1、1 / 51.(10分)敘述數學建模的基本步驟，并簡要說明每一步的基本要求。(1模型準備：首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求， 收集各種必要的信息。(2模型假設：為了利用數學方法，通常要對問題做出必要的、 合理的假設，使問題的主要特征凸現出來，忽略問題的次要方面。(3模型構成：根據所做的假設以及事物之間的聯系，構造各種量之間的關系，把問題化為數學問題，注意要盡量采用簡單的 數學工具。4)模型求解： 利用已知的數學方法來求解上一步所得到的數 學問題，此時往往還要作出進一步的簡化或假設。(5)模型分析：對所得到的解答進行分析， 特別要注意當數據 變化時所得結果是否穩定。(6)模型檢驗：分析所

2、得結果的實際意義， 與實際情況進行比 較，看是否符合實際，如果不夠理想，應該修改、補充假設，或重新建模，不斷完善。(7)模型應用：所建立的模型必須在實際應用中才能產生效 益，在應用中不斷改進和完善。2.(10分)試建立不允許缺貨的生產銷售存貯模型。 設生產速率為常數k，銷售速率為常數r,r k。在每個生產周期T內，開始一段時間(0t T。)邊生產邊銷售，后一段時間(T。t T)只銷售不生產，存貯量q(t)的變化如圖所示。設每次生產開工費為G，每件產品單位時間的存貯費為C2，以總費用最小為準 則確定最優周期T，并討論r k和r k的情況。C_ C2(k r)T單位時間總費用C(l)T 2k，使c

3、(T)達到最小的最優周期T*=2c1kT*=2lC2r(k r)。當r k時， ：c?r，相當于不考慮生產的情況； 當r k時，T*，因為產量被售量抵消，無法形成貯存量。2 / 53.(10分)設x(t)表示時刻t的人口，試解釋阻滯增長(Logistic) 模型dxxr(1 )xdtXmx(0) X。中涉及的所有變量、參數，并用盡可能簡潔的語言表述清楚 該模型的建模思想。t-時刻；x(t)t時刻的人口數量；r人口的固有增長率；Xm-自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量；X。-初始時刻的人口數量人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用。且阻滯作用隨人口數量

4、增加而變大，從而人口增長率r(x)是人口數量x(t)的的減函數。假設r(x)為x(t)的線性函數：r(x) r sx (r 0, s 0)其中，r稱為人口的固有增長率， 表示人口很少時(理論上是x 0) 的增長率。rs一當xXm時人口不再增長，即增長率Dm)0，代入有Xm，從而有Xr(x) r 1 -Xm根據Malthus人口模型，有主r(1 dxdtXmx(0) X04.(25分)已知8個城市v0, V，,v7之間有一個公路網(如3 / 5圖所示),每條公路為圖中的邊，邊上的權數表示通過該公路所需的時 間.(1)設你處在城市V。，那么從V0到其他各城市，應選擇什么路徑使所需的時間最短?各點的

5、父點如下:各點的最短路徑及最短路長分別為:v0:v0v1: v0fv2:v0fv2fv3:v0fv2fv3fv4:v0fv5:v0fv5fv6:v0fv2ffv3fv7:(2)最小生成樹如下圖:v0 v1v2v3 v4v5v6v7v0 v0v0v2 v3v0v5v3(1)V0到其它各點的最短路如下圖:V33*JVie3 v24 / 57. (10分)有12個蘋果，其中有一個與其它的11個不同，或者比它們輕，或者比它們重，試用沒有砝碼的天平稱量三次， 找出這個蘋果，并說明它的輕重情況。先把蘋果編號112把14和58放在天平兩邊:(1)兩邊持平：就在912中，再把9和10放在天平兩邊，再平就在11

6、或12中若9和10不平，則在9或10中；(2)兩邊不平：假設1234重5678輕貝V進行第二次稱量125和349;若平了就在678中且是輕的 再稱6與7即可；若125重349輕則在12中且是重的，再稱1與2即可；若125輕349重，則壞的是5。某家具廠生產桌子和椅子兩種家具，桌子售價50元/個，椅子銷售價格30元/個，生產桌子和椅子要求需要木工和油漆工兩 種工種。生產一個桌子需要木工4小時，油漆工2小時。生產一 個椅子需要木工3小時，油漆工1小時。該廠每個月可用木工工 時為120小時，油漆工工時為50小時。問該廠如何組織生產才 能使每月的銷售收入最大？(建立模型不計算)(10)解：(1)確定決策變量：x仁生產桌子的數量x2=生產椅子 的數量(2)確定目標函數：家具廠的目標是銷售收入最大max z=50 x1+30 x2(3)確定約束條件：4x1+3x250(油漆工工時限制)(4)建立的數學模型為:max S=50 x1+30 x25 / 5s.t. 4x1+3x250 x1, x2 0人育四TTA 墓井別指派他們完曲四頂開同的工作.毎人做各頂工作所清耗的時間如下表所示間應 知呵指汎工作.才能使總的銷耗時閭為最少7(建立膜型不計算)(1Q1)3合_-Q指尿離f人完或有項工作樸爺補不巒i淤鮒項工作j = n frill Z = 15XT+18r. + 21r, + 2