1、9 離散時間信號與系統在這一章中，我們首先考慮離散時間信號，或者，更簡單，離散信號。一個離散時間信號被定義在一個確切的時間點。我們定義一個離散時間信號為xn。其中地理變了n只可以去證書的值。在本張杰的第二個問題，我們考慮離散時間系統，或者，更簡單，離散系統。離散時間系統是指所有信號在時間上都是離散的。這章緊跟著第二章的概要。如上所述，一個離散信號只被定義為在離散的時間。例如，假設一個連續時間信號f(t)被一個數字電腦處理。這個操作成為數字信號處理DSP。因為計算機處理一個數字，連續時間信號必須被轉換成一個序列。這種轉換過程叫做采樣。如果信號是按時間t的增量采樣的，數字序列f(nT),n=,-2

2、,-1,0,1,2,結果。時間增量T被稱為采樣周期。（這里與接下來的章節有一點混亂的危險，符號T被用于表示采樣周期，而在章節5和6不是這樣.）圖9.1(a)所示是采樣過程，其中每個樣本值由通過一條垂線端點表示。通常被用于采樣的硬件在標9.1(b)中。正如第一章所述，模數轉換器（A/D或ADC）是一個電子電路，將每個樣品取樣電壓信號并將其轉換成一個二進制數，二進制數字可以被發送到數字計算機來被處理。因此，一個A/D勇于生成和傳輸數列給計算機。取樣時間是由計算機的定時脈沖決定。一個信息是關于符號整齊的。符號f（t）表示一個連續信號。符號f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符號fn表示一個時域離散

3、信號，只被定義在整數。圓括號表示連續時間；括號表示離散時間。然而，這個符號不是萬能的；他在這里是用來區分f(nT)和fn.如果fn是有f(t)間隔T秒采樣而得，然后f(nT)=f(t)|t=nT還有fn=f(t)|t=nTf(t)|t=n （9.1）公式9.1(c)闡述了數字信號處理的整個系統。將時域連續信號f(t) 采樣，得到時域離散信號f(nT)=fn；處理器輸出的信號是gn；f(t)定義在所有的時間，gn僅被定義在n個整數；例如，g1.2根本不存在。一個時域離散信號xn可以作為一個幅度連續的信號，他的振幅可以是任意值-<xn< 。第二類時域離散信號是一種離散復讀信號，其中xn

4、只能取被定義的幅度。一個幅度離散時間離散的信號也被稱作數字信號。一個復讀離散時間離散信號的例子是一個數模轉換器的輸出。（見表1.19）例如，如果數模轉換器輸出8位二進制，輸出信號幅度只能為28=256個不同的值。幅度離散時域離散信號的第二個例子是任何一個在數字計算機內部的信號。總之，一個時間離散信號就是一個數字序列。序列通常被表示為fn，這個符號代表序列,f-2,f-1,f0,f1,f2,我們通常認為fn，其中n是一個整數，沒有定義的。一些工程師對時域離散信號感興趣的原因有以下幾個：1. 如果我們使用數字信號處理采樣是必要的，這比模擬信號處理更有通用性。2. 許多通信系統出于各樣的原因被設計成

5、依離散時間信號為基礎的。3. 采樣一個信號允許我們存儲信號到獨立存儲。4. 某些傳感器的輸出是測量物理變了的離散時間變量。5. 自動控制的物理系統需要數字計算機來實現復雜的控制策略。控制信號源于計算機，是時域離散的。6. 許多消費品例如CD，DVD，數碼相機還有MP3播放器都是使用數字信號的。9.1 時域離散信號與系統在這一部分中，我們介紹了時域離散信號的例子。我們用數值積分為例。加入我們希望一個電壓信號，x(t)，使用一個數字計算機。由數字計算機集成需要我們用一個數值算法。在一半情況下，數值算法是基于近似一個信號與一個位置積分和一個信號有一個已知積分。因此，所有的集成算法在本身是近似。我們使

6、用歐拉法則(在章節1.3中討論過的)，在圖9.1中描繪的。歐拉規則估算曲線x(t)下的面積由顯示的矩形區域的和表示。在圖中步長H（每個矩形的寬）被稱為數值積分增量。該算法的實施要求x(t)在每H秒被采樣，結果為數列x(nH)，n為整數。讓y(t)作為下面x(t)的積分：y(t)=0txd. (9.2)x(t)的積分從t=0到t=nH在圖9.2中表示為可積的，對于t=0到t=(n-1)H加上積分(n-1)H到nH。因此，在公式(9.2)中，yt|t-nH=ynH=0nHxd =0(n-1)Hxd+(n-1)HnHxd yn-1H+Hxn-1H. (9.3)忽略鎖設計的近似，我們把方程表示為ynH

7、=yn-1H+Hxn-1H. (9.4)然而，y(nH)只是x(t)在t=nH時的一個近似的積分。以前討論的時域離散信號中的符號，(9.4)被解釋為yn=yn-1+Hxn-1.(9.5)這種類型的方程叫做差分方程。一般的n階常系數線性差分方程的形式為yn=b1yn-1+b2yn-2+bNyn-N+a0xn+a1xn-1+aNxn-N,(9.6)其中常系數為ai和bi是常數，i=1,2,N。把n替換為(n+N)，我們也可以把差分方程表達為yn+N=b1yn+N-1+b2yn+N-2+bNyn+a0xn+N+a1xn+N-1+aNxn, (9.7)(9.6)和(9.7)的格式被用于指定的差分方程。

8、在本章節，我們考慮的時域離散信號是在(9.6)和(9.7)中xn和yn的類型還有差分方程描述的離散系統。但是，我們不限制差分方程是否為線性。9.2 時域離散信號的變換在本節中，我們講研究對于時域離散信號xn的6種變換。其中3個變換是關于獨立變量n和其他3個獨立變量x。對于離散信號變化的命名，我們繼續使用術語離散時間，或者單時間點，對于離散增量變了n，由于通常，我們考慮到采樣信號。對于采樣信號，我們用n來表示時間t=nT，T為采樣周期。時間變換首先，我們考慮3次變換。在這些變換中，為了更清晰理解，我們用m來表示原始信號中的時間，用n來表示信號變換后的離散時間。時間反轉對于時間反轉信號xm，我們用

9、-n來取代獨立變量m。這樣，我們得到yn=xm|m=-n=x-n,(9.20)其中yn表示變換后的信號。這個操作可以得到xm關于坐標系垂直軸的鏡像效果。在第十章中我們將看到，時間反轉的一個應用是在計算某些系統的響應。時間標度給定一個信號xn，時間縮放版本的這個信號為yn=xm|m=an=xan,(9.21)這里我們只考慮在a=k或者a=1/k的情況下（k的值為整數）。為了看起來更清晰，這里在此把原始信號的時間變量替換為m。振幅變換接下來我們考慮關于振幅的3個變換。振幅變換也沿用與時間變換的相同的規則。三種振幅變換的基本形式為yn=Axn+B，（9.24）其中A和B是常數，不一定是整數，例如：y

10、n=-3.1xn-5.75,值A=-3.1產生振幅反轉（因為符號為負）還有幅度縮放（A=3.1），還有值B=-5.75給出了信號的振幅變化的直流電平移位（平均值）。現在幅度縮放的一個例子已經給出了。9.3 時域離散信號的特征在2.2章節中，我們定義了時域連續信號的一些有用的特性。現在我們考慮時域離散信號的相同的特征。奇偶信號在本節中，我們定義了奇偶信號（函數）。如果一個時域離散信號xen是偶信號的話xen= xe-n（9.25）如果xon是奇信號的話xon=- xo-n（9.26）任何時域離散信號xn都可以表示為一個奇信號與偶信號的總和：xn=xen+xon（9.27）為了證明這一點，我們用-

11、n來替代變量nx-n=xe-n+xo-n=xen-xon （9.28）將式子（9.27）與式子（9.28）關于xn的部分相加xen=12xn+x-n.（9.29）將式子（9.27）與式子（9.28）關于xn的部分相減xon=12xn-x-n.（9.30）這兩個方程通常用來尋找一個時域離散信號的奇部分和偶部分。記住公式（9.29）和（9.30）還有（9.27）。一個時域離散信號的平均值是有下面這個公式得來：Ax=limN12N+1k=-NNxk.（9.31）和時域連續信號的情況一樣，一個時域離散信號的平均值包含在偶部分，奇信號的平均值總是為零。（見習題9.11）奇偶信號有一下幾個特性：1. 兩個

12、偶信號的和是偶信號。2. 兩個奇信號的和是奇信號。3. 一個奇信號與一個偶信號的和既不是奇信號也不是偶信號。4. 兩個偶信號的乘積是偶信號。5. 兩個奇信號的乘積是偶信號。6. 一個奇信號與一個偶信號的乘積是奇信號。這些特性是很容易被證明的。（見習題9.12。）現在給出一個關于奇偶信號的例子。9.4 常見的時域離散信號在2.3節中，我們定義了一些常見的發生在系統瞬踢響應的時域連續信號。在本部分中，我們將介紹等效的時域離散信號，這些信號可以出現在一定的離散系統的瞬態響應中。比如這個信號，正弦曲線，我們在第9.3節中提到過。例如，一個數字計算機可編程輸出一個離散正弦信號來產生可變頻率的聲音。離散正

13、弦信號傳輸到計算機數字模擬轉換器（D/A），模數轉換器是一個電子電路，它可以把二進制數轉換為一個時間連續的電壓信號。（見1.3章）然后這個電壓通過功率放大器到達揚聲器。計算機定時芯片用來確定采樣周期T還有，音調的頻率。以我們現在使用一個系統為例，來介紹常見的時域離散信號。本裝置的例子是在數字計算機中的以為計算機或者內存的位置。每隔T秒，我們改變儲存在設備的數量。然后一個不同的數字被轉換到設備然后被存儲下來。如果我們用xn來表示轉換到設備的數字，那么被轉移出的數字一定是xn-1。按這種方式使用的設備稱作一個理想時間延遲。長期的理想表明，數字不會有任何方式的改變，僅僅是被延遲。9.5 時域離散系統

14、在本節中，我們定義了時域離散系統的一些通用符號。記住，我們定義的所有離散時間系統的信號是時間離散的。這一部分緊跟著2.6節。我們開始通過重復定義一個在2.6節中出現的系統。系統：一個系統是一種因果關系存在的過程。我們的目的是找出系統輸入信號與系統輸出信號直接的關系。同城，我們指的是輸入信號和輸出信號，簡單些，輸入和輸出，這樣分別。在9.1節中描述的歐拉積分和差分方程是一個時間離散系統的例子。eq(9.5)yn=yn-1+Hxn-1.在這個方程中，xn是數字積分器的輸入信號，yn是輸出信號。一個數字控制系統是一個由數字計算機控制的系統，它沒有人類的干預。一個例子是商業飛機的自動著陸系統。某些種類

15、的數字濾波器的基礎成分在數字控制系統被用于積分器。歐拉積分是被用于這些濾波器中。另一種流星的積分器是基于梯形規則。（見習題9.22）對于積分器（9.5），輸入信號是xn和輸出信號為yn。我們也可以把這個積分器轉化為：yn=Txn.（9.59）這個符號代表一個變換而非一個函數；就是說，T(xn)不是一個來替代xn和直接計算yn的數學函數。有關輸入xn和輸出yn的方程組被稱為一個數學模型，或者簡單來說，模型。給定輸入xn，就有對應的解yn。時域離散系統的模型，通常是一組差分方程。正如前面所述，我們常常說到的系統的粗心。一般來說，當我們使用文字系統，我們指的是一個物理系統的數學模型，而不是物理系統本

16、身。這是在本書接下來常用的用法。如果我們指的是一個物理系統，如果有混亂情況出現我們將它稱為一個物理系統。9.6 時域離散系統的性質在9.5章中，歐拉積分給出了離散時間系統的例子。在本書中，我們提出了時域離散系統的性能和特點。接下來，xn表示系統輸入，yn表示系統輸出。我們用這種符號來表示他們的關系。xnyn. （9.63）就像時域連續系統那樣，我們把這種關系比作xn產生yn。這和（9.63）關系式有相同的意義等式（9.59）yn=T(xn)這里給出的定義與在2.7章中對時域連續系統的定義相似。有記憶系統我們首先對有記憶系統一個定義：記憶一個有記憶的系統，它在n0時刻的輸出取決于輸入的值xn0。

17、否則，這個系統是無記憶的。對于一個離散信號xn，時間是由離散增量n表示。一個簡單的無記憶的時域離散系統的例子為：yn=5xn.一個無記憶系統也被叫做靜態系統。一個有記憶的系統也被乘坐一個動態的系統。一個有記憶系統的例子是歐拉積分（9.5）：yn=yn-1+Hxn-1.由第9.1章還有（9.8）這個等式也可以被表達成：yn=Hk=-n=1xk.我們看到輸出是取決于輸入的過去的所有的值。第二個有記憶離散系統的例子是，他的輸出為輸出的最近兩個值的平均值。描述這個系統的差分方程為yn=12xn+xn-1.這個方程是平均濾波器；他是一個在電視畫面生成圖片時的應用程序。（見參考文獻，章節1.3）第三個有記

18、憶離散系統的例子是，計算瓊斯工業指數在美國股市的20天的平均值。這個系統的差分方程為yn=120k=019xn-k.在這個等式中，xn是瓊斯指數今天的平均值，xn-1是瓊斯指數昨天的平均值，等等。而yn是最近20天的平均值。在數字計算機中實現該算法，延遲實現了19個記憶坐標。方程（9.66）可以被認作一個數字濾波器，他的輸出濾波為日平均。所有數字濾波的重要理論都可以用來確定這個系統的特性。例如，每日隨機波動在20日平均值的作用是什么？如果每日平均值發生一個顯著的變化，那么有多少延遲在這個變化改變20日平均值之前？本章中的定義允許我們把系統分類，以便于能夠更好的回答這樣的問題。此外，離散傅立葉變換（本書12章中）將讓我們能夠確認這樣的系統的特性。可逆性我們現在定義可逆性：如