1、2012級量子力學期末考試試題和答案A卷一、簡答與證明：（共25分）1、什么是德布羅意波？并寫出德布羅意波的表達式。 （4分）2、什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么？（6分）3、全同費米子的波函數(shù)有什么特點？并寫出兩個費米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、證明是厄密算符 （5分）5、簡述測不準關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出坐標和動量之間的測不準關(guān)系。（6分）二、（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）設(shè)氫原子在時處于狀態(tài)，求1、時氫原子的、和的取值幾率和平均值；2、時體系的波函數(shù)

2、，并給出此時體系的、和的取值幾率和平均值。四、（15分）考慮一個三維狀態(tài)空間的問題，在取定的一組正交基下哈密頓算符由下面的矩陣給出 這里，是一個常數(shù)，用微擾公式求能量至二級修正值，并與精確解相比較。 五、（10分）令，分別求和作用于的本征態(tài)和的結(jié)果，并根據(jù)所得的結(jié)果說明和的重要性是什么？一、1、描寫自由粒子的平面波稱為德布羅意波；其表達式：2、定態(tài)：定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)。性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時間的力學量的取值幾率和平均值不隨時間改變。3、全同費米子的波函數(shù)是反對稱波函數(shù)。兩個費米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：。4、=，因為是厄密算符，所以是厄密算符。5、設(shè)和的對易關(guān)系，是一個算符或普通的

3、數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個關(guān)系式稱為測不準關(guān)系。坐標和動量之間的測不準關(guān)系為：二、解1、由于，所以算符的本征值是，因為在A表象中，算符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，其中為任意實常數(shù)，得在A表象中的矩陣表示式為：2、類似地，可求出在B表象中算符的矩陣表示為：在B表象中算符的本征方程為：，即 和不同時為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對有：，對有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、類似地，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是

4、將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解： 已知氫原子的本征解為：，將向氫原子的本征態(tài)展開，1、=，不為零的展開系數(shù)只有三個，即，顯然，題中所給的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數(shù)為：，于是歸一化的展開系數(shù)為：， （1）能量的取值幾率，平均值為：（2）取值幾率只有：，平均值（3）的取值幾率為： ，平均值2、時體系的波函數(shù)為：=由于、和皆為守恒量，所以它們的取值幾率和平均值均不隨時間改變，與時的結(jié)果是一樣的。四、解：（1）的本征值是方程的根結(jié)果：，這是的精確解。（2）根據(jù)題意，體系能級的二級修正可寫為：由題設(shè)可知：能量的一級修正為：，對于二級修正，有：所以，將展開：， （3）對比可知，

5、根據(jù)微擾公式求得的能量二級修正值，與精確求解的結(jié)果是吻合的。五、解：，所以和分別作用于的本征態(tài)和的結(jié)果是，結(jié)果表明：稱為自旋升算符是合理的，因為它將方向的自旋從增加到。同樣，稱為自旋降算符，因為它將方向的自旋從降到。和容許我們從的一個本征態(tài)跳躍到另一個本征態(tài)，它們在自旋的計算中是非常有用的。B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點？（4分） 2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點？并寫出兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標的共同本征函數(shù)。（6分） 5、簡述測不準關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出時間

6、和能量的測不準關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時處于狀態(tài)，其中，求1、在時體系能量的取值幾率和平均值。2、時體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當為一小量時，利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項，本征矢至的一次項。五、（10分）一體系由三個全同的玻色子組成, 玻色子之間無相互作用. 玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài). 問體系可能的狀態(tài)有幾個? 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?一、1、厄密算符的本征值是實數(shù)，本征矢是正交、歸一和

7、完備的。2、在無窮遠處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡并態(tài)是指一個本征值對應一個以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標變量改變符號，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對稱波函數(shù)。兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標的對易關(guān)系是：，將其代入測不準關(guān)系知，只有當時的狀態(tài)才可能使和同時具有確定值，由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對易關(guān)系，是一個算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個關(guān)系式稱為測不準關(guān)系。時間和能量之間的測不準關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因為在A表象中，算

8、符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（為任意實常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對有：，對有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：， 當時有：，于是時的波函數(shù)可寫成：，容易驗證它是歸一化的波函數(shù)，于是時的能量取值幾率為：，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、 時體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時間改變，故時體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫成：能量的零級近似為：，能量的一級修正為：，能量的二級修正為：， ，所以體系近似到二級的能量為：，先求出屬于