1、輕繩連接體問題分類評析    一、繩端兩連接體都靜止類題 二、繩端兩連接體一個靜止,另一個運動類題 解答這類題時應注意,分析運動物體的受力情況和運動情況,分析靜止物體的受力情況,及他們之間的聯系. 圖1 【例1】 如果在圓盤圓心處通過一個小孔把質量均為m的兩物塊用輕繩連接,如圖1所示,問角速度在什么范圍物塊A會相對圓盤靜止? 解析:物塊A相對圓盤靜止,可知繩子上的張力T=mg. 當最小時,A所受的靜摩擦力背離圓心,即有: T-mg=mR?2?min? 解得:?min?=(1-)gR 當最大時,A所受的靜摩擦力指向圓心,即有: T+mg=mR?2?max?

2、 解得:?max?=(1+)gR 所以的取值范圍為(1-)gR(1+)gR. 圖2 【例2】 如圖2所示.一根不可伸長的輕繩兩端各系一個小球a和b,跨在兩根固定在同一高度的光滑水平細桿上,質量為3?m的a球置于地面上,質量為m的b球從水平位置靜止釋放.當a球對地面壓力剛好為零時,b球擺過的角度為.下列結論正確的是(). ?A.?=90?°? ?B?.=45?°? ?C?.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率先增大后減小 ?D?.b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率一直增大 解析:由機械能守恒以及圓周運動的相關知識可求得:當a球對地面壓力剛好為零時,b球擺

3、過的角度為90?°?.設b球的擺動半徑為R,擺過角度時的速度為v,對b球由動能定理: mgR?sin?=12mv?2 此時重力的瞬時功率為:P=mgv?cos? 由得:P?2=2m?2g?3R?sin?cos?2 對于函數y=?sin?cos?2其一階導數為: y=?cos?-3?sin?2?cos?=?cos?(1-3?sin?2) 0<<?arcsin?33 y>0 原函數單調遞增. ?arcsin?33<<?2,y<0 原函數單調遞減. 故當=?arcsin?33時,y取極大值.即b球擺動到最低點的過程中,重力對小球做功的功率先增大后減小.

4、二、繩端兩連接體的速度大小相同,方向不同類題 該類問題的特點是:兩連接體通過的位移(路程)、速率和加速度的大小保持一致.在整個運動過程中,連接體中各物體的受力特性保持不變. 圖3 【例3】 如圖3所示,一很長且不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪,繩兩端各系質量分別為m和3?m的a、b兩球,其中a球靜置于地面,用手托住b球距離地面高度為h,此時輕繩剛好拉緊.從靜止開始釋放b球后,a球可能達到的最大高度為多少? 解析:在b落地前,a、b組成的系統機械能守恒,且兩物體速度大小相等,根據機械能守恒定律可知:3mgh-mgh=12(m+3m)v?2,解得,v=Rg. b球落地時,a球上升的高度為也為h,之

5、后a球向上做豎直上拋運動,設上升的高度為h,該過程滿足機械能守恒,則:12mv?2=mgh,解得:h=v?22g=h2. 圖4 【例4】 如圖4所示,在傾角=30?°?的光滑斜面上通過定滑輪用一根不可伸長的細繩連著質量均為m=10?kg?的兩個物體A、B.開始時用手托著A,距離地面高度為h=?5?m?,?B位于斜面底端,撤去手后求: (1)A即將著地時A的動能? (2)物體B離開斜面底端的最遠距離? 解析:A即將著地前,兩物體速率保持一致,只有系統的重力做功,兩者組成的系統滿足機械能守恒,則m?Agh-m?Bgh?sin?=12m?Av?2+12m?Bv?2, 解得:v=gh(1-?

6、sin?)=5?m/s?,解得E?KA?=12m?Av?2=125?J?; A落地后,B以該速度沿斜面向上做勻減速直線運動,直至速度減小為0,該過程物體B與地球組成的系統滿足機械能守恒,設沿斜面最終上升的距離為x,取地面為零勢能面,則m?Bgh?sin?+12m?Bv?2=m?Bx?sin?,解得x=?7.5?m?.? 三、繩端兩連接體的速度大小和方向都不相同類距 兩個物體由于處在不同的約束環境下,運動狀態不同,但作為連接兩個物體的介質繩,能實現力和能量的傳遞,這也就使兩個物體的運動狀態彼此都會發生影響,這就使兩個物體的速度存在一定的矢量關聯,分解或者求解速度之間的約束關系就成為解決這類問題的

7、關鍵. 【例5】 如圖5所示,物塊M和m,用一不可伸長的輕繩通過定滑輪連接,m放在傾角=30?°?的固定光滑斜面上,M穿過豎直桿PQ沿桿無摩擦地下滑,且M=3?m.開始時將M抬高到A點,使細繩保持水平,此時OA段的繩長為L=4.0?m?,現將M由靜止開始下滑,求當M下滑到B處時,此時距離A點間距為3.0?m?,求經過B時的速度? (g=10?m/s?2?) 圖5 解析:M沿桿向下運動,m沿光滑斜面向上運動,組成的系統只有重力做功,滿足機械能守恒,設到達B點時各自速度分別為v?m和v?M,則:E?K=-E?P,即12mv?2?m+12Mv?2?M=Mgh-mgl?sin?. 在B處M既

8、參與繞O點的圓周運動,同時又參與沿繩向外拉伸的運動,合運動表現為沿桿向下運動,由矢量分解可知:v?m=v?M?cos?,聯立兩式解得:v?M=3.85?m/s?. 圖6  【例6】 如圖6所示,汽車以速度v勻速行駛,當汽車到達圖示位置時,繩子與水平方向的夾角是,此時物體M的上升速度大小為多少?(結果用v和表示) 解法一:速度分解法.物體M與右段繩子上升的速率相同,而右段繩子上升的速率與左段繩子在沿繩長方向運動的速率v?1是相等的.與車相連的端點的實際運動速度就是合速度,且與汽車速度v相同.分析左段繩子的運動可知,它其實同時參與了兩個分運動,即沿繩長方向運動和繞滑輪邊緣順時針轉動. 將

9、車速v分解為沿繩方向的速度v?1和垂直繩子方向的速度v?2,如圖7所示.根據平行四邊形定則可得v?1=v?cos?. 所以,物體M上升速度的大小為v=v?cos?. 解法二:位移微元法.如圖8所示,假設端點N水平向左勻速移動微小位移s至N,此過程中左段繩子長度增大了s?1(過N向ON作垂線NP,因頂角很小,故OPON),即物體上升了s?1,顯然,s?1=s?cos?. 圖7_圖8 由于v=s/t,(s很小、t很小),可得v?1=v?cos?. 所以,物體M上升速度的大小為v=v?cos?. 評析:有些同學認為只要將繩速v?1分解為水平向左的速度v和豎直向下的速度v?2,根據平行四邊形定則易得繩

10、速v?1=v/?cos?.其實,這種解法的錯誤是一目了然的,難道汽車在向前運動的同時還在向地下鉆嗎?產生錯誤的主要原因是沒有分清哪個是合運動、哪個是分運動,繼而搞錯了合運動、分運動的方向.錯誤的根本原因是混淆了運動的分解和力的分解. 圖9 【例7】 如圖9所示,一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上,碗的內表面及碗口是光滑的,碗口水平,O點為其球心.一根輕質細線跨在碗口上,線的兩端分別系有小球A和B,當它們處于平衡狀態時,小球A與O點的連線與水平線的夾角為60?°?. (1)求小球A與小球B的質量比m?Am?B=? (2)辨析題:現將A球質量改為2m,B質量改為m,且開始時A球位于碗口

11、C點,由靜止沿碗下滑,當A球滑到碗底時,求兩球的速率為多大? 某同學解法如下:當A球滑到碗底時,A球下降的高度為R,B球上升的高度為2R,根據機械能守恒定律有: m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?Bv?2?B. 且v?A=v?B,代入數據,解上述兩式即可求得兩球的速率. 你認為上述分析是否正確?如果你認為正確,請完成此題;如果你認為不正確,請指出錯誤,并給出正確的解答. (3)在滿足第(2)問中的條件下,求A球沿碗壁運動的最大位移是多少? 物理過程分析:球A在繩的拉力、碗壁彈力和自身重力的作用下沿碗壁做圓周運動,速度v?A始終沿切線方向,在任意時刻速度矢量分解和運動到特殊

12、點圓周底端時的速度矢量分解如圖(甲)所示,則:v?B=v?A?sin?45?°?=22v?A; 當球A由圓周底端繼續向上運動時,速度矢量分解如圖(乙)所示,即球A、B之間速度在整個過程中彼此之間存在著一定的關聯. 解析:(1)對A球,由平衡條件:2T?cos?30?°?=m?Ag; 對B球,由拉力與重力平衡得:T=m?Bg,聯立解得:m?Am?B=31; (2)不正確.正確解答如下: A球在碗底時,v?Av?B,應將v?A沿繩和垂直于繩的方向分解,沿繩子方向的分速度即等于B球的速度v?B的大小.v?A速度矢量分解如圖(甲)所示,即v?B=v?A?sin?45?°?=22v?A, 根據機械能守恒定律有:m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?Bv?2?B, m?AgR-m?Bg2R=12m?Av?2?A+12m?B(22v?A)?2, 可得:v?A=4(2-2)gR5,?v?B=2(2-2)gR5.? (3)球A經過碗底后繼續上升,當速度減小為零時沿碗壁有最大位移,如圖(乙)所示,此時A相對碗邊緣的高度為h,則:hs=4R?2-s?22R. 由機械能守恒有:2mgh-mgs=0;聯立以上兩式可得:s=3R. 以繩為介質構成的連接體問題不僅在單一的重力場中出現.在電磁場中,兩