1、第14章 勾股定理一、選擇題（共13小題）1如圖，點E在正方形ABCD內，滿足AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A48B60C76D802如圖是我國古代數學家趙爽在為周髀算經作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）A黃金分割B垂徑定理C勾股定理D正弦定理3如圖，ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A10B11C12D134下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=55下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組

2、是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，6一直角三角形的兩邊長分別為3和4則第三邊的長為（）A5BCD5或7設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A1.5B2C2.5D38如圖，若A=60°，AC=20m，則BC大約是（結果精確到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m9如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN若四邊形MBND是菱形，則等于（）ABCD10如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）A2B4CD11如果一

3、個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A只有1個B可以有2個C有2個以上，但有限D有無數個12在等腰ABC中，ACB=90°，且AC=1過點C作直線lAB，P為直線l上一點，且AP=AB則點P到BC所在直線的距離是（）A1B1或C1或D或13如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面積是（）ABC2D 二、填空題（共15小題）14如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（6，0）、（0，8）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C

4、，則點C的坐標為15在RtABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tanCAD=，則BD的長為16我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=17如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG、CDF和DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于18如圖，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，

5、AB=5，AD=4，則AE=19如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是20在ABC中，C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長為21如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點，矩形ABCD的周長是20cm，AE=5cm，則AB的長為cm22如圖，我國古代數學家得出的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比值為第14章 勾股定理參考答案與試題解析一、選擇題（共

6、13小題）1如圖，點E在正方形ABCD內，滿足AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（）A48B60C76D80【考點】勾股定理；正方形的性質【分析】由已知得ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分=S正方形ABCDSABE求面積【解答】解：AEB=90°，AE=6，BE=8，在RtABE中，AB2=AE2+BE2=100，S陰影部分=S正方形ABCDSABE，=AB2×AE×BE=100×6×8=76故選：C【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質關鍵是判斷ABE為直角三角形，運用勾股定理

7、及面積公式求解2如圖是我國古代數學家趙爽在為周髀算經作注解時給出的“弦圖”，它解決的數學問題是（）A黃金分割B垂徑定理C勾股定理D正弦定理【考點】勾股定理的證明【專題】幾何圖形問題【分析】“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決了勾股定理的證明【解答】解：“弦圖”，說明了直角三角形的三邊之間的關系，解決的問題是：勾股定理故選：C【點評】本題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明3如圖，ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，則BE的長度為何？（）A10B11C12D13【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線【分析】根據在直角

8、三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質可求出AB的長，再根據勾股定理即可求出BE的長【解答】解：BEAC，AEB是直角三角形，D為AB中點，DE=10，AB=20，AE=16，BE=12，故選C【點評】本題考查了勾股定理的運用、直角三角形的性質：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，題目的綜合性很好，難度不大4下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）Aa=1，b=2，c=3Ba=2，b=3，c=4Ca=2，b=4，c=5Da=3，b=4，c=5【考點】勾股定理的逆定理【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可【解答】解：A、12+22=532，不能構成直角三角形，故本選項錯

9、誤；B、22+32=1342，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；C、22+42=2052，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；D、32+42=25=52，能構成直角三角形，故本選項正確故選D【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵5下列各組線段中，能夠組成直角三角形的一組是（）A1，2，3B2，3，4C4，5，6D1，【考點】勾股定理的逆定理【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可【解答】解：A、12+2232，不能組成直角三角形，故錯

10、誤；B、22+3242，不能組成直角三角形，故錯誤；C、42+5262，不能組成直角三角形，故錯誤；D、12+（）2=（）2，能夠組成直角三角形，故正確故選D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷6一直角三角形的兩邊長分別為3和4則第三邊的長為（）A5BCD5或【考點】勾股定理【專題】分類討論【分析】本題中沒有指明哪個是直角邊哪個是斜邊，故應該分情況進行分析【解答】解：（1）當兩邊均為直角邊時，由勾股定理得，第三邊為5，（2）當4為斜邊時，由勾股定理得，第三邊為，故

11、選：D【點評】題主要考查學生對勾股定理的運用，注意分情況進行分析7（2013德宏州）設a、b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為2.5，則ab的值是（）A1.5B2C2.5D3【考點】勾股定理【專題】壓軸題【分析】由該三角形的周長為6，斜邊長為2.5可知a+b+2.5=6，再根據勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值【解答】解：三角形的周長為6，斜邊長為2.5，a+b+2.5=6，a+b=3.5，a、b是直角三角形的兩條直角邊，a2+b2=2.52，由可得ab=3，故選D【點評】本題考查了勾股定理和三角形的周長以及完全平方公式的運用8如圖，若A=60°，AC=20

12、m，則BC大約是（結果精確到0.1m） （）A34.64mB34.6mC28.3mD17.3m【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形【分析】首先計算出B的度數，再根據直角三角形的性質可得AB=40m，再利用勾股定理計算出BC長即可【解答】解：A=60°，C=90°，B=30°，AB=2AC，AC=20m，AB=40m，BC=2034.6（m），故選：B【點評】此題主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性質，關鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方9如圖，在矩形ABCD中

13、，AD=2AB，點M、N分別在邊AD、BC上，連接BM、DN若四邊形MBND是菱形，則等于（）ABCD【考點】勾股定理；菱形的性質；矩形的性質【分析】首先由菱形的四條邊都相等與矩形的四個角是直角，即可得到直角ABM中三邊的關系【解答】解：四邊形MBND是菱形，MD=MB四邊形ABCD是矩形，A=90°設AB=x，AM=y，則MB=2xy，（x、y均為正數）在RtABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2xy）2，解得x=y，MD=MB=2xy=y，=故選：C【點評】此題考查了菱形與矩形的性質，以及直角三角形中的勾股定理解此題的關鍵是注意數形結合思想與方程思想的應用10如圖，

14、正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）A2B4CD【考點】勾股定理【分析】連接AE，求出正六邊形的F=120°，再求出AEF=EAF=30°，然后求出AEP=90°并求出AE的長，再求出PE的長，最后在RtAEP中，利用勾股定理列式進行計算即可得解【解答】解：如圖，連接AE，在正六邊形中，F=×（62）180°=120°，AF=EF，AEF=EAF=（180°120°）=30°，AEP=120°30°=90°，AE=2×2co

15、s30°=2×2×=2，點P是ED的中點，EP=×2=1，在RtAEP中，AP=故選：C【點評】本題考查了勾股定理，正六邊形的性質，等腰三角形三線合一的性質，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵11如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A只有1個B可以有2個C有2個以上，但有限D有無數個【考點】勾股定理；相似三角形的判定與性質【專題】分類討論【分析】兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，即已知邊均為直角邊或者8為斜邊，運用勾股定理分別求出第三邊后，和另外三角形構成相似三角形，利用對應

16、邊成比例即可解答【解答】解：根據題意，兩條邊長分別是6和8的直角三角形有兩種可能，一種是6和8為直角邊，那么根據勾股定理可知斜邊為10；另一種可能是6是直角邊，而8是斜邊，那么根據勾股定理可知另一條直角邊為所以另一個與它相似的直角三角形也有兩種可能，第一種是，解得x=5；第二種是，解得x=所以可以有2個故選：B【點評】本題考查了勾股定理和三角形相似的有關知識本題學生常常漏掉第二種情況，是一道易錯題12在等腰ABC中，ACB=90°，且AC=1過點C作直線lAB，P為直線l上一點，且AP=AB則點P到BC所在直線的距離是（）A1B1或C1或D或【考點】勾股定理；平行線之間的距離；等腰直

17、角三角形【專題】壓軸題【分析】如圖，延長AC，做PDBC交點為D，PEAC，交點為E，可得四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC；等腰RtABC中，C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=，又AB=AP；所以，在直角AEP中，可運用勾股定理求得DP的長即為點P到BC的距離【解答】解：如圖，延長AC，做PDBC交點為D，PEAC，交點為E，CPAB，PCD=CBA=45°，四邊形CDPE是正方形，則CD=DP=PE=EC，在等腰直角ABC中，AC=BC=1，AB=AP，AB=，AP=；在直角AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2（1+DP）2+DP2=（

18、）2，解得，DP=；如圖，延長BC，作PDBC，交點為D，延長CA，作PECA于點E，同理可證，四邊形CDPE是正方形，CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角AEP中，（EC1）2+EP2=AP2，（PD1）2+PD2=（）2，解得，PD=；故選D【點評】本題考查了勾股定理的運用，通過添加輔助線，可將問題轉化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了學生的空間想象能力13如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ADBC，ABC=60°，BCD=30°，BC=6，那么ACD的面積是（）ABC2D 【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形【專題】計算題【分析】如圖，過點A作AEBC

19、于E，過點D作DFBC于F構建矩形AEFD和直角三角形，通過含30度角的直角三角形的性質求得AE的長度，然后由三角形的面積公式進行解答即可【解答】解：如圖，過點A作AEBC于E，過點D作DFBC于F設AB=AD=x又ADBC，四邊形AEFD是矩形，AD=EF=x在RtABE中，ABC=60°，則BAE=30°，BE=AB=x，DF=AE=x，在RtCDF中，FCD=30°，則CF=DFcot30°=x又BC=6，BE+EF+CF=6，即x+x+x=6，解得 x=2ACD的面積是： ADDF=x×x=×22=，故選：A【點評】本題考查了

20、勾股定理，三角形的面積以及含30度角的直角三角形解題的難點是作出輔助線，構建矩形和直角三角形，目的是求得ADC的底邊AD以及該邊上的高線DF的長度二、填空題（共15小題）14如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（6，0）、（0，8）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x正半軸于點C，則點C的坐標為（4，0）【考點】勾股定理；坐標與圖形性質【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，進而得到AC的長，因為OC=ACAO，所以OC求出，繼而求出點C的坐標【解答】解：點A，B的坐標分別為（6，0）、（0，8），AO=6，BO=8，AB=10，以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，AB=AC=10，O

21、C=ACAO=4，交x正半軸于點C，點C的坐標為（4，0），故答案為：（4，0）【點評】本題考查了勾股定理的運用、圓的半徑處處相等的性質以及坐標與圖形性質，解題的關鍵是利用勾股定理求出AB的長15在RtABC中，CA=CB，AB=9，點D在BC邊上，連接AD，若tanCAD=，則BD的長為6【考點】勾股定理；等腰直角三角形；銳角三角函數的定義【分析】根據等腰直角三角形的性質可求AC，BC的長，在RtACD中，根據銳角三角函數的定義可求CD的長，BD=BCCD，代入數據計算即可求解【解答】解：如圖，在RtABC中，CA=CB，AB=9，CA2+CB2=AB2，CA=CB=9，在RtACD中，ta

22、nCAD=，CD=3，BD=BCCD=93=6故答案為：6【點評】綜合考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，銳角三角函數的定義，線段的和差關系，難度不大16我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖（1）圖（2）由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3若正方形EFGH的邊長為2，則S1+S2+S3=12【考點】勾股定理的證明【分析】根據八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根據S1=（CG+DG）2，

23、S2=GF2，S3=（KFNF）2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12【解答】解：八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，CG=KG，CF=DG=KF，S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CGDG=GF2+2CGDG，S2=GF2，S3=（KFNF）2=KF2+NF22KFNF，S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+KF2+NF22KFNF=3GF2=12，故答案是：12【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質，根據已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解題的難點17如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG

24、、CDF和DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形如果AB=10，EF=2，那么AH等于6【考點】勾股定理的證明【分析】根據面積的差得出a+b的值，再利用ab=2，解得a，b的值代入即可【解答】解：AB=10，EF=2，大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，四個直角三角形面積和為1004=96，設AE為a，DE為b，即4×ab=96，2ab=96，a2+b2=100，（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，a+b=14，ab=2，解得：a=8，b=6，AE=8，DE=6，AH=82=6故答案為：6【點評】此題考查勾股定理的證明，關鍵是應用

25、直角三角形中勾股定理的運用解得ab的值18如圖，在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AB=5，AD=4，則AE=3【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質【分析】根據等腰三角形的性質可知：兩腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的長【解答】解：在ABC中，CA=CB，ADBC，BEAC，AD=BE=4，AB=5，AE=3，故答案為：3【點評】本題考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的運用，題目比較簡單19如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2則最大的正方形E的面積是10【考點】勾股定理【分析】根據正方形的面積公式，結合勾股定理，能夠導出正方形A，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積【解答】解：根據勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10故答案是：10【點評】本題考查了勾股定理的應用能夠發現正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根