1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 函數的性質知識要點一、 函數的奇偶性1定義：如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為奇函數；如果對于函數f(x)定義域內的任意x都有f(x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數。如果函數f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.如果函數同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數，又是偶函數。注意：（1）函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；（2）由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱

2、）。2利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：（1）首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；（2） 確定f(x)與f(x)的關系；（3） 作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數。3簡單性質：（1）圖象的對稱性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；（2）設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（3）任意一個定義域關于原點

3、對稱的函數 均可寫成一個奇函數 與一個 偶函數 和的形式，則 。4 奇偶函數圖象的對稱性(1)若是偶函數，則的圖象關于直線對稱；(2)若是奇函數，則的圖象關于點中心對稱；5一些重要類型的奇偶函數：（1） 函數 是偶函數，函數 是奇函數；（2）函數 且是奇函數；（3）函數 且是奇函數；（4）函數 且是奇函數。二、函數的單調性1定義：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區間D上是增函數（減函數）；注意：（1）函數的單調性是在定義域

4、內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；（2）必須是對于區間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)（3）函數單調性的兩個等價形式： 在給定區間上單調遞增（遞減）；在給定區間上單調遞增（遞減）。2如果函數y=f(x)在某個區間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。3設復合函數y= fg(x)，其中u=g(x) , A是y= fg(x)定義域的某個區間，B是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 A上是增（或減）函數，y= f(u)在B上也是增（或減）函數，則函

5、數y= fg(x)在A上是增函數；若u=g(x)在A上是增（或減）函數，而y= f(u)在B上是減（或增）函數，則函數y= fg(x)在A上是減函數，簡稱“同增異減”。4判斷函數單調性的方法步驟利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟：（1） 任取x1，x2D，且x1<x2；（2）作差f(x1)f(x2)；（3）變形（通常是因式分解和配方）；（4）定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；（5） 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）。5簡單性質（1）奇函數在其對稱區間上的單調性相同；（2）偶函數在其對稱區間上的單調性相反；（3）在公共定義域內：增函數f(

6、x)+增函數g(x)是增函數；減函數f(x)+減函數g(x)是減函數；增函數f(x)-減函數g(x)是增函數；減函數f(x)-增函數g(x)是減函數。三、函數的最值1定義：最大值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數y=f(x)的最大值。最小值：一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：對于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0) = M。那么，稱M是函數y=f(x)的最小值。注意：（1）函數最大（小）首先應該是某一個函數值，即存在x0I，使得f(x0)

7、= M；（2）函數最大（小）應該是所有函數值中最大（小）的，即對于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）。2利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值的方法：（1）利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；（2）利用圖象求函數的最大（小）值； （3） 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b); 如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；函數的單調性A組1下列函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當x1

8、<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)2函數f(x)(xR)的圖象如右圖所示，則函數g(x) f(logax)(0<a<1)的單調減區間是_3函數y 的值域是_4已知函數f(x)|ex|(aR)在區間0,1上單調遞增，則實數a的取值范圍是_5如果對于函數f(x)定義域內任意的x，都有f(x)M(M為常數)，稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函數中，有下確界的所有函數是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)6已知函數f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在x

9、R使f(x)<b·g(x)，求實數b的取值范圍；(2)設F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上單調遞增，求實數m的取值范圍.B組1下列函數中，單調增區間是(，0的是_yy(x1)yx22y|x|2若函數f(x)log2(x2ax3a)在區間2，)上是增函數，則實數a的取值范圍是_3若函數f(x)x(a>0)在(，)上是單調增函數，則實數a的取值范圍是_4定義在R上的偶函數f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，則下列結論正確的是_f(3)<f(2)<f(1)f(1)<f(2)<f(3) f(2)<f(

10、1)<f(3)f(3)<f(1)<f(2)5已知函數f(x)滿足對任意x1x2，都有<0成立，則a的取值范圍是_6函數f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(3,0)，定義函數g(x)f(x)·(x1)，則函數g(x)的最大值為_7已知定義域在1,1上的函數yf(x) 的值域為2,0，則函數yf(cos)的值域是_8已知f(x)log3x2，x1,9，則函數yf(x)2f(x2)的最大值是_9若函數f(x)loga(2x2x)(a>0，a1)在區間(0，)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區間為_10試

11、討論函數y2(logx)22logx1的單調性11已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.12已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在實數a，b，使f(x)同時滿足下列三個條件：(1)在(0,1上是減函數，(2)在1，)上是增函數，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，說明理由 函數的性質A組1設偶函數f(x)loga|xb|在(，0)上單調遞增，則f(a1)與f(b2)的大小關系為_2定義在R上的函

12、數f(x)既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則f(1)f(4)f(7)等于_3已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0,2上是增函數，則f(25)、f(11)、f(80)的大小關系為_4已知偶函數f(x)在區間0，)上單調增加，則滿足f(2x1)<f()的x取值范圍是_5已知定義在R上的函數f(x)是偶函數，對xR，f(2x)f(2x)，當f(3)2時，f(2011)的值為_6已知函數yf(x)是定義在R上的周期函數，周期T5，函數yf(x)(1x1)是奇函數，又知yf(x)在0,1上是一次函數，在1,4上是二次函數，且在x2時函數取得最小值5.(1)證明：f(

13、1)f(4)0；(2)求yf(x)，x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式B組1函數f(x)的定義域為R，若f(x1)與f(x1)都是奇函數，則下列結論正確的是_f(x)是偶函數f(x)是奇函數f(x)f(x2) f(x3)是奇函數2已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，f(1)f(2)f(2009)f(2010)_.3已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(1)1，若將f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數的圖象，則f(1)f(2)f(3)f(2010)_.4已知函數f(x)是R上的偶函數，且在(0，)上有f(x)>

14、;0，若f(1)0，那么關于x的不等式xf(x)<0的解集是_5已知函數f(x)是(，)上的偶函數，若對于x0，都有f(x2)f(x)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2009)f(2010)的值為_6已知函數f(x)是偶函數，并且對于定義域內任意的x，滿足f(x2)，若當2<x<3時，f(x)x，則f(2009.5)_.7定義在R上的函數f(x)在(，a上是增函數，函數yf(xa)是偶函數，當x1<a，x2>a，且|x1a|<|x2a|時，則f(2ax1)與f(x2)的大小關系為_8已知函數f(x)為R上的奇函數，當x0時，f(x)x(x

15、1)若f(a)2，則實數a_.9已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0,2上是增函數若方程f(x)m(m0)在區間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.10已知f(x)是R上的奇函數，且當x(，0)時，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式11已知函數f(x)，當x，yR時，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x)是奇函數；(2)如果xR，f(x)<0，并且f(1)，試求f(x)在區間2,6上的最值12已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數；(2)若f(x)為奇函數，且當0

16、x1時，f(x)x，求使f(x)在0,2010上的所有x的個數例題1、函數的單調遞增區間是_例題2、（1）函數是（ ）A、是偶函數但不是奇函數 B、是奇函數但不是偶函數C、既是奇函數又是偶函數 D、既不是奇函數也不是偶函數（2）. 設，則對任意實數，是的A、充分必要條件 B、充分而不必要條件 C、必要而不充分條件 D、既不充分也不必要條件 （3）已知實數x、y滿足，則_ （4）已知（R），且 則a的值有 （ ） A、個 B、個 C、個 D、無數個例題3、（2004復旦）若存在M，使任意（D為函數的定義域），都有，則稱函數有界.問函數在上是否有界？例題4、設，其中且若在區間上恒成立，求的取值范圍

17、課后精練1 已知為偶函數，為奇函數，其中為復數，則的值是_. 2 函數的最大值與最小值之差等于。解：，從而當時取最大值，當時取最小值0，從而最大值與最小值之差等于3函數解析：（1）f(x)在1，+)上是增函數，令f(x1)<f(x2)log9(x1+8-)<log9(x2+8-)得x1+8-<x2+8- 即（x1-x2）(1+)<0x1-x2<0 1+>0, >-1,a>-x1x2，x2>x11 欲使a>-x1x2恒成立，即（-x1x2）max=-1只要a-1（-1應檢驗）（2）欲使x1時，x+8->0恒成立f(x)=log9(

18、x+8-)在上是增函數則只要當x=1時,x+8->0即可 1+8-a>0 a<9 故所求a的范圍是4設，若且，下列結論中必定成立的是A、 B、 C、 D、解析：答案D.5.設集合，映射使得對任意的，都有是奇數，則這樣的映射的個數是 （ A ）（A）45 （B）27 （C）15 （D）11提示：當時，為奇數，則可取1、3、5，有3種取法；當時，為奇數，則可取1、3、5，有3種取法；當時，為奇數，則可取1、2、3、4、5，有5種取法。由乘法原理知共有個映射。6.設函數，它們的圖象在軸上的公共點處有公切線，則當時，與的大小關系是（ ） A、B、C、 D、與的大小不確定提示：（ B

19、）。與的圖象在軸上有公共點，.,由題意,令,則在其定義域內單調遞減.由,當時,即.7、 設x0,y0,1，試求函數f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，當x0,y0,1時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)=(1-y)2x，令g(x)=,當時，因為cosx>0,tanx>x，所以；當時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因為g(x)在(0,)上連續，所以g(x)在(0,)上單調遞減。又因為0<(1-y)x<x<，所以g(1-y)x>

20、;g(x)，即，又因為，所以當x(0,),y(0,1)時，f(x,y)>0.其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.當y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx0.綜上，當且僅當x=0或y=0或x=且y=1時，f(x,y)取最小值0。8. 設 . 記，. 證明：.【證明】（）如果，則，。 （）如果，由題意 ，,. 則 當 時，（）. 事實上，當時，, 設時成立（為某整數），則對， . 當 時，（）.事實上，當時，, 設時成立（為某整數），則對，有.注意到 當時,總有，即 . 從而有.由歸納法，推出

21、 。 （3）當時，記，則對于任意，且。對于任意，, 則。 所以，。當時，即。因此。綜合（）（）（），我們有。 9f(x)在1,+¥)上單調遞增，且對任意x,yÎ1,+¥)，都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，證明：存在常數k，使f(x)=kx在xÎ1,+¥)上成立解析：設，則，以此類推，用數學歸納法不難證明對于，有。設，且，不妨設則，對任意且x為無理數時，則必存在兩個無限接近的有理數，使，由在上單調遞增知，即，由于，可以從x左右兩側無限接近，故。綜上，存在常數，使得，在上成立。課后精練1.設函數，其中（1）求的取值范圍，使得函數在上是單調

22、遞減函數；（2）此單調性能否擴展到整個定義域上？（3）求解不等式解：（1）設，則設，則顯然.,只需要,就能使在上是單調遞減函數；（2）此單調性不能擴展到整個定義域上，這可由單調性定義說明之；（3）構造函數，由（1）知當時，是單調遞增函數。，所求解集為.2. 若函數在區間a,b上的最小值為2a，最大值為2b，求a,b.解 顯然，二次函數在區間a,b上的最值與區間的取法有關，因此需要分情況進行討論.（1）若，則在區間a,b上單調遞減，故，于是有解之得，即.（2）若，則在區間a,0上單調遞增，在0,b上單調遞減，因此在處取最大值，在或處取最小值，故.由于，故在處取最小值，即，解得，于是.（3）若，則

23、在區間a, b 上單調遞增，故，于是有由于方程的兩根異號，故滿足的區間不存在.綜上所述，所求區間為1，3或.3設函數的定義域為R，當時，且對任意實數，有成立，數列滿足且（1）求的值；（2）若不等式對一切均成立，求的最大值.參考答案第二節 函數的單調性A組1(2009年高考福建卷改編)下列函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)”的是_f(x)f(x)(x1)2 f(x)exf(x)ln(x1)解析：對任意的x1，x2(0，)，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，f(x)在(0，)上為減函數答案：2函數f(x)(x

24、R)的圖象如右圖所示，則函數g(x)f(logax)(0<a<1)的單調減區間是_解析：0<a<1，ylogax為減函數，logax0，時，g(x)為減函數由0logaxx1.答案：，1(或(，1)3函數y 的值域是_解析：令x4sin2，0，ysincos2sin()，1y2.答案：1,24已知函數f(x)|ex|(aR)在區間0,1上單調遞增，則實數a的取值范圍_解析：當a<0，且ex0時，只需滿足e00即可，則1a<0；當a0時，f(x)|ex|ex符合題意；當a>0時，f(x)ex，則滿足f(x)ex0在x0,1上恒成立只需滿足a(e2x)mi

25、n成立即可，故a1，綜上1a1.答案：1a15(原創題)如果對于函數f(x)定義域內任意的x，都有f(x)M(M為常數)，稱M為f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下確界，下列函數中，有下確界的所有函數是_f(x)sinx；f(x)lgx；f(x)ex；f(x)解析：sinx1，f(x)sinx的下確界為1，即f(x)sinx是有下確界的函數；f(x)lgx的值域為(，)，f(x)lgx沒有下確界；f(x)ex的值域為(0，)，f(x)ex的下確界為0，即f(x)ex是有下確界的函數；f(x)的下確界為1.f(x)是有下確界的函數答案：6已知函數f(x)x2，g(x)x1.(1)若存

26、在xR使f(x)<b·g(x)，求實數b的取值范圍；(2)設F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上單調遞增，求實數m的取值范圍.解：(1)xR，f(x)<b·g(x)xR，x2bxb<0(b)24b>0b<0或b>4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24，當0即m時，則必需m0.當>0即m<或m>時，設方程F(x)0的根為x1，x2(x1<x2)，若1，則x10.m2.若0，則x20，1m<.綜上所述：1m0或m2.B組1(2010年山東東營模擬)下列函數中，單調增區間

27、是(，0的是_yy(x1)yx22y|x|解析：由函數y|x|的圖象可知其增區間為(，0答案：2若函數f(x)log2(x2ax3a)在區間2，)上是增函數，則實數a的取值范圍是_解析：令g(x)x2ax3a，由題知g(x)在2，)上是增函數，且g(2)>0.4<a4.答案：4<a43若函數f(x)x(a>0)在(，)上是單調增函數，則實數a的取值范圍_解析：f(x)x(a>0)在(，)上為增函數，0<a.答案：(0，4(2009年高考陜西卷改編)定義在R上的偶函數f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有<0，則下列結論正確的是_f(3)<

28、;f(2)<f(1)f(1)<f(2)<f(3) f(2)<f(1)<f(3)f(3)<f(1)<f(2)解析：由已知<0，得f(x)在x0，)上單調遞減，由偶函數性質得f(2)f(2)，即f(3)<f(2)<f(1)答案：5(2010年陜西西安模擬)已知函數f(x)滿足對任意x1x2，都有<0成立，則a的取值范圍是_解析：由題意知，f(x)為減函數，所以解得0<a.6(2010年寧夏石嘴山模擬)函數f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB，點A的坐標為(1,2)，點B的坐標為(3,0)，定義函數g(x)f(x)·

29、;(x1)，則函數g(x)的最大值為_解析：g(x)當0x<1時，最大值為0；當1x3時，在x2取得最大值1.答案：17(2010年安徽合肥模擬)已知定義域在1,1上的函數yf(x)的值域為2,0，則函數yf(cos)的值域是_解析：cos1,1，函數yf(x)的值域為2,0，yf(cos)的值域為2,0答案：2,08已知f(x)log3x2，x1,9，則函數yf(x)2f(x2)的最大值是_解析：函數yf(x)2f(x2)的定義域為x1,3，令log3xt，t0,1，y(t2)22t2(t3)23，當t1時，ymax13.答案：139若函數f(x)loga(2x2x)(a>0，a

30、1)在區間(0，)內恒有f(x)>0，則f(x)的單調遞增區間為_解析：令2x2x，當x(0，)時，(0,1)，而此時f(x)>0恒成立，0<a<1.2(x)2，則減區間為(，)而必然有2x2x>0，即x>0或x<.f(x)的單調遞增區間為(，)答案：(，)10試討論函數y2(logx)22logx1的單調性解：易知函數的定義域為(0，)如果令ug(x)logx，yf(u)2u22u1，那么原函數yfg(x)是由g(x)與f(u)復合而成的復合函數，而ulogx在x(0，)內是減函數，y2u22u12(u)2在u(，)上是減函數，在u(，)上是增函數又

31、u，即logx，得x；u>，得0<x<.由此，從下表討論復合函數yfg(x)的單調性：函數單調性(0，)(，)ulogxf(u)2u22u1y2(logx)22logx1故函數y2(logx)22logx1在區間(0，)上單調遞減，在區間(，)上單調遞增11(2010年廣西河池模擬)已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.解：(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(

32、2)任取x1，x2(0，)，且x1>x2，則>1，由于當x>1時，f(x)<0，所以f()<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數f(x)在區間(0，)上是單調遞減函數(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.由于函數f(x)在區間(0，)上是單調遞減函數，由f(|x|)<f(9)，得|x|>9，x>9或x<9.因此不等式的解集為x|x>9或x<912已知：f(x)log3，x(0，)，是否存在實數a，b，使f(x)同時滿足下列三個條件：(

33、1)在(0,1上是減函數，(2)在1，)上是增函數，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，說明理由解：f(x)在(0,1上是減函數，1，)上是增函數，x1時，f(x)最小，log31.即ab2.設0x1x21，則f(x1)f(x2)即恒成立由此得0恒成立又x1x20，x1x20，x1x2b0恒成立，b1.設1x3x4，則f(x3)f(x4)恒成立0恒成立x3x40，x3x40，x3x4b恒成立b1.由b1且b1可知b1，a1.存在a、b，使f(x)同時滿足三個條件第三節 函數的性質A組1設偶函數f(x)loga|xb|在(，0)上單調遞增，則f(a1)與f(b2)的大小關系

34、為_解析：由f(x)為偶函數，知b0，f(x)loga|x|，又f(x)在(，0)上單調遞增，所以0<a<1,1<a1<2，則f(x)在(0，)上單調遞減，所以f(a1)>f(b2)答案：f(a1)>f(b2)2(2010年廣東三校模擬)定義在R上的函數f(x)既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則f(1)f(4)f(7)等于_解析：f(x)為奇函數，且xR，所以f(0)0，由周期為2可知，f(4)0，f(7)f(1)，又由f(x2)f(x)，令x1得f(1)f(1)f(1)f(1)0，所以f(1)f(4)f(7)0.答案：03(2009年高考山東卷改編)已

35、知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0,2上是增函數，則f(25)、f(11)、f(80)的大小關系為_解析：因為f(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數是以8為周期的周期函數，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)，又因為f(x)在R上是奇函數，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)得f(11)f(3)f(3)f(14)f(1)，又因為f(x)在區間0,2上是增函數，所以f(1)>f(0)0，所以f(1)<0，即f(25)<f(80)<f(11)答案：

36、f(25)<f(80)<f(11)4(2009年高考遼寧卷改編)已知偶函數f(x)在區間0，)上單調增加，則滿足f(2x1)<f()的x取值范圍是_解析：由于f(x)是偶函數，故f(x)f(|x|)，由f(|2x1|)<f()，再根據f(x)的單調性得|2x1|<，解得<x<.答案：(，)5(原創題)已知定義在R上的函數f(x)是偶函數，對xR，f(2x)f(2x)，當f(3)2時，f(2011)的值為_解析：因為定義在R上的函數f(x)是偶函數，所以f(2x)f(2x)f(x2)，故函數f(x)是以4為周期的函數，所以f(2011)f(3502

37、15;4)f(3)f(3)2.答案：26已知函數yf(x)是定義在R上的周期函數，周期T5，函數yf(x)(1x1)是奇函數，又知yf(x)在0,1上是一次函數，在1,4上是二次函數，且在x2時函數取得最小值5.(1)證明：f(1)f(4)0；(2)求yf(x)，x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式解：(1)證明：f(x)是以5為周期的周期函數，f(4)f(45)f(1)，又yf(x)(1x1)是奇函數，f(1)f(1)f(4)，f(1)f(4)0.(2)當x1,4時，由題意可設f(x)a(x2)25(a>0)，由f(1)f(4)0，得a(12)25a(42)250，a

38、2，f(x)2(x2)25(1x4)(3)yf(x)(1x1)是奇函數，f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函數，可設f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253，k3，當0x1時，f(x)3x，從而當1x<0時，f(x)f(x)3x，故1x1時，f(x)3x.當4x6時，有1x51，f(x)f(x5)3(x5)3x15.當6<x9時，1<x54，f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)25.f(x).B組1(2009年高考全國卷改編)函數f(x)的定義域為R，若f(x1)與f(x1)都是奇函數，則下列結論正確的是_f(x)是偶函數f(x)是奇函數f(x)f(

39、x2)f(x3)是奇函數解析：f(x1)與f(x1)都是奇函數，f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，函數f(x)關于點(1,0)，及點(1,0)對稱，函數f(x)是周期T21(1)4的周期函數f(x14)f(x14)，f(x3)f(x3)，即f(x3)是奇函數答案：2已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，且f(2)f(1)1，f(0)2，f(1)f(2)f(2009)f(2010)_.解析：f(x)f(x)f(x3)f(x)，即周期為3，由f(2)f(1)1，f(0)2，所以f(1)1，f(2)1，f(3)2，所以f(1)f(2)f(2009)f(2010)f(2008)f

40、(2009)f(2010)f(1)f(2)f(3)0.答案：03(2010年浙江臺州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且f(1)1，若將f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數的圖象，則f(1)f(2)f(3)f(2010)_.解析：f(x)是定義在R上的奇函數，所以f(x)f(x)，將f(x)的圖象向右平移一個單位后，得到一個偶函數的圖象，則滿足f(2x)f(x)，即f(x2)f(x)，所以周期為4，f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)1，f(4)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，則f(1)f(2)f(3)f(2010)f(4)×502f(2)0

41、.答案：04(2010年湖南郴州質檢)已知函數f(x)是R上的偶函數，且在(0，)上有f(x)>0，若f(1)0，那么關于x的不等式xf(x)<0的解集是_解析：在(0，)上有f(x)>0，則在(0，)上f(x)是增函數，在(，0)上是減函數，又f(x)在R上是偶函數，且f(1)0，f(1)0.從而可知x(，1)時，f(x)>0；x(1,0)時，f(x)<0；x(0,1)時，f(x)<0；x(1，)時，f(x)>0.不等式的解集為(，1)(0,1)答案：(，1)(0,1)5(2009年高考江西卷改編)已知函數f(x)是(，)上的偶函數，若對于x0，都有

42、f(x2)f(x)，且當x0,2)時，f(x)log2(x1)，則f(2009)f(2010)的值為_解析：f(x)是偶函數，f(2009)f(2009)f(x)在x0時f(x2)f(x)，f(x)周期為2.f(2009)f(2010)f(2009)f(2010)f(1)f(0)log22log21011.答案：16(2010年江蘇蘇州模擬)已知函數f(x)是偶函數，并且對于定義域內任意的x，滿足f(x2)，若當2<x<3時，f(x)x，則f(2009.5)_.解析：由f(x2)，可得f(x4)f(x)，f(2009.5)f(502×41.5)f(1.5)f(2.5)f(

43、x)是偶函數，f(2009.5)f(2.5).答案：7(2010年安徽黃山質檢)定義在R上的函數f(x)在(，a上是增函數，函數yf(xa)是偶函數，當x1<a，x2>a，且|x1a|<|x2a|時，則f(2ax1)與f(x2)的大小關系為_解析：yf(xa)為偶函數，yf(xa)的圖象關于y軸對稱，yf(x)的圖象關于xa對稱又f(x)在(，a上是增函數，f(x)在a，)上是減函數當x1<a，x2>a，且|x1a|<|x2a|時，有ax1<x2a，即a<2ax1<x2，f(2ax1)>f(x2)答案：f(2ax1)>f(x2)

44、8已知函數f(x)為R上的奇函數，當x0時，f(x)x(x1)若f(a)2，則實數a_.解析：當x0時，f(x)x(x1)>0，由f(x)為奇函數知x<0時，f(x)<0，a<0，f(a)2，a(a1)2，a2(舍)或a1.答案：19(2009年高考山東卷)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區間0,2上是增函數若方程f(x)m(m0)在區間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4_.解析：因為定義在R上的奇函數，滿足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)，因此，函數圖象關于直線x2對稱且f(0)0.由f(x4)f(x)

45、知f(x8)f(x)，所以函數是以8為周期的周期函數又因為f(x)在區間0,2上是增函數，所以f(x)在區間2,0上也是增函數，如圖所示，那么方程f(x)m(m0)在區間8,8上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1x2x3x4.由對稱性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248. 答案：-810已知f(x)是R上的奇函數，且當x(，0)時，f(x)xlg(2x)，求f(x)的解析式解：f(x)是奇函數，可得f(0)f(0)，f(0)0.當x>0時，x<0，由已知f(x)xlg(2x)，f(x)xlg(2x)，即f(x)xlg(2x)(x>0)f(x)

46、即f(x)xlg(2|x|)(xR)11已知函數f(x)，當x，yR時，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x)是奇函數；(2)如果xR，f(x)<0，并且f(1)，試求f(x)在區間2,6上的最值解：(1)證明：函數定義域為R，其定義域關于原點對稱f(xy)f(x)f(y)，令yx，f(0)f(x)f(x)令xy0，f(0)f(0)f(0)，得f(0)0.f(x)f(x)0，得f(x)f(x)，f(x)為奇函數(2)法一：設x，yR，f(xy)f(x)f(y)，f(xy)f(x)f(y)xR，f(x)<0，f(xy)f(x)<0，f(xy)<f(x)xy&g

47、t;x，f(x)在(0，)上是減函數又f(x)為奇函數，f(0)0，f(x)在(，)上是減函數f(2)為最大值，f(6)為最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)在區間2,6上的最大值為1，最小值為3.法二：設x1<x2，且x1，x2R.則f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1>0，f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0.即f(x)在R上單調遞減f(2)為最大值，f(6)為最小值f(1)，f(2)f(2)2f(1)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所求f(x)

48、在區間2,6上的最大值為1，最小值為3.12已知函數f(x)的定義域為R，且滿足f(x2)f(x)(1)求證：f(x)是周期函數；(2)若f(x)為奇函數，且當0x1時，f(x)x，求使f(x)在0,2010上的所有x的個數解：(1)證明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4為周期的周期函數(2)當0x1時，f(x)x，設1x0，則0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函數，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又設1<x<3，則1<x2<1，f(x2)(x2)，又f(x2)f(2x)f(x)2f(x)f(

49、x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1<x<3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4為周期的周期函數故f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12010，則n502，又nZ，1n502(nZ)，在0,2010上共有502個x使f(x).例題1、函數的單調遞增區間是_解析：依題意有，令。例題2、（1）函數是（ ）A、是偶函數但不是奇函數 B、是奇函數但不是偶函數C、既是奇函數又是偶函數 D、既不是奇函數也不是偶函數解析：定義判斷可得A（2）. 設，則對任意實數，是的A、充分必要條件 B、充分而不必要條件 C、必要而不充分條件 D、既不充分也不必要條件 【解】【答】A 。顯然為奇函數，且單調遞增。于是若，則，有，即，從而有.反之，若，則,推出 ，即 。 （3）已知實數x、y滿足，則_ 解析：奇函數的定義可得15（4）已知（R），且 則a的值有 （ ） A、個 B、個 C、個 D、無數個解：由題設知為偶函數，則考慮在時，恒有所以當，且時，恒有由于不等式的解集為