1、倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的建模及matlab仿真 課題名稱：倒立擺狀態(tài)反饋系統(tǒng)的建模及matlab仿真學(xué)生姓名： 謝凱 學(xué) 號(hào)：班 級(jí)：電氣工程及其自動(dòng)化班 指導(dǎo)老師：高金鳳 年月日倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。通過對(duì)倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時(shí)，其控制方法在軍工、 航天、機(jī)器人和一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控

2、制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。故其研究意義廣泛。一、 倒立擺系統(tǒng)的建模1. 系統(tǒng)的物理模型如圖1所示，在慣性參考系下，設(shè)小車的質(zhì)量為M，擺桿的質(zhì)量為m，擺桿長(zhǎng)度為l，在某一瞬間時(shí)刻擺角（即擺桿與豎直線的夾角）為，作用在小車上的水平控制力為f。這樣，整個(gè)倒立擺系統(tǒng)就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。 圖 一級(jí)倒立擺物理模型圖擺桿隔離受力圖2. 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中,本文首先假設(shè): (1)擺桿為剛體;(2)忽略擺桿與支點(diǎn)之間的摩擦;(3)忽略小車與導(dǎo)軌之間的摩擦。然后根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律,求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為: (1) (2)方程（1），（2）是非線性方程，由于控制的目的是保

3、持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假定很小，接近于零是合理的。則，.在以上假設(shè)條件下，對(duì)方程線性化處理后，得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如下： （3） (4)3. 系統(tǒng)的狀態(tài)方程以擺角,角速度,小車的位移x ,速度x為狀態(tài)變量,輸出為y。即令: 則一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ；。即二、 控制器設(shè)計(jì)及matlab仿真1. 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的基本原理單級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)?shù)沽[出現(xiàn)偏角后，若不給小車施加控制力，倒立擺會(huì)向左或向右傾倒。所以本文采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)控制器的目的都是通過調(diào)節(jié)水平力的大小來控制小車的運(yùn)動(dòng)，使倒立擺處于平衡位置。極點(diǎn)配置的方法就是通過一個(gè)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩

4、陣的狀態(tài)反饋方法,將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意期望的位置。考慮控制系統(tǒng): （5）其中x是狀態(tài)向量（n維向量），u是控制信號(hào)（純量），選取控制信號(hào)為： (6)這樣控制信號(hào)是由瞬時(shí)狀態(tài)確定,此方法稱為極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋法。圖2為具有的閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖2 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)將式(6)代入式(5)得: ,該方程的解為:式中是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣的特征決定。如果矩陣選取適當(dāng),則可使矩陣構(gòu)成1個(gè)漸近穩(wěn)定矩陣,并且對(duì)所有的 ,當(dāng)t趨于無窮時(shí),都可使趨于0。稱矩陣的特征值為調(diào)節(jié)器極點(diǎn)。如果這些調(diào)節(jié)器極點(diǎn)均位于s的左半平面內(nèi),則當(dāng)t趨于無窮時(shí), 趨于0。將閉環(huán)極點(diǎn)配置到所期望

5、的位置,稱為極點(diǎn)配置問題。因而極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)最主要就是值的計(jì)算。2. 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。控制器的目的是使倒立擺系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定,即保持倒立擺在垂直的位置,使小車在外力作用下其位移以較小的誤差跟隨輸入的變化。由于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)主要是由他的極點(diǎn)位置決定的,同時(shí)容易證明一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)能控而且能觀的系統(tǒng)。因此本文通過極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器來使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。狀態(tài)反饋控制方程為：，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：。選取所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置：1,2,3,4。根據(jù)如下matlab程序可求得狀態(tài)反饋增益K (假設(shè)小車的質(zhì)量為3 kg ,擺桿的質(zhì)量為0. 1 kg ,

6、擺桿的長(zhǎng)度為0. 5 m) ,程序如下:M = 3 ；m = 0.1 ；l = 0.5；g =9.81；A21 = (M + m) / M/ l*g；A41 = - m/ M*g ；B21 = - 1/ M/ l ；B41 = 1/ M ；A = 0 1 0 0 ；A21 0 0 0 ；0 0 0 1 ；A41 0 0 0 ；B = 0 ；B21 ；0 ；B41 ；C = 1 0 0 0 ；0 1 0 0 ；0 0 1 0 ；0 0 0 1 ；D = 0 ；M = B A*B A2*B A3*B ；J = u1 0 0 0 ；0 u2 0 0 ；0 0 u3 0 ；0 0 0 u4 ；jj =

7、 poly (J )；Phi = polyvalm (poly (J ) ,A) ；K = 0 0 0 1 *(inv (M) )* Phi ；求得:A = 0 1 0 0 ；20.4048 0 0 0 ；0 0 0 1 ； - 0.3924 0 0 0 B= 0 ； - 0.6667 ；0 ；0.3333 C = 1 0 0 0 ；0 1 0 0 ；0 0 1 0 ；0 0 0 1 D = 03. MATLAB仿真MATLAB軟件是目前國(guó)際上最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì)算軟件,具有高級(jí)的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力,可以如上編寫MATLAB程序計(jì)算倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益K ;同時(shí)還具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)

8、系統(tǒng)的分析和仿真能力。以下是用MATLAB軟件中Simulink工具箱來設(shè)計(jì)仿真一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。應(yīng)用MATLAB中的Simulink設(shè)計(jì)用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示。圖中State - Space模塊填入了上面程序計(jì)算所得的A , B , C , D值。然后用1個(gè)Bus Selecto r輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度4個(gè)量,之后用4個(gè)Gain(分別輸出參數(shù)K ( 1) K ( 2) K ( 3) K ( 4) )和1個(gè)Sum構(gòu)成狀態(tài)反饋,同時(shí)用示波器輸出轉(zhuǎn)角、角速度、位移和速度4個(gè)量。輸出結(jié)果如圖4所示。圖3 用極點(diǎn)配置控制的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真模型上述狀態(tài)反饋可以使處于

9、任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài),即所有的狀態(tài)變量都可以穩(wěn)定在零狀態(tài)。這就意味著即使在初始狀態(tài)或因存在外界干擾時(shí),擺桿稍有傾斜或小車偏離基準(zhǔn)位置導(dǎo)軌中心,依靠該狀態(tài)反饋控制也可以使擺桿垂直豎立,并使小車保持在基準(zhǔn)位置。相對(duì)平衡狀態(tài)的偏移,得到迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的位置。一般來說,將指定的特征根配置在原點(diǎn)的左側(cè),離原點(diǎn)越遠(yuǎn),控制動(dòng)作就越迅速,但相應(yīng)地需要更大的控制力和快速的靈敏度。圖4a和圖4b分別是配置極點(diǎn)為: u1 = - 2 - j23 , u2 = - 2 + j2 3 , u3 = - 10 , u4 = - 10和u1 = - 1- j 3 , u2 = - 1 + j

10、 3 , u3 = - 10 , v4 = - 10 (其中u1 ,u2是主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn))一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的仿真結(jié)果圖:圖4a圖4b從圖4a和圖4b比較可知,配置極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn),雖然需要相對(duì)大的控制力,但是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越短,即控制動(dòng)作就越迅速,靈敏度高。比較兩圖可知,配置極點(diǎn)為: u1 = - 2 - j2 3 ,u2 = - 2 + j2 3 , u3 = - 10 , u4 = - 10的仿真圖,倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能較好。系統(tǒng)大約在2 s內(nèi)即可達(dá)到穩(wěn)定,過渡過程時(shí)間較短,超調(diào)量也不大,各控制量的大小都比較合理。三、 總結(jié)和心得本文以倒立擺為研究對(duì)象,討論了將極點(diǎn)配置在期望的區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)

11、反饋控制方法。從仿真結(jié)果可以看出,該方法可以保證系統(tǒng)具有一定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能,不僅滿足閉環(huán)系統(tǒng)的內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性要求,也兼顧了抑制外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響。由此可知,極點(diǎn)配置控制方法可以實(shí)現(xiàn)擺桿的倒立平衡控制。另外，熟悉了對(duì)MATLAB軟件的操作參考文獻(xiàn)1 曾志新，鄒海明，李偉光等.倒立擺的建模及MATLAB仿真 J .新技術(shù)新工藝, 2005, 10: 16218.2 陶文華.單級(jí)旋轉(zhuǎn)倒立擺的控制方法研究 C . Proceedings of the 25 st Chinese Control Conference, 2006, 8: 6162619.3 劉衛(wèi)國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用 M .北京：高等教育出版社，2002.4 王樅.控制系統(tǒng)理論及應(yīng)用.北京：北京郵電大學(xué)出版社，20055 謝克明.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ).北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，20006 固高科技（深圳）有限公司，中國(guó)科技大學(xué).固高擺系統(tǒng)與自動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，2002.7 夏德黔.自動(dòng)控制理論（第二版）.北京：