1、第四章 一元一次不等式(組) 考點一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解。3、對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、用數軸表示不等式的方法考點二、不等式基本性質 （3-5分）1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改

2、變。4、說明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運算改變。如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數，那么就要看看題中是否出現一元一次不等式，如果出現了，那么不等式乘以的數就不等為0，否則不等式不成立；考點三、一元一次不等式 （6-8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數化為1考點四、一元一次不等式組 （8分）1、一元一次不等式組的概念：幾個一元

3、一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。6、不等式與不等式組不等式：用符號，=，號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相

4、反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。經典例題透析類型一：解一元一次不等式組1、解不等式組，并把它的解集在數軸上表示出來。思路點撥：先求出不等式的解集，然后在數軸上表示不等式的解集，求出它們的公共部分即不等式組的解集。解析：解不等式，得x；解不等式，得x1。所以不等式組的解集為x1在數軸上表示不等式的解集如圖。總結升華：用數軸表示不等式組的解集時，要切記：大于向右畫，小于向左畫。有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓圈。舉一反三：【變式1】解不等式組：解析：解不等式，得： 解不等式，得：

5、 在數軸上表示這兩個不等式的解集為： 原不等式組的解集為： 【變式2】解不等式組：思路點撥：在理解一元一次不等式組時要注意以下兩點：（1）不等式組里不等式的個數并未規定；（2）在同一不等式組里的未知數必須是同一個.（3）注意在數軸表示解集時“空心點”與“實心點”的區別解法一：解不等式，得：解不等式，得： 解不等式，得： 在數軸上表示這三個不等式的解集為： 原不等式組的解集為：解法二：解不等式，得： 解不等式，得： 由與得： 再與求公共解集得：. 【變式3】解不等式組：解析：解不等式得：x2解不等式得：x7不等式組的解集為無解【變式4】解不等式：15思路點撥：(1)把連寫不等式轉化為不等式組求解

6、；(2)根據不等式的性質，直接求出連寫不等式的解集。解法1：原不等式可化為下面的不等式組 解不等式，得x1，解不等式，得x8 所以不等式組的解集為1x8。即原不等式的解集為1x8解法2：15，32x115，22x16，1x8。 所以原不等式的解集為1x8總結升華：對于連寫形式的不等式可以化成不等式組來求解，而對于只有中間部分含有未知數的連寫形式的不等式也可以按照解不等式的步驟求解，如解法2.【變式5】求不等式組的整數解。思路點撥：按照不等式組的解法，先求出每個不等式的解集，在數軸上表示出各個不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式組的解集內求出符合要求的整數解。解析：解不等式，得

7、x；解不等式，得x4。在數軸上表示不等式的解集(如圖)所以不等式組的解集為x4。所以它的整數解為3,4。類型二、含參數的一元一次不等式組2、若不等式組無解，求a的取值范圍. 思路點撥：由兩個不等式組成的不等式組無解只有一種情況，即“大大小小”，也就是說如果x比一個較大的數大，而比一個較小的數小，則這樣的數x不存在. 解析：依題意： 2a-5 3a-2，解得a -3 總結升華：特別地，當2a-5與3a-2相等時，原不等式組也無解，請注意體會，以后做此類型的題目不要忽略對它們相等時的考慮. 舉一反三：【變式1】若不等式組無解，則的取值范圍是什么？解析：要使不等式組無解，故必須，從而得.【變式2】若

8、關于的不等式組 的解集為，則的取值范圍是什么？解析：由+1可解出，而由可解出，而不等式組的解集為，故，即.總結升華：上面兩個例題給出不等式組的解集，反求不等式組中所含字母的取值范圍，故要求較高.解這類題目的關鍵是對四種基本不等式組的解集的意義要深刻理解，如變式2，最后歸結為對不等式組解集的確定，這就要求熟悉“同小取小”的解集確定方法，當然也可借助數軸求解。【變式3】不等式組的解集為x2，試求k的取值范圍.解析：，由得 x2,由得xk, 不等式組的解集為 x2， 2k.即k2. 【變式4】已知關于的不等式組 的整數解共有5個，求的取值范圍。解析：不等式組的解為: 不等式組的解為: 由于原不等式組

9、有解，解集為 在此解集內包含5個整數，則這5個整數依次是m必須滿足【變式5】若不等式組的解集為1x1，則(ab)2008。解析：由知xa2，由知x，a21，1，a3，b2，ab1，(ab) 2008(1)20081。類型三、建立不等式或不等式組解決實際問題3、某校在一次外出郊游中，把學生編為9個組，若每組比預定的人數多1人，則學生總數超過200人；若每組比預定的人數少1人，則學生總數不到190人，求預定每組學生的人數。思路點撥：運用不等式解應用題的方法，找出題目中的不等關系，列不等式組，本題中的兩個不等關系是：9個小組中每組比預定的人數多1人，學生總數超過200人；9個小組中每組比預定的人數少

10、1人，學生總數不到190人。解析：設預定每組學生有x人，根據題意，得解這個不等式組，得，所以不等式組的解集是，其中符合題意的整數解只有一個x22。答：預定每組學生的人數為22人。總結升華：列不等式(組)解應用題，首先將題目中的不等關系用不等式表示出來，當求得未知數的值后，要檢驗，一是檢驗所求值是否是原不等式或不等式組的解，二是檢驗所求得的值是否與實際意義相符。舉一反三：【變式1】某飲料廠為了開發新產品，用A、B兩種果汁原料各19千克、17.2千克，試制甲、乙兩種新型飲料共50千克，下表是試驗的相關數據：飲料每千克含量甲乙A（單位：千克）0502B（單位：千克）0304（1）假設甲種飲料需配制x

11、千克，請你寫出滿足題意的不等式組，并求出其解集。（2）設甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，這兩種飲料的成本總額為y元，請用含 有x的式子來表示y。并根據（1）的運算結果，確定當甲種飲料配制多少千克時，甲、乙兩種飲料 的成本總額最小？解析：（1） 0.5x+0.2(50 -x)19 0.3x+0.4(50-x)17.2 由得x30,由得x28 28x30 （2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150 因為x越小，則y越小， 所以當x=28時，甲、乙兩種飲料的成本總額最少。【變式2】某園林的門票每張10元，一次使用。考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來

12、的售票方法外，還推出了一種“購買個人年票”的售票方法（個人年票從購買日起，可供持票人使用一年）。年票分A、B、C三類：A類年票每張120元，持票者進入園林時，無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進入該園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進入該園林時，需要再購買門票，每次3元。（1）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計 算，找出可使進入該園林的次數最多的購票方式。（2）求一年中進入該園林至少多少次時，購買A類年票才比較合算。思路點撥：“合算”是指進園次數多而花錢少，或是花相同的錢進園的次數最多，顯然是通過計算進行代數式

13、比較和建立不等式（組）關系。解：（1）不可能選A類年票， 若選B類年票，則為10次； 若選C類年票，則為13次； 若不購買年票，則為8次 所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進入園林的次數最多， 為13次。（2）設至少超過x次時，購買A類年票才比較合算， 則 60+2x120 解得 x30 40+3x120 解得 x26 10x120 解得 x12 x30 所以，一年中進入該園林至少超過30次時，購買A類年票才比較合算。【變式3】若干名學生，若干間宿舍，若每間住4人將有20人無法安排住處；若每間住8人，則有一間宿舍的人不空也不滿，問學生有多少人？宿舍有幾間？解析：設宿舍

14、共有x間。解得： 5x7x為整數x6學生人數4×62044(人)答：學生44人，宿舍6間。【變式4】某學校計劃組織385名師生租車旅游，現知道出租車公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元，（1）若學校單獨租用這兩種客車各需多少錢？（2）若學校同時租用這兩種客車8輛（可以坐不滿），而且比單獨租用一種車輛節省租金，請選擇最節 省的租車方案。解析：（1）385÷429.2單獨租用42座客車需10輛，租金為320×103200(元) 385÷606.4單獨租用60座客車需7輛，租金為460×73220(

15、元)（2）設租用42座客車x輛，則60座客車需(8x)輛 解得： 因x取整數x4，5 當x4時，租金為320×4460×(84)3120(元) 當x5時，租金為320×5460×(85)2980(元) 所以租5輛42座，3輛60座最省錢。【變式5】 解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數軸上與1和2的距離之和為5的點對應的x的值。在數軸上，1和2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或2的左邊，若x對應點在1的右邊，由圖（17）可以看出x2；同理，若x對應點在2的左邊，可得x3，故原方程的解是x=2或x=3參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程

16、的解為 （2）解不等式9；（3）若a對任意的x都成立，求a的取值范圍解：（1）1或 （2）和的距離為7，因此，滿足不等式的解對應的點3與的兩側當在3的右邊時，如圖（2），易知 當在的左邊時，如圖（2），易知原不等式的解為或 （3）原問題轉化為： 大于或等于最大值 當時，當，隨的增大而減小，當時，即的最大值為7 故12分一次不等式（組）中參數取值范圍求解技巧 (提高部分)已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數的取值范圍，以及解含方程與不等式的混合組中參變量（參數）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現。求解這類問題綜合性強，靈活性大，蘊含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。

17、一、化簡不等式（組），比較列式求解例1若不等式的解集為，求k值。 解：化簡不等式，得x5k，比較已知解集，得，。 例2（2014年山東威海市中考題）若不等式組的解集是x>3，則m的取值范圍是（ ）。A、m3B、m=3C、m<3D、m3 解：化簡不等式組，得，比較已知解集x>3，得3m, 選D。 例3（2014年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化簡不等式組，得 它的解集是-1<x<1， 也為其解集，比較得 (a+1)(b-1)=-6. 評述：當一次不等式（組）化簡后未知數系數不含參數（字母數）時，比

18、較已知解集列不等式（組）或列方程組來確定參數范圍是一種常用的基本技巧。 二、結合性質、對照求解例4（2014年江蘇鹽城市中考題）已知關于x的不等式(1-a)x>2的解集為，則a的取值范圍是（ ）。A、a>0B、a>1C、a<0D、a<1 解：對照已知解集，結合不等式性質3得：1-a<0, 即a>1，選B。 例5（2014年湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是x>a，則a的取值范圍是（ ）。 A、a<3B、a=3C、a>3D、a3 解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集x>a,得a3, 選D。 變式（2014年重

19、慶市初數賽題）關于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，則關于x的不等式ax+b<0的解集為_。 三、利用性質，分類求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范圍。 解：由解集得x-2<0,脫去絕對值號，得。 當a-1>0時，得解集與已知解集矛盾； 當a-1=0時，化為0·x>0無解； 當a-1<0時，得解集與解集等價。 例7若不等式組有解，且每一個解x均不在-1x4范圍內，求a的取值范圍。 解：化簡不等式組，得 它有解， 5a-6<3aa<3；利用解集性質，題意轉化為：其每一解在x<-1或x>4內。于是分類求解，當x&l

20、t;-1時，得，當x>4時，得4<5a-6a>2。故或2<a<3為所求。 評述：(1)未知數系數含參數的一次不等式，當不明確未知數系數正負情況下，須得分正、零、負討論求解；對解集不在ax<b 范圍內的不等式(組)，也可分x<a或x b 求解。(2)要細心體驗所列不等式中是否能取等號，必要時畫數軸表示解集分析等號。 四、借助數軸，分析求解 例8（2014年山東聊城中考題）已知關于x的不等式組的整數解共5個，則a的取值范圍是_。 解：化簡不等式組，得有解，將其表在數軸上，如圖1，其整數解5個必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4<a-3。 變式:(1)若上不等式組有非負整數解，求a的范圍。 (2)若上不等式組無整數解，求a的范圍。(答：(1)-1<a0；(2)a>1) 例9關于y的不等式組 的