1、基于最小方差低通FIR濾波器設計說明書（一）設計目標 根據所學的數字信號處理和MATLAB相關知識，用最小方差法設計一個低通FIR濾波器。從FIR數字濾波器的系統函數可以看出，極點都是在z平面的原點，而零點的分布是任意的。不同的分布將對應不同的頻率響應，最優化設計實際上就是調節這些零點的分布，使得實際濾波器的頻率響應Hd(ej)與理想濾波器的頻率響應Hd(ej)之間的最大絕對誤差最小。（二）低通FIR濾波器技術指標1 （通帶截止頻率） （阻帶截止頻率） （通帶衰減） （阻帶衰減） （通帶最大衰減） （阻帶最小衰減）(三)低通FIR濾波器的設計3.1 低通FIR濾波器階數的估計46 由于N為偶數

2、，所以可以設計一個1型的低通FIR濾波器。3.2 對于基于最小方差的線性相位FIR濾波器的設計下面式子為誤差的簡化為 其中是低通FIR的振幅響應，是要求的振幅響應，是權重函數。由于所有四種類型的線性相位FIR濾波器的振幅響應可以表示為cos(wk)3.3 cos(wk) 式中、L的確定a 的確定 由于不同類型也就不盡相同，不同類型時的表達式如下=1 對于1型=cos() 對于2型=sin() 對于3型=sin() 對于4型 由于我們 設計的低通FIR濾波器為1型所以 =1 b 的確定 同樣根據不同的類型其的表達式也不一樣= 對于1型= 對于2型= 對于3型= 對于4型 我們選擇=，對于1型,，

3、C L 的確定 L=M 對于1型 L= 對于2型 L= M-1 對于3型 L= 對于4型根據N與M的關系 M=,表示取不大于的最大整數，所以M=22,L=22。3.4 中、的確定 根據最小方差的相關要求可知 在通帶中 在阻帶中 在通帶中 在阻帶中3.5 根據上面式子可以確定，L的值和的表達式，由于最小方差是濾波器參數的一個函數。為了得到的最小值，令 由它可生成（L+1）個等式的線性方程組，用來求解。 我們考慮1型線性相位FIR濾波器的設計。在這種情況下，=1，=且L=22。則均方誤差的表達式為若有，式中。計算如下1 求H， 1-15時取1，16-22時取0將0到0.35上取均勻的22點最后求的

4、H=1 0.9987 0.9950 0.9888 0.980 0.968 0.955 0.939 0.921 0.900 0.877 0.853 0.825 0.796 0.765 0.732 0.697 0.660 0.622 0.582 0.540 0.498 ;1 0.995 0.980 0.955 0.921 0.877 0.825 0.765 0.697 0.622 0.540 0.454 0.363 0.268 0.170 0.07 0.028 0.128 0.226 0.322 0.415 0.588;1 0.988 0.955 0.900 0.825 0.732 0.622 0

5、.498 0.363 0.219 0.071 0.078 0.226 0.369 0.504 0.627 0.737 0.829 0.904 0.957 0.989 0.999 ;1 0.980 0.921 0.825 0.697 0.541 0.363 0.170 0.028 0.226 0.415 0.588 0.737 0.856 0.942 0.989 0.998 0.967 0.897 0.792 0.654 0.492 ;1 0.968 0.877 0.732 0.540 0.315 0.071 0.177 0.415 0.627 0.800 0.924 0.989 0.99 0.

6、937 0.821 0.655 0.312 0.212 0.035 0.282 0.510 ; 1 0.955 0.825 0.622 0.363 0.071 0.226 0.504 0.737 0.904 0.989 0.988 0.897 0.727 0.492 0.212 0.0085 0.376 0.633 0.833 0.959 0.999 ;1 0.939 0.765 0.498 0.170 0.177 0.504 0.769 0.942 0.999 0.937 0.760 0.277 0.163 0.184 0.510 0.774 0.944 0.999 0.934 0.755

7、0.485;1 0.921 0.697 0.363 0.028 0.415 0.736 0.942 0.998 0.897 0.655 0.309 0.008 0.467 0.774 0.959 0.993 0.870 0.610 0.254 0.142 0.516; 1 0.900 0.622 0.219 0.226 0.627 0.903 0.999 0.897 0.616 0.212 0.233 0.633 0.906 0.999 0.894 0.610 0.205 0.240 0.638 0.909 0.999 ;1 0.877 0.541 0.071 0.415 0.800 0.98

8、9 0.937 0.655 0.212 0.282 0.707 0.959 0.977 0.755 0.349 0.142 0.599 0.909 0.997 0.841 0.479;1 0.852 0.454 0.078 0.587 0.923 0.987 0.760 0.309 0.233 0.707 0.972 0.951 0.649 0.156 0.382 0.809 0.997 0.891 0.522 0 0.522 ;1 0.825 0.363 0.226 0.736 0.989 0.897 0.492 0.085 0.633 0.959 0.951 0.610 0.057 0.5

9、16 0.909 0.985 0.717 0.199 0.389 0.841 0.999;1 0.796 0.268 0.369 0.856 0.994 0.727 0.163 0.467 0.907 0.977 0.649 0.057 0.558 0.946 0.949 0.564 0.049 0.644 0.975 0.909 0.473;1 0.765 0.170 0.504 0.940 0.937 0.491 0.184 0.774 0.999 0.755 0.156 0.516 0.946 0.932 0.479 0.198 0.783 0.999 0.746 0.142 0.528

10、; 1 0.732 0.071 0.627 0.989 0.821 0.212 0.510 0.959 0.894 0.349 0.349 -0.909 0.948 0.478 0.247 0.841 0.984 0.599 0.107 0.755 0.999;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

11、 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0算這個H時算出來的負值取了它的絕對值2 求令d= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0然后最小均方解可以根據求解線性方程得到。令 a=a=n*pinv(r)用MATLAB可以計算出 ac=a'c = 1.0e+005 * Columns 1 through 190.

12、95392.5572-1.4336-0.37351.9754-3.75723.5858-2.6165-2.3 0 0 0 0 Columns 20 through 22 0 0 0= 0.95392.5572-1.4336-0.37351.9754-3.75723.5858-2.6165-2.3 0 0 0 0 0 0 03 最終的結果由于N的限制所以所設計的濾波器為1型所以=1 =c L=M=22根據表達式 cos(wk)=0.9539+2.5572-1.4336-0.3735+1.9754-3.7572+3.5858-2.6165-2.3165+2.7508-3.4883+2.3659-3

13、.8173+1.9029+0.590116到22項為0 這里我們只是求出了幅頻特性，但由于其相頻特性是確定的所以在設計中不考慮其相頻特性。 求=0.0916()+0.1171()-0.6515-0.1867+0.9877-1.8786+1.7929-1.3082-1.1582+1.3754-1.7441+1.1829-1.9086+0.9514+0.29504 計算誤差 由和可求出誤差 用MATLAB計算誤差如下h=1 0.9987 0.9950 0.9888 0.980 0.968 0.955 0.939 0.921 0.900 0.877 0.853 0.825 0.796 0.765 0

14、.732 0.697 0.660 0.622 0.582 0.540 0.498 ;1 0.995 0.980 0.955 0.921 0.877 0.825 0.765 0.697 0.622 0.540 0.454 0.363 0.268 0.170 0.07 0.028 0.128 0.226 0.322 0.415 0.588;1 0.988 0.955 0.900 0.825 0.732 0.622 0.498 0.363 0.219 0.071 0.078 0.226 0.369 0.504 0.627 0.737 0.829 0.904 0.957 0.989 0.999 ;1

15、0.980 0.921 0.825 0.697 0.541 0.363 0.170 0.028 0.226 0.415 0.588 0.737 0.856 0.942 0.989 0.998 0.967 0.897 0.792 0.654 0.492 ;1 0.968 0.877 0.732 0.540 0.315 0.071 0.177 0.415 0.627 0.800 0.924 0.989 0.99 0.937 0.821 0.655 0.312 0.212 0.035 0.282 0.510 ; 1 0.955 0.825 0.622 0.363 0.071 0.226 0.504

16、0.737 0.904 0.989 0.988 0.897 0.727 0.492 0.212 0.0085 0.376 0.633 0.833 0.959 0.999 ;1 0.939 0.765 0.498 0.170 0.177 0.504 0.769 0.942 0.999 0.937 0.760 0.277 0.163 0.184 0.510 0.774 0.944 0.999 0.934 0.755 0.485;1 0.921 0.697 0.363 0.028 0.415 0.736 0.942 0.998 0.897 0.655 0.309 0.008 0.467 0.774

17、0.959 0.993 0.870 0.610 0.254 0.142 0.516; 1 0.900 0.622 0.219 0.226 0.627 0.903 0.999 0.897 0.616 0.212 0.233 0.633 0.906 0.999 0.894 0.610 0.205 0.240 0.638 0.909 0.999 ;1 0.877 0.541 0.071 0.415 0.800 0.989 0.937 0.655 0.212 0.282 0.707 0.959 0.977 0.755 0.349 0.142 0.599 0.909 0.997 0.841 0.479;

18、1 0.852 0.454 0.078 0.587 0.923 0.987 0.760 0.309 0.233 0.707 0.972 0.951 0.649 0.156 0.382 0.809 0.997 0.891 0.522 0 0.522 ;1 0.825 0.363 0.226 0.736 0.989 0.897 0.492 0.085 0.633 0.959 0.951 0.610 0.057 0.516 0.909 0.985 0.717 0.199 0.389 0.841 0.999;1 0.796 0.268 0.369 0.856 0.994 0.727 0.163 0.4

19、67 0.907 0.977 0.649 0.057 0.558 0.946 0.949 0.564 0.049 0.644 0.975 0.909 0.473;1 0.765 0.170 0.504 0.940 0.937 0.491 0.184 0.774 0.999 0.755 0.156 0.516 0.946 0.932 0.479 0.198 0.783 0.999 0.746 0.142 0.528; 1 0.732 0.071 0.627 0.989 0.821 0.212 0.510 0.959 0.894 0.349 0.349 -0.909 0.948 0.478 0.2

20、47 0.841 0.984 0.599 0.107 0.755 0.999;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

21、 0;0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a= 0.9539 2.5572 -1.4336 -0.3735 1.9754 -3.7572 3.5858 -2.6165 -2.3165 2.7508 -3.4883 2.3659 -3.8173 1.9029 0.5901 0 0 0 0 0 0 0;s=h*a'd= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0;c=s-d'e=c*c'e=Columns 1 through 193.6235 2.4192 -0.7942 -1.7

22、213 1.1543 2.2088 1.9128 0.4541 1.2903 2.4710 3.5210 0.6483 -4.8485 -0.3134 -9.8727 0 0 0 02.4192 1.6152 -0.5303 -1.1492 0.7707 1.4747 1.2771 0.3032 0.8615 1.6498 2.3508 0.4329 -3.2372 -0.2093 -6.5916 0 0 0 0-0.7942 -0.5303 0.1741 0.3773 -0.2530 -0.4841 -0.4193 -0.0995 -0.2828 -0.5416 -0.7718 -0.142

23、1 1.0628 0.0687 2.1640 0 0 0 0-1.7213 -1.1492 0.3773 0.8177 -0.5483 -1.0493 -0.9086 -0.2157 -0.6129 -1.1738 -1.6726 -0.3080 2.3032 0.1489 4.6899 0 0 0 01.1543 0.7707 -0.2530 -0.5483 0.3677 0.7036 0.6093 0.1447 0.4110 0.7871 1.1216 0.2065 -1.5445 -0.0998 -3.1450 0 0 0 02.2088 1.4747 -0.4841 -1.0493 0

24、.7036 1.3464 1.1660 0.2768 0.7865 1.5063 2.1463 0.3952 -2.9556 -0.1911 -6.0182 0 0 0 01.9128 1.2771 -0.4193 -0.9086 0.6093 1.1660 1.0097 0.2397 0.6811 1.3044 1.8586 0.3422 -2.5594 -0.1655 -5.2116 0 0 0 00.4541 0.3032 -0.0995 -0.2157 0.1447 0.2768 0.2397 0.0569 0.1617 0.3097 0.4413 0.0813 -0.6076 -0.

25、0393 -1.2373 0 0 0 01.2903 0.8615 -0.2828 -0.6129 0.4110 0.7865 0.6811 0.1617 0.4595 0.8799 1.2538 0.2309 -1.7265 -0.1116 -3.5156 0 0 0 02.4710 1.6498 -0.5416 -1.1738 0.7871 1.5063 1.3044 0.3097 0.8799 1.6850 2.4011 0.4421 -3.3064 -0.2137 -6.7325 0 0 0 03.5210 2.3508 -0.7718 -1.6726 1.1216 2.1463 1.

26、8586 0.4413 1.2538 2.4011 3.4214 0.6300 -4.7114 -0.3046 -9.5934 0 0 0 00.6483 0.4329 -0.1421 -0.3080 0.2065 0.3952 0.3422 0.0813 0.2309 0.4421 0.6300 0.1160 -0.8675 -0.0561 -1.7665 0 0 0 0-4.8485 -3.2372 1.0628 2.3032 -1.5445 -2.9556 -2.5594 -0.6076 -1.7265 -3.3064 -4.7114 -0.8675 6.4878 0.4194 13.2

27、106 0 0 0 0-0.3134 -0.2093 0.0687 0.1489 -0.0998 -0.1911 -0.1655 -0.0393 -0.1116 -0.2137 -0.3046 -0.0561 0.4194 0.0271 0.8540 0 0 0 0-9.8727 -6.5916 2.1640 4.6899 -3.1450 -6.0182 -5.2116 -1.2373 -3.5156 -6.7325 -9.5934 -1.7665 13.2106 0.8540 26.8998 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0