1、 線面垂直知識點1.直線和平面垂直定義如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.判定定理：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面.性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.3.三垂線定理和它的逆定理.三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條

2、斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面上的射影垂直.題型示例 【例1】 如圖所示，已知點S是平面ABC外一點，例1題圖ABC=90°，SA平面ABC，點A在直線SB和SC上的射影分別為點E、F，求證：EFSC.【解前點津】 用分析法尋找解決問題的途徑，假設EFSC成立，結合AFSC可推證SC平面AEF，這樣SCAE，結合AESB，可推證AE平面SBC，因此證明AE平面SBC是解決本題的關鍵環節.由題設SA平面ABC，ABC=90°，可以推證BCAE，結合AESB完成AE平面SBC的證明.【規范解答】【解后歸納】 題設中條件多，圖形復雜，結合題設理清圖形中基本元素之間的位置關系

3、是解決問題的關鍵.【例2】 已知：MN=AB,PQM于Q，PON于O，ORM于R，求證：QRAB.【解前點津】 由求證想判定，欲證線線垂直，方法有（1）ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂線定理及其逆定理.由已知想性質，知線面垂直，可推出線線垂直或線線平行.【解后歸納】 處于非常規位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應用問題，要抓住“一個面”、“四條線”.所謂“一個面”：就是要確定一個垂面，三條垂線共處于垂面之上.所謂“四條線”：就是垂線、斜線、射影以及平面內的第四條線，這四條線中垂線是關鍵的一條線，牽一發而動全身，應用時一般可按下面程序進行操作：確定垂面、抓準斜線、作出垂線、連結射影，尋

4、第四條線.【例3】 已知如圖(1)所示，矩形紙片AAA1A1,B、C、B1、C1 分別為AA,A1A的三等分點，將矩形紙片沿BB1,CC1折成如圖(2)形狀（正三棱柱），若面對角線AB1BC1，求證:A1CAB1.例3題圖解(1)【解前點津】 題設主要條件是AB1BC，而結論是AB1A1C，題設，題斷有對答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中點D1，就把異面直線AB1與BC1垂直關系轉換到ABB1A1同一平面內AB1與BD1垂直關系，這里要感謝三垂線逆定理.自然想到題斷AB1與A1C垂直用同法（對稱原理）轉換到同一平面，取AB中點D即可，只要證得A1D垂直于AB1，事實上DBD1A1

5、，為平行四邊形，解題路子清楚了.【解后歸納】 證線線垂直主要途徑是：（1）三垂線正逆定理，（2）線面，線線垂直互相轉化.利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作，在平面內完成作解任務.證線線垂直，線面垂直，常常利用線面垂直，線線垂直作為橋梁過渡過來，這種轉化思想有普遍意義，利用割補法把幾何圖形規范化便于應用定義定理和公式，也是不容忽視的常用方法.例4題圖【例4】 空間三條線段AB,BC,CD,ABBC,BCCD,已知AB=3,BC=4,CD=6,則AD的取值范圍是 .【解前點津】 如圖，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的長是AD的最小值,其中AHCD1,AH=BC=4,HD1=3,AD1=

6、5;在直角AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值為【解后歸納】 本題出題形式新穎、靈活性大，很多學生對此類題感到無從入手,其實冷靜分析，找出隱藏的條件很容易得出結論.對應訓練 分階提升一、基礎夯實1.設M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題： bM bM.其中正確的命題是 ( )A. B. C. D.2.下列命題中正確的是 ( )A.若一條直線垂直于一個平面內的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面B.若一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，則這條直線垂直于這個平面C.若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一

7、條直線必垂直于這個平面3.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體PDEF中，必有 ( )第3題圖A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.設a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )A.過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交B.過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直C.過a一定可以作一個平面與b垂直D.過a一定可以作一個平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l,m和m,那么必有 ( )

8、A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個平面與垂直； 異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直其中正確命題的個數為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結論是 ( )A.與必相交且交線md或m與d重合B.與必相交且交線md但m與d不重合C.與必相交且交線m與d一定不平行D.與不一定相交9.設l、m為直

9、線，為平面，且l，給出下列命題 若m，則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號是 ( )A. B. C. D.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )A.與 B.與 C.與 D.與二、思維激活第12題圖11.如圖所示，ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個頂點在平面的同側，它們在內的射影分別為A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，則ABC的面積是 . 第13題圖第11題圖12.如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當底面四邊形ABCD滿足條件

10、時,有A1CB1D1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐VABC中，當三條側棱VA、VB、VC之間滿足條件 時，有VCAB.(注：填上你認為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH側面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VCAB;(2)若二面角EABC的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如圖所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.第15題圖(1)求證：MN平面PAD.(2)求證：MNCD.(3)若PDA45°，求證：MN平

11、面PCD.16.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BAD60°，AB4，AD2，側棱PB，PD.(1)求證：BD平面PAD. (2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角PBCA的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中點，求證：AB1A1M 18.如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為a，M是AD的中點，N是BD上一點，且DNNB12，MC與BD交于P.(1)求證：NP平面ABCD. 第18題圖(2)求平面PNC與平面CCDD所成的角.(

12、3)求點C到平面DMB的距離.第4課 線面垂直習題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C 由線面垂直的性質定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 過a上任一點作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m且m,則必有,又因為l=則有l,而m則lm,故選A.6.D過P作PDAB于D，連CD，則CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性質知三個命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 設正三角

13、ABC的邊長為a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中當底面四邊形ABCD滿足條件ACBD(或任何能推導出這個條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時,有A1CB1D1(注:填上你認為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點評：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實質考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應靈活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)證明:H為VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE為斜

14、線AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC為二面角EABC的平面角，EDC=30°,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.VCD為VC與底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90°,故ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：(1)如圖所示，取PD的中點E，連結AE，EN，則有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE為平行四邊形.MNAE.第15題圖解AE平面PAD，M

15、N平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45°，E為PD的中點.AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB4，AD，BAD60°，第16題圖解故BD2AD2+AB2-2AD·ABcos60°4+16-2×2×4×12.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90°，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得

16、PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面ABCD所成的角.PDE60°，PEPDsin60°.作EFBC于F，連PF，則PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小為arctan.17.連結AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂線定理知AB1A1M. 點評：要證AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂線定理可轉化成證AC1A1M，而AC1A1M一定會成立18.(1)