5.3，即得.定理5.4 設獨立，為常數列，則0 定理5.5 設獨立，記則定理5.6 設獨立，記則總結四種收斂性 隨機變量序列

22、的收斂性，（1）當用測度描繪時，可定義幾乎必然收斂,依概率收斂；（2）用數學期望描繪時,可定義r階收斂；（3）用隨機變量分布函數的弱收斂描繪時,可定義依分布收斂。四種收斂蘊涵關系隨機變量序列從不同角度定義的收斂,它們內部有一定的蘊涵關系。從定義出發，可得出以下的結果：幾乎處處收斂r階收斂依概率收斂依分布收斂注：圖中的 表示推出一般情況是不能反推的。上面章節證明出的結果是在給出一定條件的情況下得出新結果：（1）幾乎處處收斂與r階收斂等價一般不能由幾乎處處收斂推出r階收斂，但給出一定的條件可使r階收斂推出幾乎處處收斂，上面第3章已經證明了在一定條件下得出r價收斂與幾乎處處收斂等價。（2）幾乎處處收

23、斂與依概率收斂等價一般情況幾乎處處收斂推出依概率收斂，由（1）得：幾乎處處收斂與依概率收斂等價（3）r階收斂與依概率收斂 一般情況r階收斂可推出依概率收斂，上面第4章證明出依概率收斂可推出r階收斂，所有它們等價（4）幾乎處處收斂與依分布收斂等價幾乎處處收斂間接推出依分布收斂，上面第5章證出它們是等價的。（5）依概率收斂與依分布收斂等價一般依概率收斂推出依分布收斂，由上面第1章和（4）得：它們等價。（6）r階收斂與依分布收斂等價 由（3）（5）得：它們等價。致 謝首先要感謝我的導師XXX，X老師嚴謹的治學態度、對我的嚴格要求將使我終身受益。您嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；您循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪.感謝您從本文研究開始一路指導至本文的完成，從論文題目的選定到論文寫作的指導，經