1、隨機過程習題解答(一)第一講作業：1 、設隨機向量的兩個分量相互獨立，且均服從標準正態分布。(a)分別寫出隨機變量 和 的分布密度(b)試問：與是否獨立？說明理由。解：( a)(b)由于：因此是服從正態分布的二維隨機向量，其協方差矩陣為：因此 與 獨立。2、設 和 為獨立的隨機變量，期望和方差分別為和。(a)試求和的相關系數；( b) 與 能否不相關？能否有嚴格線性函數關系？若能，試分別寫出條件。解：(a)利用的獨立性，由計算有：(b)當的時候，和線性相關，即3、設是一個實的均值為零， 二階矩存在的隨機過程， 其相關函數為，且是一個周期為T的函數，即，試 求方差函數。解：由定義，有：4、考察兩

2、個諧波隨機信號和，其中：式中和 為正的常數；是 內均勻分布的隨機變量，是標準正態分布的隨機變量。(a)求的均值、方差和相關函數；(b)若與獨立，求與Y的互相關函數。解：(a)( b)第二講作業：P33/2 解：其中為整數，為脈寬從而有一維分布密度：P33/3 解：由周期性及三角關系，有：反函數 ，因此有一維分布：P35/4. 解： (1) 其中 由題意可知，的聯合概率密度為：利用變換：，及雅克比行列式: 我們有的聯合分布密度為:因此有：且好口相互獨立獨立。(2)典型樣本函數是一條正弦曲線。(3)給定一時刻，由于 獨立、服從正態分布，因此也服從正態分布，且所以。(4)由于：所以 因此當時，當時，

3、由(1)中的結論，有：P36/7 .證明：(2) 由協方差函數的定義，有:P37/10.解：(1)當 i可時；否則令，則 有第三講作業：P111/7 ,解：(1)是齊次馬氏鏈。經過次交換后，甲袋中白球數僅僅與次交換后的狀態有關，和之前的狀態和交換 次數無關。(2)由題意，我們有一步轉移矩陣：P111/8.解：(1)由馬氏鏈的馬氏性，我們有:(2)由齊次馬氏鏈的性質，有：因此：P112/9 .解：(2)由(1)的結論，當為偶數時，遞推可得:(1)計算有：，遞推得到，因此有：P112/11 .解：矩陣 的特征多項式為:由此可得特征值為：，及特征向量:令矩陣 則有:因此有：P112/12 .解：設一

4、次觀察今天及前兩天的天氣狀況，將連續三天的天氣狀況定義為馬氏鏈的狀態，則此問題就是 一個馬氏鏈，它有8個狀態。記每天天晴為 0,下雨為1,則此鏈的狀態可以由三位二進制數表示。如三 天晴為000,為狀態0;第一天晴，第二天晴，第三天雨為001,為狀態1;第一天晴，第二天雨，第三天晴為010,為斗犬態2;第一天晴，后兩天陰為 011,為狀態3,等等。根據題目條件，得到一步轉移矩陣如 下：第四講作業：P113/13 .解：畫出狀態轉移圖，有:P113/14.解：畫出狀態轉移圖，有:P113/16.解：畫出狀態轉移圖，有：(1)由于三個狀態都是相通的，所以三個狀態都是常返態。(3)狀態3、4無法和其他

5、狀態相通，組成一個閉集，且 ，所以狀態3、4為常返態；另外狀態0、2相通 組成一個閉集，且，故狀態 0、2是常返態；因為，故，所以狀態 1為非常返態。(4) 0、1相通作成一閉集，且，故 0、1為常返態；又，因此，故 2為常返態；，故3、4為非常返態。第六講作業：P115/17.解：(1) 一步轉移矩陣為：(2)當時，由計算可得，因此可由以下方程組計算極限分布：解得極限分布即可。P115/18 .解：由第七題的結果，計算可得：， 因此可計算極限分布如下：解以上方程，得極限分布：P115/19 .解：見課上講稿。P116/21 .解：記,則有：(1)因為：(A)當時，有:由(A可得：當且時，有：

6、由(A可得：當且時，有：由(A可得：另外：下列等式是明顯的因此我們有：即是一齊次馬氏鏈。一步轉移矩陣為：(2)畫出轉移矩陣圖，可得：由：及，并且取，由遞歸可得：(3)由于：因此，零狀態是正常返的，由相通性，故所有狀態都是正常返的，即此馬氏鏈是不可約的。(4)由馬氏鏈的無后效性，可知此時的T就是零狀態到零狀態的首達時間。因此我們有:隨機過程習題解答(二)P228/1。證明：由于s t ,有P N(s) k, N(t) nP N(s) k/N(t) nP N(t) nP N(s) k PN(t s) n kP N(t) n其中P N(s) k PN(t s) n ks ( (t s)n (n k)

7、!kc (t s)一 eP N(t) n(t)nn!所以3ek!P N(s) k/N n s ( (t S) (ts)e(n k)!(t)ne ten!kn kns彳 s1 一 kk ksk (t s)n k n!F tn kk!(n k)!證畢P229/3.解：(1)因為N(t),t 0是一 Poission過程，由母函數的定義，有:kN(t t)(s) PN(t) k sk 0k_ kPN(t) 1 PN( t) k 1 s k 0 l 0 kPN(t) l sl PN( t) k l skk 0 l 0 lkPN(t) l s PN( t) k l s l 0 k l lkPN(t)ls

8、PN(t)k lsl 0k lPN(t)ls1PN(t)j sjl 0j 0N (t) (s) N( t)(s)(2)有上面(1)的結果，可得：N(t)(s) ？則N(t t) N(t)(s)tlimiN(t) (s) N( t)(s)tN(t) (s)N (t) (s)limiN( t)(s)1t(3)當t充分小時，由于:kn( t)(s) PN( t) s sk 0t ( t) s1( t) skk 21 t ( t) s0因此，當s 1時，有：limlimt ts ( t)5sk(s 1)由(2)的結果，我們有:N(t)(S)(s 1) N(t)(s)P229/4.解：(1)由上面3題的

9、結果(3),我們有:N(t) (s)(s 1) N(t)(s)N(t)(s) e(s1)tN (0) (s)1(2)由于N(t)(s)是隨機過程N(t)的母函數，且N("s) e (s1)t,將函數 e (s1)t 關于 s(s 1)展開成級數形式，我們可得:N(t)(s)e(s 1)t5e t sk k o k!由母函數與分布函數的唯一性定理，可得:PN(t) kO£e tk!k 0,1,2P230/8.解：由特征函數的定義，我們有:iuX(t)X (t) (u) E ePN(t) n E eiuX(t) N(t) n 0( 4 t Emu Y Y2Yne en 0 n!

10、5 e t n 0 n!EeiuY1n令 EeiuY1y(u),則有:X (t) (u)(t Y1(u)nte n 0 n!exp t Yi(u) 1(*若Yn(n 1,2,)的概率分布為:PYn 1PYn1iuYnYn(u)E e1 iueiu e*將(*)代入(*),我們有:1X(t)(u) exp ( 12)t 12iui uexp 1te 2te (iu eeiu 1122)tP230/7.解：先求N0(t),t 0的特征函數:iuN0(t)N0(t)(u)EeE iuNQe(1t)niu(W(t)E ei( u)N2(t) e1tN2(t)n 0 n!iu n(1te )上e em

11、0 m!i( u) m(2te )i( u)m e2texpexpn!iu1teiu1tee 1texp 2tem!i( u) :e2teiu ( 12)tNo(t),t 0是復合由上面8題的結果，根據特征函數與分布函數的唯一性定理，可知Poission 過程。P231/10.解：由于PX1(t) k,X2(t) j X1(t) X2 X3(t) nPX(t) k,X2(t) j," X2(t) X3(t) nPX(t) X2 X3(t) n因為Xi(t)的母函數為：N(t)(s) exp i(s 1)t ,由獨立性，可知X1(t) X2(t)X3(t)的母函數為:3X(t)(s)x

12、 (s) exp 1i 123的泊松過程，即所以 x(t)x1(t) X2(t) X3(t)是參數為 1P X1(t) X2(t) X3。)nn!因此我們有:k2 e 1t k!1t je j!P231/12.解：(1)由令t 0,有k!j!(nn!kj)!n3)P X(t t) PX(t) PX(t)kk,X( k 1t)Pr0 tPX(t)PX(t)1,X( t)1 Pr t1o( t)解得dR(t)dtPrPk(t)PrPkl(t)P X(t)k 應 e Prtk!PX(t) k,X2(t) j X1(t) X2(t)X3(t) nn j k2t 1t3te(n j k)!t n123

13、t 1en!(2)由(1)知，X(t)服從參數為 R的泊松分布。則 (t),t 0是一馬氏P232/15.解：(1)以 表示t時刻系統中不正常工作的信道數,過程，其狀態空間為：S 0,1,2,Q矩陣為:(2)令:P(t)P00(t)Pi0(t)P20(t)P01 (t ) Pll(t) P21(t)P02(t)P12(t)P22(t)則前進方程為:dP(t)dtP(0)P(t)Q(3)令:Pj(t) P (t) jp(t) (Po(t), Pi(t), P2(t), p(0) (1, 0, 0)寫出福克一普朗克方程:dp p(t)Q dtp(0) (1,0,0)即有:d Po(t)dt2P0(

14、t)Pi (t)彳故Laplace變換，令:則有:由上解得:其中:d Pi(t)dtd P2(t)dt2 P0(t)(Pi(t) 2P0(0) 1, Pi(0)n(s)Pi (t)2 P2(t)P2(t)0, P2(0) 0L(Pn(t),n 0,i,20(S) i(s) 2(s)(320(s)0(s)(i(s) 2)s 2 2s s 2() s)2)2(s)i(s)i(s) 22(s)2因此求P0 (t)i(0(s)即可。(4) PTa t,TBtPTaDPTbtP233/i6.解：(i)令 表示t時刻系統中正在用電的焊工數，則 (t),t 0是一馬氏過程，其狀態空間為：S 0,i,2, ,

15、m o(2) Q矩陣為：(3)令:寫出福克一普朗克方程:(4)畫出狀態轉移率圖,由此可得:即有:由此可以求得:Pnm由 Pnn 0(m21)(m 1)2 (m 2)0(m 2)Pj(t) P (t) j(P0(t)，可得m P0(m 1)(m n)Pm 1 mPn n 0(m n) mPnP0PnPl(t), P2(t), Pm(t),p(0) (1,0,0,警pQP(0) (1, 0, 0,0)1 (m 1)t 時的平衡方程:PiP1 m P0 2 P2n Pn (m n1)Pn 1 (n 1) Pn,0)Pm(n 1) Pn 1P1 0(m n) Pn(m n)(n1)(m n 1) (m

16、n)即可確定P0 ,(m(nPn ,1)P0最終得到所要的結果。1) Pn 1Pn 100,1,2,cmn Pn,mP0 , n 0,1,mP233/17.解：(1)由于：n n a, n n ( , , a 0)可以得到此過程的Q矩陣:令:寫出福克一普朗克方程:(2 a 2n()Pj(t) P (t)ajP(t)(P0(t), Pi(t), P2(t),，Pn(t)，d P0(t)dtd P1 (t)dtd P2 (t)dtaP°(t)P1(t)aP0(t) () aP1(t) 2 P2(t)a)P1(t) 2()aP2(t) 3P3(t)d Pn(t)dt(n1)aPn i(t)

17、 n()aPn(t)(n1)Pn l(t)初始條件：Pn0(0) 1， Pj(0)(jn。)。(2)由數學期望的定義:E(t)?M(t) nPn(t)n 0nPn(t)n 1由此，我們有:dM (t)dtddt n 1nPn(t)d Pn(t)dt(n 1)aPni(t)n()aPn(t) (n 1) Pn i(t)na Pn 1(t)1naPn(t) n 1n (nn 1apn(t)01) Pn1(t)n(n (n 1) Pn 1(t)a () n Pn (t) a (n 1)Pn(t) (n 1) Pn 1(t)n()Pn(t) (n 1) Pn 1(t)M (t)即可得到描寫M的微分方程

18、:dMdt(0)M(3)解上面的微分方程，我們有:M (t)n°e(P233/19.解(1)根據題意得到Q矩陣為由福克一普朗克方程得:dp。(t)dtdPn (t)dtP。(t)Pn 1 (t)(2)G(u,t)Pn(t)UnP1 (t)n 1Pn(t)Un 1(u因此左邊二Pn(t)Un 1Pn(t)Un右邊二(u1)G(u,t)(u左邊二右邊，證畢no)te()t(2Pi(t)(nn ) Pn (t)(n 1)Pn 1 (t) (n 1)P0nPn 1(t) ( n(n ) Pn(t)un14u1)Pn(t)Unn 0)Pn (t)(n 1) Pn1(t)Pn(t)Un 1(u

19、1)nPn(t)Un 1n 1 nPn(t)u0Pn(t)Unn 0(3)將 G(u,t)_ue f et(u 1)代入左邊。左邊f e t(u 1) (u 1)(u_u1) (一 e fe (_u1) f e t(u 1) e )(4)由 G(u,0)進而有所以(5)令一(1 e(u1)fe t(u 1)(u 1)G(u,t)右邊t) x,G(u,t)其中un對應的系數為n Xn!所以(6)G(u,t)-ue f (u 1) 1f(uf(u)一ue f (e由(4)的結論eX(u 1)1x(u1)1)t(ucnn 1X(n 1)!pn(t)Cn一(u 1)-(u1) e22X (u 1)(n

20、 2)!-(1 e t) e1)(1 e t)2!n X -e n!n!nnX (u 1)n!M (t)nPn(t)n 1-(1 ne1-.-(1 n!t)n(7)由(5)的結論，知P236/24 解:(1)根據題意得Q矩陣由平衡方程，有因此有電Pi因為所以，當-(1 e_(1 e-(1 e一(1Pn1時系統平穩Pn11 (n)-(1)-(1t)tim P0 (t)P0P0Pn 1Pn0P0(1 1)!t ne )!imet)t)-(1P10)P1(n-1-(1 n!-(1 ee t)nP2)PnPn0,1,2,P0n 0(n 0,1,2,)n 11Pn nPn -n 0n 0前(n1)次以概

21、率1重新排隊,n次以概率 離開，所以1 n1即為所求。26.解(1)設系統狀態為不工作機器的數量，則0,1,2,3 ,得Q矩陣列出平衡方程其中:110解得所以8( P2P3)P08(空729P237/28.解:函數為:3(2033 p2 PP202 (23125, 729言)(1)設泊松分布第Xn(U),則有:由于Xn是獨立同分布的，根據PiP0 I)(2(3 P3300, 7292432729Snn'(U)Xn(U)P10 )P1 )P2 0P2nPnn 0P2P3240729972729P3647291個事件發生與第n個事件發生的時間間隔Xn的特征(u) exp (eiu 1)nX

22、k以及特征函數的性質可知:k 1exP (eiu 1) exPn (eiu 1)因此可知Sn是服從參數為n的泊松分布，即:PSnk整en，k0,12(2)由：PN(t) n)PSn tP Sn 1 t可知:tkPNn ktk(n 1)心ek 0 k!(n 1)附：一階擬線性(線性)偏微分方程的解法：一階擬線性方程的一般形式：a(x,y,u)ux b(x,y,u)uy c(x,y,u)一階線性方程的一般形式：a(x,y)Ux b(x, y)Uy c(x, y)u d(x,y)稱：dxdy dza(x, y,z) b(x,y,z) c(x, y,z)或：dx a(x,y,z), 當 b(x,y,z

23、), dz c(x,y,z)dtdtdt為一階擬線性方程的特征方程。由此方程確定的曲線(x(t),y(t),z(t)為特征曲線。一階擬線性方程的特征方程的解u(x,y)為積分曲面。有以下定理：定理：若特征曲線 上一點P0(x0,y0,z0)位于積分曲面S:u u(x,y)上，則 整個位于S 上。初值問題:給定初始曲線：(x,y,z) (f(s),g(s),h(s) , s為參數。則一階擬線性方程的初值問題 的提法是：求方程的解z u(x,y),使滿足h(s) u(f(s),g(s)。我們有以下定理。定理：設曲線：(x, y,z) (f (s),g(s),h(s)光滑，且 f 2 g 2 0,在

24、點P0 (x0, y0,z0) (f (s0), g(s0),h(s0)處行列式J f (s0)g (s0)0a(x0,y0,z0) b(x0,y0,z0)又設a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y,z)在 附近光滑，則初始問題:a(x, y,u)ux b(x,y,u)uyc(x,y,u)u(f(s),g(s) h(s)例：已知初始曲線在參數s s0的一鄰域內存在唯一解。:x s, y s, z -, 0 s 1,求初值問題:2UUx Uy 1 u s/2解：由于:f (s0)a(xo,yo,Zo)g (so)b(xo,yo,zo)11s/2 11 s/2 0解常微分方程

25、的初值問題:dxdydzz, 1,1出出dt(x, y,z) t o (s, s, s/2)自：t s/2, y ts, z t2/2 st/2由后兩式解出s,t ,并代入第式，解得:z u(x, y)24y 2x y2(2 y)P233/9.解初值問題:(u 1)Gu Gt (u 1)G(u,t,z) 0 (s,0,1)由于：Jf (So)g (So)a(%,y0,z0) b(x0,y0,4)101 0(s 1) 1解常微分方程的初值問題:dudt, dz(u 1),一 1,一 (u 1)zdd d(x, y,z)t 0 (s, ,0,1)解得:tu e (s 1) 1. (s 1)(1 s

26、)Inz - e -在上面式子中消去參數s,得初值問題的解：G(u,t) exp (u 1)(1 e t)P311/1.解：(1)給定 t2 L,k2 k 時，有(2)任取t1,t20,我們有：所以Poission過程不是平穩過程。P311/2.解：(1)由Poission過程的性質，任取t2,t1,t2 t1假定事件:則有：因此有：(2)由，且f (%«21七)僅與t2 t1有關，可知 是平穩過程。P312/3.解：(1)由均值的定義，我們有：(2)由相關函數的定義，任取，我們可得：P312/4.解：為了解此題，先看下面的引理：引理：設是服從正態分布的二維隨機變量，其概率密度為：則

27、和YB不同符號的概率為：引理的證明：令：則有： 以上式子用了變換:由：因此只要求：因此有：由于此時：我們即可得到結論。P313/5. 證明：由于：故 是寬平穩過程。分別取ti 0,t2/ 4, ,則,&） zsin（ /4）,因為 具有不同分布，所以（t）不滿足一級嚴平穩條件。P314/10. 解：樣本函數不連續。令：t2 t1 0，下面求相關函數：因為：因此該過程是均方連續的隨機過程。P314/11. 證明：令：，則有由車比雪夫不等式：P315/13. 證明：（1）令：，由上題的結果可知：因此有（ 2）由相關函數的定義及（1）的結果，有P316/17. 解：（1）由均值函數和相關函數

28、的定義，我們有：由 ，可得2）有上面的結果知是一寬平穩過程。令：， 不具有相同的分布，所以不是一級嚴平穩過程。因為：，因此有:P318/23. 解：根據為一平穩過程，則有：， 因此有：P318/25. 解：由平穩過程相關函數的定義，有：P319/28. 解：由題意，我們有：設，則有：令： ，則有：，因此有：P319/30. 解：（1）由于：因此輸入不是平穩的。（ 2）由計算可得：（ 3）計算均值函數和相關函數為：因此輸出不是平穩的過程。P445/1 解題中給出的是一確定性周期信號，令：，因此它們的時間相關函數和功率譜密度分別為：當時，因此有:P445/2. 解：（3）(4)P445/3.解：由

29、功率譜密度和相關函數的關系，有：P446/4.解：(1)由于：因此，由功率譜密度和相關函數的關系，有：(2)由功率譜密度和相關函數的關系，有：P446/5.解：由功率譜密度和相關函數的關系及是偶函數，我們有：其均方值為：P447/7.解：(1)沖激響應為：(2)由6題的結果，我們有：注意到的定義，當或時，,當時，當時，因此有：(3)由6題的結果，令：，有：P447/8.解：由 Fourier 變換，有：因為：則有：因此有：當時，有由于：R (1)-e3 3e, R ( 1) -e3,顯然，所以 不關于 0對稱。244P448/11.證明I :當時，利用實平穩過程相關函數的非負定性以及取：t12 ， t2我們有：0 ；以及 ，由此可得：即有：因此有：證明 II ：設此隨機過程的功率譜密度函數為，由題意可知S ( ) S ()，下面用歸納法證明結論：當時，有假設當n=k時，結論成立，即則有：即當n=k+1時，結論成立，由歸納法可知有結論成立。P450/14. 解：由樣本函數可知，假設Si 為第 i 個