1、數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)芻議以點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)為例江蘇省如皋第一職業(yè)高級(jí)中學(xué) 馮志剛目前，江蘇省正在實(shí)施素質(zhì)教育333工程，突出“三育”（德育、體育、美育），抓好“三會(huì)”（會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)勞動(dòng)、會(huì)創(chuàng)造），落實(shí)“三定”（落實(shí)課堂計(jì)劃的規(guī)定、學(xué)生在校時(shí)間和作業(yè)的規(guī)定、考試評(píng)價(jià)的規(guī)定）。這些具體要求是我們實(shí)施素質(zhì)教育的一個(gè)抓手，在推進(jìn)素質(zhì)教育的過(guò)程中，我們教育工作者如何與時(shí)俱進(jìn)，遵循教學(xué)規(guī)律，實(shí)施有效教學(xué)，是我們大家共同思考的問(wèn)題。在此，僅作一些淺顯的探究。一、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀念上求突破課堂教學(xué)是教與學(xué)的統(tǒng)一體。一切教學(xué)活動(dòng)都圍繞以學(xué)生為中心，教師不再是教學(xué)的主宰者，評(píng)判者，而應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和促進(jìn)者，改

2、變過(guò)去傳統(tǒng)的以教師為中心，注入式滿(mǎn)堂灌的教學(xué)方式。教師應(yīng)樹(shù)立四種意識(shí)：1、師生平等和諧意識(shí)：在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)富有激情、面向全體，以絕大多數(shù)同學(xué)掌握為前提。2、課堂互動(dòng)交流意識(shí)：改變過(guò)去教師一言堂模式，讓學(xué)生自主、參與、探究、合作，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成教學(xué)。3、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的意識(shí)：培養(yǎng)學(xué)生如何進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，課上認(rèn)真聽(tīng)講，課后認(rèn)真復(fù)習(xí)鞏固。培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的良好思維習(xí)慣。4、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)：學(xué)會(huì)會(huì)一題，解一類(lèi)，通一片的能力，并逐步培養(yǎng)學(xué)生自己能夠編題出題。二、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常規(guī)管理上求突破從某種意義上說(shuō)，課堂教學(xué)管理比課堂教學(xué)更重要。日常課堂教學(xué)中應(yīng)注重1-6工程：1、“一個(gè)中

3、心”，以提高課堂教學(xué)質(zhì)量為中心；2、“兩個(gè)五分鐘”，即教師連續(xù)授課時(shí)間不能超過(guò)五分鐘，也就是每隔五分鐘教師要引導(dǎo)學(xué)生參與課堂教學(xué)一次；每節(jié)課的最后五分鐘教師留給學(xué)生，讓學(xué)生自己去思考總結(jié)，每堂課上讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，站起來(lái)，主動(dòng)參與課堂；3、“三個(gè)按時(shí)”，任課老師按時(shí)上課，按時(shí)到班輔導(dǎo)，按時(shí)布置適量作業(yè)；4、“四講”，為了減少差課，消滅廢課，做到有效教學(xué)，必須：講質(zhì)量，注重知識(shí)、能力、情感目標(biāo)各方面的落實(shí)；講效率，單位時(shí)間內(nèi)以最小的投入換取最大產(chǎn)出；講規(guī)范，規(guī)范執(zhí)行數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃，遵循教學(xué)規(guī)律；講創(chuàng)新，改變過(guò)去傳統(tǒng)教學(xué)結(jié)構(gòu)和課堂教學(xué)模式，花大力氣實(shí)現(xiàn)“四大轉(zhuǎn)變”：內(nèi)容呈現(xiàn)方式、教師操作方式、學(xué)生學(xué)習(xí)方

4、式、師生互動(dòng)方式等方面都要有質(zhì)的轉(zhuǎn)變，體現(xiàn)課改精神；5、“五讓”，每堂課要求做到：讓學(xué)生自己觀察，讓學(xué)生自己思考，讓學(xué)生自己表述，讓學(xué)生自己動(dòng)手，讓學(xué)生自己得出結(jié)論；6、“六環(huán)節(jié)”教師要抓好備、講、批、輔、考、評(píng)等六個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)重視，充分發(fā)揮每個(gè)環(huán)節(jié)效率的最大化。三、在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益上求突破學(xué)業(yè)成績(jī)的高低，課堂是主陣地，效率是關(guān)鍵。教師在教學(xué)過(guò)程中要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。課堂要盡可能多地為學(xué)生提供獨(dú)立活動(dòng)的機(jī)會(huì)、時(shí)間和空間，教師活動(dòng)可適度控制。教師在教學(xué)過(guò)程中要尊重學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。如高三數(shù)學(xué)點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)思維策略，同學(xué)通

5、過(guò)對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，歸納出如下幾種推導(dǎo)方法： y P L1 Qx圖1 O L點(diǎn)到直線的距離定義：（如圖1）過(guò)點(diǎn)P向L引垂線L1，得到垂點(diǎn)Q，所得點(diǎn)P到直線L的距離。就是PQ的長(zhǎng)度，這也是點(diǎn)P與L上點(diǎn)的最小距離。已知點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程如何推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離呢？方法一、利用等積法求兩點(diǎn)距離已知點(diǎn)P（X0 Y0）和直線L：AX+BY+C=0 P點(diǎn)不在直線L上， A0 B0 ，求點(diǎn)P到直線L的距離。分析：如圖（2）在RtPTS中StPTS= y T P(x0,y0) Q x 圖2 S解：過(guò)P作平行于X軸的直線交L于T則T（x,y0） Ax+By0+C=0 x= 所以 過(guò)P作平行y軸的直線交L于S

6、則S（xo , y） Ax0+By+C=0 y=所以|PS|=|yo-y |=| yo- |=| y P L1 Q x 圖3 0 評(píng)注：利用等積法解題，在解析幾何中應(yīng)用比較廣泛，是我們解題中重要方法之一。方法二、利用解交點(diǎn)計(jì)算兩點(diǎn)距離。已知點(diǎn)P（x0,y0）和直線L：AX+BY+C=0 （P點(diǎn)不在直線L上A0 B0），求點(diǎn)P到直線L的距離d。分析：如圖（3）已知L的方程和點(diǎn)P的坐標(biāo)，那么寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P垂直于L的直線L1的方程，求L L1交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求PQ兩點(diǎn)距離。解：過(guò)P作L1垂直于L垂足為QLL1 L1的方向向量是（A，B）于是L1的方程是解 AX0+By+C=0 BX-Ay-Bx0+Ay0

7、=0x=所以： PQ2=化簡(jiǎn)方程得 評(píng)注：利用作垂線求這交點(diǎn)再利用兩點(diǎn)求距離是我們最常規(guī)思想，重點(diǎn)在作垂線求交點(diǎn)，難點(diǎn)是計(jì)算交點(diǎn)的坐標(biāo)，求兩點(diǎn)距離。 方法三、利用向量法求點(diǎn)到直線的距離已知點(diǎn)P0(x0 y0)和直線L：Ax+By+C=0 求點(diǎn)P(x0 y0)到直線L的距離。求點(diǎn)P（x0 y0）到直線L的距離d，就是向量在直線法向量方向上的投影的長(zhǎng)度。 P（x0,y0） y Q x P(x,y) 圖 4解：如圖（4）設(shè)P(x0 y0)是直線L上任一點(diǎn)P0（x0,y0）到直線L的距離為d。就是向量至直線法向量方向的投影長(zhǎng)度。直線L的法向量為=(A B)取的單位向量由內(nèi)積運(yùn)算的幾何意義。P(x,y)交直線L上一點(diǎn)Ax+By+C=0 C=-(Ax+By)d=評(píng)注：解題關(guān)鍵是分析發(fā)現(xiàn)點(diǎn)到直線的距離，就是直線上任意一點(diǎn)和P0的聯(lián)線，在直線法向量上的投影，利用向量?jī)?nèi)積公式變形來(lái)求解！通過(guò)以上的教學(xué)案例可以看出，盡管點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，但通過(guò)學(xué)生自主探究不僅得出了推導(dǎo)的方法，而且對(duì)高中向量?jī)?nèi)積、數(shù)形結(jié)合、等積法、解方程的思想和方法能得到應(yīng)用和深化。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師要善