1、班級(jí) 姓名 學(xué)案學(xué)案 5.4 數(shù)列求和數(shù)列求和 基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Snn（a1an）2na1n（n1）2d 2等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 Snna1，q1，a1anq1qa1（1qn）1q，q1. 3一些常見(jiàn)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 (1)1234nn（n1）2； (2)13572n1n2； (3)24682nn2n 1辨明兩個(gè)易誤點(diǎn) (1)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn) (2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于 1 和不等于 1兩種情況求解

2、 2數(shù)列求和的常用方法 (1)倒序相加法： 如果一個(gè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的 (2)錯(cuò)位相減法： 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的， 那么這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的 (3)裂項(xiàng)相消法： 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和 (4)分組求和法： 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成， 則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和

3、后再相加減 (5)并項(xiàng)求和法： 一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如 an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解 考點(diǎn)一_分組法求和_ 例 1(2014 高考湖南卷)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Snn2n2，nN*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè) bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 規(guī)律方法 1.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型 (1)若 anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前 n 項(xiàng)和； (2)通項(xiàng)公式為 anbn，n為奇數(shù)，cn，n為偶數(shù)的數(shù)列， 其中數(shù)列bn， cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和 2本

4、題中求前 2n 項(xiàng)和轉(zhuǎn)化為求數(shù)列22n與(1)nn的和，在求(1)nn的和時(shí)，又利用了并項(xiàng)求和法 考點(diǎn)二_錯(cuò)位相減法求和_ 例 2.(2015 浙江寧波高三模擬)設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a11，b12，a2b310，a3b27. (1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn，記 cnSn2an，nN*，求數(shù)列cn的前 n 項(xiàng)和 Tn. 規(guī)律方法 用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意： (1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型， 特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形； (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“SnqSn”的

5、表達(dá)式 考點(diǎn)三_裂項(xiàng)相消法求和(高頻考點(diǎn))_ 裂項(xiàng)相消法求和是每年高考的熱點(diǎn)，題型多為解答題，難度適中，屬中檔題 高考對(duì)裂項(xiàng)相消法的考查常有以下兩個(gè)命題角度： (1)求前 n 項(xiàng)和； (2)比較大小或不等式證明 例 3.(2014 高考廣東卷)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn滿(mǎn)足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*. (1)求 a1的值； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n，有1a1（a11）1a2（a21）1an（an1）13. 規(guī)律方法 1.解答本題利用了裂項(xiàng)相消法，而解答此題的關(guān)鍵是借助于放縮，即14k22k13k23k131k1

6、k1，即可相消 2利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意 (1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；或者前面剩幾項(xiàng)，后面也剩幾項(xiàng)； (2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則1anan11d1an1an1，1anan212d1an1an2. 課后達(dá)標(biāo)檢測(cè) A 組 1數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an1n n1，其前 n 項(xiàng)和為 9，則 n 等于( ) A9 B99 C10 D100 2等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an2n1，其前 n 項(xiàng)的和為 Sn，則數(shù)列Snn的前 10 項(xiàng)的和為( ) A120 B100 C75 D70 3(2015 山東濟(jì)南期末)已知an為等差數(shù)列，a1033，a21，Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，則 S202S10等于( ) A40 B200 C400 D20 4數(shù)列 a12，ak2k，a1020 共有十項(xiàng)，且其和為 240，則 a1aka10的值為_(kāi) B 組組 5已知等差數(shù)列an的前