1、勾股定理勾股定理在直角三角形中，三邊長為a、b、c,其中c為斜邊，貝U a2+b2=c2.女口 ：已知RtAABC中，三邊長為a、b、c其中a=3, b=4,貝U c二答案：5或歷.直角三角形的性質兩銳角互余；(2) RtAABC 中，c 為斜邊，貝U a2+b2=c2.(3) 如果有一個銳角等于30 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，三邊長為a, 2a.(4) 等腰直角三角形三邊長分別為a, a血.例1、如圖，在 AABC中，CD丄AB于D若AB=5, CQ=2歷，ZBCD=30 ,求AC的長.解：設 BD=x, TCD 丄 AB, ZBCD=30 . .*.BC=2BD=2x.在RtABC

2、D中，根據勾股定理得BD2+CD2=BC2.即 “ +(2 箔)2 = (2x)2.解得X=2.?.BD=2, VAB=5, ,AD=3.在RtAACD中，由勾股定理有AC=+ CD2 =店 +(2 羽=V21.例2、如圖，在 AABC中，ZC=90 , AD、BE是中線，BE = 2施AD=5,求AB的長.設 CE=x, CD=y則 AC=2x, BC=2y.在RtAACD和RtABCE中，由勾股定理得4x2 + / = 25X2 + 4=40解得產2b=3AC =4, BC=6求MN.在 RtA4 況電 AB = 4 AC2 + BC 2 =腫 + 6? = 2A/13.例3、如圖，在 A

3、ABC中，AB=AC=5, BC=6,點M為BC的中點，MN丄AC于點連接am,VAB=AC, M為BC的中點.?.AM 丄 BC. BM=MC= 2 BC=3.在RtAAMB中，由勾股定理得如=QA護_=A52-32 = 4 .設 CN 二 X,則 AN 二 5 X在 RtAANM 中，MN2=AM2-AN2=42- (5-x) 2.9x =泗=2-(2=Y方法2 :由面積法得：AM ? MC=MN ? AC.即4 x 3 = 5小的，MN.5例4、如圖，在 AABC中，ZA=90 , P是AC的中點，PD BC于D, BC=9, DC=3求AB的長.解：連結 PB, BD=BC-DC=6.

4、在 RtABDP 和 RtAPDC 中PD2=BP2-BD2, PD2=PC2-DC2.?.BP= D2=PC2 DC2.BP= PC2=BD2 DC2=36-9=27.在 RtAABP 中，AB2=BP2-AP2.VAP=PC.*.AB2=BP2 PU=27.曲=3辰例 5、如圖，已知 ZA=60 , ZB=ZD=90 AB=2, CD=1,求 BC 和 AD 的長.如圖，延長AD、BC交于點E.VZB=90 ZA=60 , :.ZENO .AE=2AB=4.在RtAABE中，由勾股定理得 BE = JAE? -A護=JQ - 2? =2怎.在 RiACD 沖，CE = 2CD = 2, D

5、E =后1 2 3-GO = A/22/2 =筋.BC=BE-CE=P-2, AD= AE - DE = 4-A3.同步測試、選擇題1、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm,把矩形紙片沿直線AC折疊，點B落在點EAF= 處，AE交DC于點F若4cm,則AD的長為（A. 4cmD? 7cmC? 6cm、填空題2、在 RtAABC 中，ZC=90ZA、ZB ZC所對應的邊分別是 a、b、c.1若 a 二 3cm, b=5cm,2 若 a=8cm, c=17cm,則 b 二?3 若 a : b=3 : 4, c=10cm,貝 V a=,b=?3、分別以直角三角形的三邊為邊向形外作正方形，如圖中所示

6、的正方形A的面積 是，B的面積是？A4、在 RtAABC 中，斜邊 AB=2cm,貝U AB, +BC + CA=cf_5、一個直角三角形的兩邊長分別為 3cm和4cm,則它的第三邊長為 6、已知：直角三角形的兩條直角邊長分別為 6cm、8cm,那么斜邊上的高為7、矩形紙片ABCD中，AD=4cm, AB=10cm,按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕 為 EF則 DE=cm.28、如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為乍，高為 2, AB、CD分別是兩底面的直徑，AD、BC是母線.若一只小蟲從A點出發，從側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短 路線的長度是 （結果保留根式）.三、解答題9、如圖所示，鐵路

7、上有A、B兩點（看做直線上兩點）相距40千米，C、D為兩村莊（看 做兩個點），AD丄AB, BC丄AB，垂足分別為A、B, AD=24千米，BC=16千米，現在要在鐵 路旁修建一個煤棧E使得C、D兩村到煤棧的距離相等，問煤棧應建 在距A點多少千米處？10、如圖所示，地面上有一個長方體，一只蜘蛛在這個長方體的頂點 A處，一滴 水珠在 這個長方體的頂點C處，已知長方體的長為6m,寬為5m,高為3m,蜘蛛 要沿著長方體的表 面從A處爬到C處，沿著怎樣的路線爬行的距離最短？你能求 出這個最短距離嗎？答案：1、C 2、屈 cm ；(2) 15cm ； (3) 6cm, 8cm 3、25 ； 2564、8

8、5、5cm 或cm?斜邊長為&2+82 = 10,角形卜吹=6xn.8cm6、4. 8cm 點撥：設斜邊上的高為h,297、5 點撥：設 DE=BE=x cm,則 AE 二(10 x) cm,? : (10 x) 2+42=x2?8、2 五9、AE2 + 242= (40-AE)2+162,解得 AE=16 (千米)10、將長方體上面展開并與前面在同一平面上，則蜘蛛沿對角線 AC爬行距離最短，最短距離是AU= J 肋 $ + C 呼=舶 + ( 3 + 5 尸=10 ( m)課外拓展例、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進 行電網改造，蓮花村六組有四個村莊，A、

9、B、C、D正好位于一個正方形的四個頂點 現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖中的實線部 分?請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線（以下數據可供參考：A = 1.414,A5= 1.732,75 = 2.236)AiD A解：不妨設正方形的邊長為1 （也可以設為a）,則圖（1）、（2）中的總線路長分別為AD+AB+BO3, AB+BC+CD=3.圖(3)中，總線路長為 AC+BD=2/1 2 + 12 =2X/2 =2. 828.由ZFBH=30 , BH=2及勾股定理，得EA=ED=FB=FC= 3 , FH= 6 .EF=1-2FH=1 - 3 .時,顯然，32.

10、 8282. 732,? ?圖的連結線路最短，即圖 的架設方案最省電線點評：這里是逐一計算四條線路的長度，并加以比較，選出最短的方案 鋪助線，構成直角三角形，再運用勾股定理在方案(4)中注意作中考解析例1、如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是久 個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形 b,斜邊長為c和一畫出拼成的這個圖形的示意圖證明勾股定理.方法一、（1）如圖（2）證明：?大正方形的面積表示為 冊1C? + 4 x ctb大正方形的面積也可表示為2 ,2a +62 + 2ab = c2 4- 2ab,:a 2+b2 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方方法二、（1）如圖（2）證明：？?大正方形的面積表示為：-abx4 +又可以表示為：2(b-a)*abx4 + -a)2c2 = 2ab + 滬-2ab +a2,:c 2=a2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方形,例2、有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m, 8m.現在要將綠地擴充成等腰三角且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長在 Rt 屈 C 中，ZACB =90 , AC = & BC = 6由勾股定理有:AB = 10,擴充部分為R