1、精選優質文檔-傾情為你奉上幫助學生建立起線、面、體三維的概念長度、面積、體積概念的結構教學初探作者:華東師范大學教育學系 吳亞萍 有關空間與圖形部分的知識是小學數學知識主干的重要組成部分。這部分知識是人們認識現實世界中物體的形狀、大小和空間位置關系，以及解決現實世界中的具體問題的重要工具。 我們可以從數學知識的縱向聯系和變化發展的角度，將空間與圖形部分的知識劃分為三個分支(見下頁表1)。第一個分支是圖形認識與論證部分，主要包括一個圖形的初步認識、一個圖形的要素認識、一個圖形的性質研究、兩個圖形的關系研究。第二個分支是圖形測量與計算部分，主要包括一維的長度的認識、測量工具和度量單位，以及平面圖形

2、周長的計算；二維的面積的認識、測量工具和度量單位，以及平面圖形面積的計算；三維的體積的認識、測量工具和度量單位，以及物體表面積和體積的計算，還有數形結合問題的計算等。第三個分支是圖形位置與變換部分，包括位置不變的認識(位置、方向、坐標)和位置變化的認識(圖形的三種變換：平移、旋轉和對稱)。從每個知識分支的縱向關系來看，體現了圖形認識從外 部到內部，圖形研究從內部性質到外部關系，圖形測量從一維的線段長度到二維的面積再到三維的體積，圖形運動從位置不變到變化的發展過程(見表1)。從知識分支之間的橫向關系來看，圖形認識與論證部分是對物體的形狀進行特征認識和性質研究的問題；圖形測量與計算部分是對物體的大

3、小進行比較測量和計算的問題；圖形位置與變換則是對物體的空間位置進行關系探究的問題，各分支之間既是相互聯系的又是相對獨立的，分別承擔著不同的研究任務。表1 空間與圖形知識結構關系在“空間與圖形”的知識中，長度、面積和體積是一組最為基本的從一維到二維再到三維的度量概念。因此，在九年義務教育階段的小學數學教學中，如何幫助學生建構起清晰的三維空間觀念，是我們必須思考且需作出回答的問題。為此，我們首先需要對以往線段長度、面積，體積的概念教學進行反思；其次是要重新認識線段長度、面積、體積概念教學的育人價值；最后要在開發教材育人資源的基礎上對線段長度、面積和體積概念教學進行整體的規劃與設計。一、長度、面積、

4、體積概念教學存在的問題長度、面積和體積是空間與圖形知識中一組最為基本的從一維到二維再到三維的度量概念。由于小學數學教材一般將長度、面積和體積分別編排在小學不同的年級進行教學，許多教師意識不到這些分布在不同年級的內容是有內在聯系的，自然也就不會關注怎樣在教學中溝通和揭示這些概念之間的區別與聯系，學生因而也不容易在這樣的教學中建立起由一維到三維的空間觀念。由于教師已然習慣于局限在知識點里的思考和備課，在教學中就容易表現出以下方面的問題：第一，教師容易關注知識點的教學，卻忽視了知識之間的內在聯系。教師常常既不注意在長度的概念教學中進行思想方法的滲透和揭示；也不注意在面積的概念教學中與長度概念進行差異

5、比較和內在思想方法的溝通；更不注意在體積的概念教學中進行一維的長度概念、二維的面積概念和三維的體積概念之間的差異比較和縱向發展脈絡上的梳理。這種局限于知識點的割裂式的教學，容易使學生對這些概念形成點狀的和表淺的認識，很難使學生在整體上建構起三維的空間觀念。如果說概念認識的本身尚且如此，就更不用說概念教學過程中的育人價值的開發和實現了。第二，教師容易關注知識的結果運用，忽視知識形成過程中的育人資源開發。即使是在具體的一節課的教學中，許多教師也只是把教學的重心放在如何認識度量單位和準確使用度量工具上面，忽視度量工具的發明和度量單位的形成過程對于學生成長的重要價值。以長度概念的教學為例，教師在教學中

6、一般會注意以下幾方面的問題：首先，教師會關注學生對度量單位建立感性體驗，如1厘米相當于人的指甲的長度，1米相當于一個一年級學生的身高，等等；其次，教師十分關注學生對度量工具使用的準確性，如學生是否使直尺的零刻度線與度量對象的起始點對齊，是否使直尺與度量對象重合(點對點，線對線)，等等；第三，教師會關注學生對度量單位使用的合理性，如度量鉛筆盒的長度、書的長度可以選擇厘米做單位，度量學生的身高、黑板的長度可以選擇米做單位，等等。諸如此類，從學生對于度量單位認識和度量工具使用的角度來說，該注意的教師似乎都注意到了，但恰恰忽視了教學過程中；最重要的育人資源的開發，即前人在形成度量工具和度量單位過程中的

7、智慧。 二、長度、面積、體積概念教學的育人價值長度、面積、體積概念教學的育人價值至少可以從兩個方面來加以關注，一是從知識之間整體的內在聯系中開發育人的資源，二是從知識形成過程中開發育人的資源。 1知識結構關系的梳理對于學生認識概念的價值長度、面積和體積三者之間有著密切的內在結構關系。它們的內在關系至少表現在以下兩個方面：首先，長度、面積和體積在要素構成上具有邏輯關系。幾何形體構成的基本要素是點、線和面，其中，無數個點累積而成了線(從這個意義上長度也可以稱為線積)；無數條線累積而成了面(因此而稱為面積)；無數個面累積而成了體(因此而稱為體積)。因此，點、線、面和體中的前者分別依次是后者的構成要素

8、，而后者又分別是在前者基礎上的形成和拓展。其次，長度、面積、體積在概念內涵和思想方法上既有區別又有聯系。在概念內涵的語言表述方面，它們是有差異的。“長度”是一維的概念，表示物體或線段長短的程度；“面積”是二維酌概念，表示物體表面或平面圖形的大小；“體積”是三維的概念，表示物體所占空間的大小。在度量和比較的思想方法上它們又表現出共同的特征。線段之間可以進行長短比較，平面圖形之間可以進行大小比較，物體之間可以進行所占空間大小的比較。因此，它們各自有直接比較和間接比較的方法。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助中介物體或工具，等等。在此基礎上，又形成了以二維的度量工具和單位為基礎的三

9、維空間的度量單位體系(見表2)。的概念，表示物體所占空間的大小。在度量和比較的思想方法上它們又表現出共同的特征。線段之間可以進行長短比較，平面圖形之間可以進行大小比較，物體之間可以進行所占空間大小的比較。因此，它們各自有直接比較和間接比較的方法。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助中介物體或工具，等等。在此基礎上，又形成了以二維的度量工具和單位為基礎的三維空間的度量單位體系(見表2)。長度面積體積概念的內涵線段長短程度平面圖形面積大小物體占有空間大小直接比較觀察法重疊法（點對齊，重疊一條邊）觀察法重疊法（重疊兩個方向的邊）觀察法重疊法（重疊三個方向的邊）間接比較借助物體的一條邊

10、借助物體的一個面借助一個物體度量工具單位是1厘米的尺單位是1平方厘米的正方形紙單位是1立方厘米的正方體度量單位毫米、厘米、分米、米、千米平方厘米、平方分米、平方米、平方千米立方厘米、立方分米、立方米、立方千米表2 長度、面積和體積之間的區別和聯系因此，如果教師能夠認識到這些知識之間的內在結構關系，努力在教學中梳理和溝通這些概念之間的區別與聯系，那么就有可能開發和實現教學對于學生認識這些概念的價值，幫助學生對這些概念形成既清晰又豐富的認識，從而使學生建構起正確的三維空間觀念。2度量工具和單位的形成過程對于學生發展思維的價值 長度、面積、體積的度量工具和單位的產生是人類祖先的偉大發明，也是前人智慧

11、的集中體現，我們需要開發這些知識形成過程中的育人資源和價值。這里以長度的度量工具和單位的產生過程為例來說明。 首先，度量單位的產生基于現實生活的需要。它產生于在兩個物體的長度不能直接進行比較的情況下，需要借助于作為中介的第三個物體長度進行間接比較的過程之中。在間接比較的過程中，由于各人所采用的中介物的長度不一樣，導致比較的標準和結果不一致，這樣就帶來間接比較的困難，于是需要統一比較的標準，度量的基本單位也就在約定俗成的過程中逐漸形成。其次，度量單位的使用具有地域流通性的特征。度量單位是一個約定俗成的概念，不同的地域內流通著各自不同的度量單位。我國度量長度的標準是“市制”單位，基本的度量單位有l

12、尺、1寸、l里等；英國度量長度的標準是“英制”單位，基本的度量單位有1英尺、1英寸、1英里等。由此又形成了不同地域之間度量長度的換算標準，如l英寸=2.54厘米=0.762寸。由于換算的麻煩，又產生了國際上通用的度量長度的統一標準“公制”單位，其基本的度量單位有1厘米、1米、1千米，等等。第三，度量工具的多樣性與適用性體現了人類創造的智慧。由于現實生活需要的豐富多樣，人們創造發明了各式各樣的度量工具。例如，度量線段長度的工具有學生作為學習用品的以厘米為單位的塑料直尺，商店營業員用來度量商品長度的以米為單位的木制米尺，裁縫師傅用來量體裁衣的塑料軟尺，建筑工人用來度量地基長度的鋼卷尺，等等。盡管這

13、些度量工具的度量對象、材料性質各不相同，但它們都具有度量長度的功能。這些度量工具的開發充分體現了前人的智慧?？偠灾?，長度、面積和體積的概念對于學生來說不僅是遙遠的歷史，更是抽象的概念；不僅是遠離學生的，更是外在于學生的。它們是前人生命實踐的成果和經驗的結晶，已然成為符號化的書本知識。如果我們只是關注到了這些表面的符號化的知識，就會僅僅關注知識的傳遞價值，容易把學生當作是為接受這些知識而存在的，也就容易忽視知識形成過程中的資源開發，教學也就難以體現其促進學生成長發展的價值。 因此，我們需要透過符號化知識的表面，對其背后的過程形態的知識加以關注。這樣，我們就會發現，無論是度量比較過程中的標準統一

14、，還是三維空間的度量單位體系的形成，甚至是適應現實生活需要的各種度量工具的發明，它們無一不體現了前人生命實踐活動過程中的智慧。如果在教學中能夠使學生經歷這樣的生命實踐活動的過程，教學就有可能使這些固化了的知識得到活化。在這個過程中，學生不僅能夠認識和體會到比較過程中標準統一的必要性，而且還能夠了解從一維到二維再到三維的度量工具和單位體系的形成過程。更為重要的是，學生在經歷生命實踐活動的過程中可以實現自身的再創造。從這個意義上可以說，這是一種習得和形成智慧的教學，唯有這樣的教學才能夠體現促進學生成長發展的價值。 三、長度、面積、體積概念的結構教學設計 在上述認識和思考的基礎上，我們需要努力把這些

15、認識轉化為實踐行為，需要對這些度量概念的教學做出整體的規劃和具體的設計。 就整個教學長段而言，由于長度、面積、體積概念具有內在緊密聯系的知識結構，尤其是在度量比較過程中具有類同的思想方法，而且，三維空間的度量工具和單位體系又是在一維度量工具和單位體系的基礎上建立起來的，因此，我們可以采用“長程兩段”的教學策略，把長度概念和面積概念的教學作為“教結構”階段，體積概念教學則是“用結構”階段。這里的“教結構”是要引導學生把握度量概念的教學過程與學習方法，即度量概念、度量方法(直接比較和間接比較的方法)、度量工具、度量單位。一年級的長度概念教學，自然是要承擔起奠基性的作用。盡管一年級學生感悟結構的能力

16、還比較弱，但教師還是要注意在概念內涵的表述、比較的思想方法、度量標準的統一以及度量工具和單位的形成等方面進行結構性的滲透，并注意在教學的總結環節對長度概念的教學過程與學習方法進行結構性的提煉。 三年級的面積概念教學，教師一方面要引導學生對上述教學過程與學習方法結構進行回憶，另一方面還可將長度概念、比較方法、度量工具和度量單位板書在黑板上，以引導學生類比長度概念的教學過程來進行面積概念的學習。不僅如此，教師還要注意在上述這些方面不斷地與長度概念進行多種方式和多層次的溝通與比較。在教學的總結環節，教師應引導學生自覺地對面積概念的教學過程與學習方法進行總結，而不要出現教師包辦替代學生思考的現象。唯有

17、如此，才有可能為體積概念的教學奠定教學過程與學習方法結構的基礎。因此，面積概念的教學要承擔起凸顯結構的重任和承上啟下 的作用。從這個意義上可以說，面積概念的教學在整個教學長段中具有舉足輕重的地位，它將會對學生三維空間概念的建構產生直接影響。五年級的體積概念教學，既要注意引導學生回憶長度概念、面積概念的教學過程與學習方法結構，又要注意為學生主動地類比遷移提供機會和時間空間的保證；也要注意引導學生將體積概念與長度概念、面積概念進行多種方式和多層次的溝通與比較；還要注意引導學生主動自覺地對長度、面積和體積概念進行系統性的梳理、比較和溝通，幫助學生形成從一維的線段度量到二維的面積度量再到三維的體積度量

18、的整體認識，促進學生形成結構化的認知和思維方式。就具體的一節課的教學而言，為了幫助學生經歷概念的形成過程，經歷度量工具產生和度量單位建立的過程，長度、面積、體積概念的教學應該有基本相同的教學過程設計。基本的教學過程結構主要由三個教學環節組成：一是度量概念的形成，二是度量方法的比較，三是度量單位的形成。其中度量概念形成的環節是教學的基礎部分，度量單位形成的環節則是教學的核心部分，而度量方法比較的環節一方面是為了進一步清晰和強化前一環節形成的概念，另一方面是為后一環節中的間接比較的標準統一作好方法上的鋪墊，因此，度量方法比較的環節在教學中只是起承上啟下的銜接和過渡作用，它不是度量概念教學的核心任務

19、，不能停留在為方法而方法的教學上。在這里，主要對第一環節和第三環節的設計作具體說明。在度量概念形成環節的教學中，教師要注意改變以往直接向學生呈現概念、讓學生記憶概念和運用概念的教學方式。例如，在面積概念教學中，有的教師會先讓學生摸摸課桌的表面，然后就給出定義：物體某個面的大小叫做面積。接著再讓學生通過觀察平面圖形將定義補充完整，即物體的一個面或平面圖形的大小叫做面積。三言兩語就把面積概念“搞定”了。由于學生對抽象的面積概念缺乏認識的感性支撐，再加上長度概念中的“長短”在學生頭腦中的先人為主，所以學生在面積概念運用中常常會出現用“長短”來表示面積、甚至是“長短”與“大小”不分和混用的現象。由此可

20、見，學生簡單記憶一個“長度”或“面積”的詞語容易，抽象背誦一個概念的定義也比較容易，但要真正理解概念的豐富內涵、形成對概念內涵的清晰認識卻不是那么容易的事。因此，教師要通過教學努力幫助學生經歷度量概念的抽象過程。具體地說，教師首先要引導學生在大量感性材料列舉的過程中進行充分的感知。以“面積”概念為例，一是感知“面”是怎么來的，其基本的要素構成是什么；二是感知物體或平面圖形的哪些部分是“面”，這些組成“面”的部分從測量的角度用什么詞語來表示比較恰當；三是感知“面”與“線段”的差異和聯系有哪些。學生通過對大量材料的充分感知，就可以對這些問題形成基本的認識，這些豐富的感知和認識將成為學生認識面積含義

21、的內涵支撐。其次，教師要引導學生對大量材料進行特征分析，從中提煉和抽取出共性的特征。盡管每個學生列舉的材料從表面上看不盡相同，但學生通過辨析比較就可以發現它們都有共同的本質屬 性存在。學生發現這個本質屬性并加以提煉和抽象的過程，實際上就是經歷概念的“材料歸納辨析比較提煉抽象”的形成過程。最后，教師再引導學生對反映大量材料的本質屬性進行定義或命名。說到底，學生形成概念的過程不僅要有大量豐富的材料作為概念認識的感性支撐，而且還要有概念形成過程的活動作為概念認識的實踐支撐。唯有如此，這些概念就不再是空洞的詞語或抽象的符號，而是學生在自己生命實踐活動的過程中生成和再創造的。在度量單位形成環節的教學中，

22、教師要通過教學努力幫助學生經歷度量標準的統一過程。具體地說，教師要注意創設情境，使學生在間接比較的過程中，經歷由于間接比較的中介物的各不相同而導致比較結果不一致的過程，從而引發矛盾沖突的產生，通過對矛盾產生的原因反思，學生就會產生統一度量標準的需要。其實，學生所在的班級也是一個小社會，班級內的各個小組自然是這個小社會的基本構成。因此，教師可以創設模擬大社會的情境，首先讓學生在各自的小組內建立“自制”的度量工具，體驗“自制”的度量單位的形成過程。其次讓各小組之間進行交流溝通，體驗“自制”的度量工具和單位在流通過程中的局限性，即“自制”的度量單位只是適用于自己的小組。最后引導學生通過討論約定來形成

23、班級范圍內“公制”的度量單位，體驗度量標準在班級范圍內的統一過程。在此基礎上，教師可以適時介紹我國的“市制”單位、英國的“英制”單位，以及世界各國通用的“公制”單位。為了幫助學生逐漸建立起從一維到二維再到三維的空間觀念，在保持教學過程基本一致的基礎上，教師還要注意通過多種溝通和比較的方式來靈活地凸顯長度、面積和體積三者之間的區別與聯系，努力幫助學生在溝通與比較中經歷認知結構的整合過程。這種溝通與比較至少可以從以下幾個方面來加以體現：一是概念內涵表述上的溝通與比較。即長度用“長短”表示，面積用“大小”表示，體積用“占有空間的大小”表示。二是度量方法上的溝通與比較。例如，在運用重疊法進行直接比較時

24、，不妨通過重疊過程中要點的強調，來凸顯一維的重疊與二維的重疊以及三維的重疊的差異。也就是說，在比較物體或線段的長短時，重疊過程中要注意一維方向的線重疊，即“點對齊、線重疊(邊對齊)”；在比較平面圖形面的大小時，重疊過程中要注意二維方向的線重疊，即“長重疊、寬重疊”；在比較物體所占空間的大小時，重疊過程要中注意三維方向的線重疊，即“左右的長重疊、前后的寬重疊、上下的高重疊”。又如，在借助中介物進行間接比較時，需要凸顯和強調借助中介物的什么部分進行比較。即在比較物體或線段的長短時，是借助中介物一條邊進行比較；在比較平面圖形面的大小時，是借助中介物的一個面進行比較；在比較物體所占空間的大小時，是借助

25、中介物的整個物體進行比較。 三是度量工具和單位上的溝通與比較。對于學生而言，度量長度的常用工具是以1厘米為單位的尺，度量面積的常用工具是以l平方厘米為單位的正方形格子紙，度量體積的常用工具是以1立方厘米為單位的正方體。教師在引導學生進行溝通與比較的同時，還可以借助對比式的板書設計來凸顯三維概念之間的區別與聯系，如表2所示。總之，通過這些有意識的溝通與比較，不僅可以使學生形成清晰的概念認識，而且還可以使學生建立起從一維的線到二維的面再到三維的體的整體認識，從而使學生形成結構化的認知和思維方式。下面以面積概念的教學設計為例，具體說明度量概念的教學過程設計(見附錄)。附錄：面積概念的教學設計課題：面

26、積教學和面積單位年級：三年級學校：江蘇常州第二實驗小學教師：馬美南教學目標：1、 初步理解面積所表示的含義；2、 知道平面圖形大小比較的方法，體驗比較標準統一的必要性；3、 在剪、摸、比等活動中感知1平方厘米的實際大小，會用平方厘米表示面積大小。教 學 過 程教學環節教師活動學生活動設計意圖課前熱身常規活動根據學生之間的交流板書長度概念、度量方法、工具和單位回憶比較線段長短的方法、長度單位為學生從一維類比遷移到二維做好準備一、面積概念的形成1、材料感知：無數個點積累成線段，線段用長短來表示，那么無數條線段積累成什么？用什么來表示？電腦演示積累過程。物體的一個面的部分用什么詞語來表示比較合適呢？

27、教師一邊觸摸物體的某個面，一邊說，這是粉筆盒前面部分，這個面的部分用長短來表示顯然是不合適的，我們用大小來表示一個面的部分，這是講臺上面部分的大小，你能這樣舉出一些物體來說明它某個面的大小嗎？如果把物體的一個面畫下來，我們可以得到一些平面圖形，三角形的這些部分是三角形的大小，梯形的這些部分是梯形的大小，你能舉出平面圖形大小的例子的嗎？2、聚類分析：所有列舉的物體或平面圖形有什么共同的地方？一個面的部分用“大小”表示。3、給出定義：物體一個平面或者平面圖形的大小叫做面積學生同桌互相舉例（教師一方面要注意捕捉學生舉例中的問題，另一方面注意打開學生舉例的思路）說一說：表示物體一個面的大小就是物體表面的面積。表示圖形的大小就是圖形的面積通過大量感性材料的列舉和觸摸活動，使學生充分感知一個面的部分，以及表示面的部分的合適詞語“大小”，學生的這些感知將成為他們認識面積含義的豐富內涵支撐。二、面積大小的比較方法類比遷移：怎樣比較平面圖形面積的大小呢?(1)提供學生可直接比