1、精選優質文檔-傾情為你奉上函數中的定義型問題訓練一、選擇題 1.定義方程f(x)f(x)的實數根x0叫做函數f(x)的“新不動點”，如果函數g(x)x2(x(0，)，h(x)sinx2cosx，x(0，)，(x)2x的“新不動點”分別為、，那么、的大小關系是()A<< B<< C<< D<<2.對于函數f(x)，若存在常數a0，使得x取定義域內的每一個值，都有f(x)f(2ax)，則稱f(x)為準偶函數下列函數中是準偶函數的是()Af(x) Bf(x)x2 Cf(x)tanx Df(x)cos(x1)3.定義兩個實數間的一種新運算“*”：x*yl

2、g(10x10y)，x，yR.對于任意實數a，b，c，給出如下結論：(a*b)*ca*(b*c)；a*bb*a；(a*b)c(ac)*(bc)其中正確結論的個數是()A 0 B 1 C 2 D 34.設函數yf(x)在(，)內有定義，對于給定的正數k，定義函數：，取函數，若對任意的x(，)，恒有，則()Ak的最大值為2 Bk的最小值為2 Ck的最大值為1 Dk的最小值為15.對于區間a，b上有意義的兩個函數f(x)與g(x)，如果對于區間a，b中的任意實數x均有|f(x)g(x)|1，那么稱函數f(x)與g(x)在區間a，b上是密切函數，a，b稱為密切區間若m(x)x23x4與n(x)2x3在

3、某個區間上是“密切函數”，則它的一個密切區間可能是()A 3,4 B 2,4 C 2,3 D 1,4二、填空題 6.若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：(1)直線l在點P(x0，y0)處與曲線C相切；(2)曲線C在點P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)直線l：y0在點P(0,0)處“切過”曲線C：yx3；直線l：x1在點P(1,0)處“切過”曲線C：y(x1)3；直線l：yx在點P(0,0)處“切過”曲線C：ysinx；直線l：yx在點P(0,0)處“切過”曲線C：ytanx；直線l：yx1在點P(1,0)處“切過”曲線C：yln

4、x.7.給出定義：若函數f(x)在D上可導，即f(x)存在，且導函數f(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數，記f(x)(f(x).若f(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數以下四個函數在上不是凸函數的是_(把你認為正確的序號都填上)f(x)sinxcosx； f(x)lnx2x； f(x)x32x1； f(x)xex.8.已知函數yf(x)(xR)，對函數yg(x)(xI)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數”為函數yh(x)(xI)，yh(x)滿足：對任意xI，兩個點(x，h(x)，(x，g(x)關于點(x，f(x)對稱若h(x)是g(x)關于f(x)3x

5、b的“對稱函數”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數b的取值范圍是_9.給定區間D，對于函數f(x)，g(x)及任意的x1，x2D(其中x1>x2)，若不等式f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，則稱函數f(x)相對于函數g(x)在區間D上是“漸先函數”已知函數f(x)ax2ax相對于函數g(x)2x3在區間a，a2上是漸先函數，則實數a的取值范圍是_10.函數f(x)的定義域為D，對D內的任意x1、x2，當x1<x2時，恒有f(x1)f(x2)，則稱f(x)為非減函數已知f(x)是定義域為0,1的非減函數，滿足f(0)0，對任意x0,1，有f(1x)f(x

6、)1，對于x0，恒成立，則的值為_三、解答題 11.對于定義在D上的函數yf(x)，若同時滿足(1)存在閉區間a，bD，使得任取x1a，b，都有f(x1)c(c是常數)；(2)對于D內任意x2，當x2a，b時，總有f(x2)>c.稱f(x)為“平底型”函數判斷f1(x)|x1|x2|，f2(x)x|x2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由12.已知實數kR，且k0，e為自然對數的底數，函數，g(x)f(x)x.(1) 如果函數g(x)在R上為減函數，求k的取值范圍；(2) 如果k(0，4，求證：方程g(x)0有且只有一個根xx0；且當x>x0時，有x>f(f(x)成立；(3)

7、 定義： 對于閉區間s，t稱差值ts為區間s，t的長度； 對于函數g(x)，如果對任意x1、x2s，tD(D為函數g(x)的定義域)，記h|g(x2)g(x1)|，h的最大值稱為函數g(x)在區間s，t上的“身高”問：如果k(0，4，函數g(x)在哪個長度為2的閉區間上“身高”最“矮”？13.設a是實數，函數f(x)ax2(a1)x2lnx（1）當a1時，求函數f(x)的單調區間；（2）當a2時，過原點O作曲線yf(x)的切線，求切點的橫坐標；（3）設定義在D上的函數yg(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當xx0時，若0在D內恒成立，則稱點P為函數yg(x)的“巧點”當a

8、時，試問函數yf(x)是否存在“巧點”？若存在，請求出“巧點”的橫坐標；若不存在，說明理由14.若存在實數x0與正數a，使x0a，x0a均在函數f(x)的定義域內，且f(x0a)f(x0a)成立，則稱“函數f(x)在xx0處存在長度為a的對稱點”(1) 設f(x)x33x22x1，問是否存在正數a，使“函數f(x)在x1處存在長度為a的對稱點”？試說明理由；(2) 設g(x)x(x0)，若對于任意x0(3，4)，總存在正數a，使得“函數g(x)在xx0處存在長度為a的對稱點”，求b的取值范圍15.已知函數f(x)x2(a2)xalnx.(1)當a1時，求函數f(x)的極小值；(2)當a1時，過

9、坐標原點O作曲線yf(x)的切線，設切點為P(m，n)，求實數m的值；(3)設定義在D上的函數yg(x)在點P(x0，y0)處的切線方程為l：yh(x)，當xx0時，若在D內恒成立，則稱P為函數yg(x)的“轉點”當a8時，試問函數yf(x)是否存在“轉點”？若存在，請求出“轉點”的橫坐標；若不存在，請說明理由16.若斜率為k的兩條平行直線l，m經過曲線C的端點或與曲線C相切，且曲線C上的所有點都在l，m之間(也可在直線l，m上)，則把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d(k)(1)若曲線C：y2x21(1x2)，求d(1)；(2)已知k>2，若曲線C：yx3x(1x2)

10、，求關于k的函數關系式d(k)17.已知函數f(x)x1lnx.(1)求函數f(x)的最小值；(2)求證：當nN*時，；(3)對于函數h(x)和g(x)定義域上的任意實數x，若存在常數k，b，使得不等式h(x)kxb和g(x)kxb都成立，則稱直線ykxb是函數h(x)與g(x)的“分界線”設函數h(x)x2，g(x)ex1f(x)，試問函數h(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出常數k，b的值；若不存在，說明理由18.對于函數f(x)，若存在實數對(a，b)，使得等式f(ax)·f(ax)b對定義域中的每一個x都成立，則稱函數f(x)是“(a，b)型函數”(1)判斷函數f

11、(x)4x是否為“(a，b)型函數”，并說明理由；(2)已知函數g(x)是“(1,4)型函數”，當x0,2時，都有1g(x)3成立，且當x0,1時，g(x)x2m(x1)1(m>0)，試求m的取值范圍函數中的定義型問題訓練答案解析1.【解析】由定義，令g(x)xx2，得2；對于h(x)sinx2cosx，x(0，)，令h(x)cosx2sinxsinx2cosx，得(，)；對于(x)2x，令(x)22x，得1.故<<，選C.2.【解析】由f(x)f(2ax)知f(x)的圖象關于xa對稱，且a0，A，C中兩函數圖象無對稱軸，B中函數圖象對稱軸只有x0，而D中當ak1(kZ)時，

12、xa都是ycos(x1)的圖象的對稱軸故選D3.【解析】因為a*blg(10a10b)，故(a*b)*clg(10a10b)*clg(10lg(10a10b)10c)lg(10a10b10c)，同理a*(b*c)a*(lg(10b10c)lg(10a10lg(10b10c)lg(10a10b10c)，故“*”運算滿足結合律；據定義易知運算符合交換律；(a*b)clg(10a10b)clg(10a10b)lg 10clg(10a10b)10clg(10ac10bc)(ac)*(bc)，故結論成立綜上可知正確4.【解析】對任意x(，)，恒有fk(x)f(x)成立，即f(x)k恒成立，f(x)ex1

13、，當x>0時，f(x)<0;當x>0時，f(x)>0，f(x)在(，0)上單調遞增，在(0，)上單調遞減，從而f(x)在x0時取到最大值f(0)1，f(x)k恒成立，k1，故選D.5.【解析】|m(x)n(x)|1|x25x7|1，解此絕對值不等式，得2x3.故在區間2,3上|m(x)n(x)|的值域為0,1，|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立，故選C.6.【解析】中由yx3得y3x2.又當x0時，切線斜率為0，故函數yx3在點(0,0)處的切線方程為y0.結合圖象知正確中由y(x1)3得y3(x1)2.又當x1時，切線斜率為0，故函數y(x1)3在點(1,0)處的

14、切線方程為y0，故不正確中由ysinx得ycosx.又當x0時，切線斜率為1，故函數ysinx在點(0,0)處的切線方程為yx.結合圖象知正確中由ytanx得y.又當x0時，切線斜率為1，故函數ytanx在點(0,0)處的切線方程為yx.結合圖象知正確中由ylnx得y.又當x1時，切線斜率為1，故函數ylnx在點(1,0)處的切線方程為yx1，結合圖象可知不正確7.【答案】【解析】對于，f(x)(sinxcosx)，x時，f(x)<0;對于，f(x)，在x時，f(x)<0;對于，f(x)6x，在x時，f(x)<0;對于，f(x)(2x)·ex在x時，f(x)>

15、0恒成立，所以f(x)xex不是凸函數8.【答案】(，)【解析】由已知得3xb，所以h(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b>，3xb>恒成立在同一坐標系內，畫出直線y3xb及半圓y(如圖所示)，可得>2，即b>，故答案為(，)9.【答案】【解析】設ax2<x1a2，由題意知f(x1)f(x2)>g(x1)g(x2)恒成立，即aax1(aax2)>2x13(2x23)恒成立，即a(x1x2)(x1x21)>2(x1x2)因為x1>x2，故不等式轉化為a(x1x21)>2恒成立因為ax2x1a2，所以2a1x1x21

16、a5，故當a>0時，不等式恒成立轉化為a(2a1)2，即2a2a20，解得a；當a<0時，a(2a5)2，即2a25a20，解得a.所以a的取值范圍是.10.【答案】1【解析】對任意x0，有f(x)x，f()×；對任意x0,1，有f(1x)f(x)1，f()f()1.f(x)在0,1)上為非減函數，f()f()1f()，f()，f()，f().對任意x，有f()f(x)f()，f(x)(x)，<<< f()f()，f()f()1.11.【解析】f1(x)|x1|x2|是“平底型”函數，存在區間1,2使得x1,2時，f(x)1，當x<1或x>2

17、時，f(x)>1恒成立；f2(x)x|x2|不是“平底型”函數，不存在a，bR使得任取xa，b，都有f(x)常數12.【解析】(1) x在R上為減函數， g(x)110恒成立，即k恒成立，當且僅當ex，即x0時，的最小值為4， k4.(2) 由(1)知：k(0，4時，g(x)在R上為減函數，又g(0)0>0，g(4)4， k4， (k4)e44<0,g(4)<0, g(x)0在(0，4)上有一個根xx0.又g(x)為減函數， g(x)0有且只有一個根xx0. g(x)為減函數， x>x0時，有 g(x)<g(x0)0，即f(x)-x<0,x>f(

18、x)，又f(x)=為增函數， x>f(f(x)（3） 設，且，由（1）知，時，在上為減函數， 其中，當且僅當，即時，函數在長度為2的閉區間上“身高”最“矮”13.【答案】（1）當a1時，f(x)(x0)，由f(x)0得：；由f(x)0得：0x所以，f(x)的單調增區間為(，)，單調減區間為(0,) （2）當a2時，設切點為M(m，n) f(x)4x3(x0)，所以，切線的斜率k4m3又直線OM的斜率為，所以，4m3，即m2lnm10，又函數ym2lnm1在(0,)上遞增，且m1是一根，所以是唯一根，所以，切點橫坐標為1（3）a時，由函數yf(x)在其圖象上一點P(x0,y0)處的切線方程

19、為：y(x0)(xx0)x02x02lnx0令h(x)(x0)(xx0)x02x02lnx0，設F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0且F(x)f(x)h(x)x(x0)(xx0)()(xx0) (x)當0x02時，x0，F(x)在(x0,)上單調遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，；當x02時，x0，F(x)在(,x0)上單調遞增，從而有F(x)F(x0)0，所以，因此，yf(x)在(0，2)和(2，)上不存在“巧點”當x02時，F(x)，所以函數F(x)在(0,)上單調遞減所以，x2時，F(x)F(2)0，；0x2時，F(x)F(2)0，因此，點(2，f(2)為“巧點”，其橫坐標為2

20、14.【解析】解：(1) 由f(1a)f(1a)，得(1a)33(1a)22(1a)1(1a)33(1a)22(1a)1.即a(a1)(a1)0. a0， a1.(2) 令g(x)c，得xc，即x2cxb0.(*)由題意，方程(*)必須有兩正根，且兩根的算術平均值為x0. c0，b0，c24b0，x0.則0b對一切x0(3，4)均成立 b的取值范圍是(0，915.(1)當a1時，f(x)2x3，當時，f(x)>0；當時，f(x)<0;當x>1時，f(x)>0.所以當x1時，f(x)取極小值2.(2)f(x)2x1(x>0)，所以切線的斜率k2m1，整理得m2lnm

21、10.顯然m1是這個方程的解又因為yx2lnx1在(0，)上是增函數，所以方程x2lnx10有唯一實數解，故m1.(3)當a8時，函數yf(x)在其圖像上一點P(x0，f(x0)處的切線方程為h(x)(xx0)10x08lnx0.設F(x)f(x)h(x)，則F(x0)0，則F(x)f(x)h(x)(xx0).若,F(x)在上單調遞減，所以當時，此時，若x0>2，則F(x)在上單調遞減，當x時，F(x)>F(x0)0，此時，所以yf(x)在(0,2)和(2，)上不存在“轉點”若x02時，則F(x)(x2)2，F(x)在(0，)上是增函數，當x>x0時，F(x)>F(x0

22、)0；當x<x0時，F(x)<F(x0)0，所以點P(x0，f(x0)為“轉點”故函數yf(x)存在“轉點”，且2是“轉點”的橫坐標16.【解析】(1)y2x21(1x2)的端點為A(1,1)，B(2,7)，y4x，由y1得到切點為，當k1時，與曲線C相切的直線只有一條結合題意可得，兩條平行直線中一條與曲線C：y2x21(1x2)相切，另一條直線過曲線的端點B(2，7)平行的兩條直線分別為：xy90和xy0.由兩條平行線間的距離公式可得，d(1).(2)曲線C：yx3x(1x2)的端點A(1,0)，B(2,6)，y3x21所以曲線C在點A(1,0)處的切線斜率為2，在點B(2,6)

23、處的切線斜率為11. 設斜率為k且過點A的直線為，過點B的直線為，為曲線上斜率為k的切點.下面分兩種情況：當k11時，由，得或. 因為C：yx3x(1x2)，所以切點不在曲線C上，則曲線C上的所有點都在之間，所以d(k)；當時，由，得，或. 因為C：yx3x(1x2)，所以有且只有一條斜率為k的直線與曲線C相切由，得切線方程為，即設、在軸上的截距分別為、，則，因為，所以因為，令，則所以設，因為，所以則函數上是單調遞減函數，因為，所以在上恒成立，所以，則曲線上的所有點都在、之間.所以d(k).綜上得,17.解析(1)f(x)x1lnx(x>0)，f(x)1.當x(0,1)時，f(x)<0，f(x)遞減；當x(1，)時，f(x)>0，f(x)遞增f(x)的最小值為f(1)0.(2)證明：由(1)知當x>0