1、書本個(gè)人總結(jié)：由于物理學(xué)，力學(xué)和工程技術(shù)等方面的許多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程的定解問題，而在數(shù)學(xué)物理方程這門課上，我們的主要任務(wù)便是求解這些定解問題，也就是說在已經(jīng)列出的方程與定解條件之后，怎樣去求既滿足方程又滿足定解條件的解。 而我們的常用的解決偏微分方程的方法的統(tǒng)一思路是將一個(gè)偏微分方程的求解設(shè)法轉(zhuǎn)化成一個(gè)常微分方程問題的求解。 而我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中接觸到的常用方法有：分離變量法，行波法，積分變換法和拉普拉斯方程的格林函數(shù)法 第二章： 本章主要介紹了分離變量法，介紹了有界弦的自由振動(dòng)，有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)，圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題等泛定方程和邊界條件都是齊次的偏微分方程的求解，還介

2、紹了非齊次方程的解法，非齊次邊界條件的處理等等。A 其中泛定方程和邊界條件都是齊次的偏微分方程的求解步驟，取有界弦的自由振動(dòng)的方程求解作為例子，定解問題為：第一步：分離變量 目標(biāo)：分離變量形式的非零解結(jié)果：函數(shù)滿足的常微分方程和邊界條件以及滿足的常微分方程 條件：偏微分方程和邊界條件都是齊次的第二步：求解本征值問題 利用和邊界條件和求出本征值和本函數(shù)： 本征值： 本征函數(shù)：第三步：求特解，并疊加出一般解 這樣的特解都滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件第四步：利用本征函數(shù)正交性定疊加系數(shù)總結(jié)：通過以上例子我們可以得出分離變量的一般方法，總的來說可以分成四步：一 首先將偏微分方程的定解問題通過分離變

3、量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題。二 確定特征值和特征函數(shù)。由于特征值是要經(jīng)過疊加的，所以用來確定特征函數(shù)的方程與條件，當(dāng)函數(shù)經(jīng)過疊加之后仍舊要滿足。當(dāng)邊界條件是齊次時(shí)，求特征函數(shù)就是求一個(gè)常分方程滿足零邊界條件的非零解。三 定出特征值和特征函數(shù)后，再解其他的常微分方程，把得到的解與特征函數(shù)乘起來成為Un(x,t).四 最后為了使解滿足其余的定解條件，需要把U疊加起來成為級(jí)數(shù)形式，疊加出一般解，再利用本征函數(shù)的正交性定疊加系數(shù)。B對(duì)于非齊次泛定方程和非齊次邊界條件的解法，求解的基本思路是: 先由對(duì)應(yīng)的齊次方程和齊次邊界條件求出特征值和特征函數(shù),再由此直接構(gòu)造出級(jí)數(shù)形式解.最后利用泛定方程和初始條件

4、定出級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)。 取有源傳導(dǎo)方程的定解問題作為例子： 第一步：將解按特征函數(shù)展開：假定微分方程是齊次方程，在齊次邊界條件下求出特征值和特征函數(shù)：利用此特征函數(shù)，假定方程的解為： 結(jié)論：顯然這樣的解對(duì)一切的Tn(t)滿足齊次邊界條件。第二步：求系數(shù)函數(shù)滿足的系數(shù)方程： 結(jié)論：Tn(t)不唯一第三步：給出系數(shù)函數(shù)的定解條件以確定系數(shù)函數(shù)對(duì)于非齊次的邊界條件的定解問題的求解，一般的做法是通過引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使邊界條件齊次化，然后通常能得到一個(gè)邊界條件齊次，泛定方程非齊次的定解問題，即轉(zhuǎn)化為非齊次泛定方程的求解問題。第三章：本章主要介紹了行波法和積分變化法。行波法的一般步驟是：1. 對(duì)自變量作

5、變量替換，然后將變換后的變量帶原變量，再利用初值條件得到兩個(gè)方程組，利用這兩個(gè)方程組得到F（x）和G(x)，再將上式子帶入U(xiǎn)=F+G。其中達(dá)朗貝爾公式為： 三維波動(dòng)方程的波泊松公式為：利用球面坐標(biāo)，可化為：對(duì)于積分變換法，通過取積分變換可將未知函數(shù)的常微分方程化成象函數(shù)的代數(shù)方程，分為傅立葉變換和拉普拉斯變換，在偏微分方程兩端對(duì)某個(gè)變量取變換就能消去未知函數(shù)對(duì)該自變量求偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到象函數(shù)的較為簡(jiǎn)單的微分方程。如果原來的偏微分方程中只包含有兩個(gè)自變量，通過一次變換就能得到象函數(shù)的常微分方程。用積分變換法解定解問題的一般步驟為：一.根據(jù)自變量的變化范圍以及定解條件的具體情況，選取適當(dāng)?shù)姆e分變

6、換，然后對(duì)方程的兩端取變換，把一個(gè)含有兩個(gè)自變量的偏微分方程化為只含有一個(gè)參量的常微分方程。一. 對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出新方程的定解條件。二. 解所得的常微分方程，求得原定解問題解得變換式（即象函數(shù)） 三對(duì)所得得變換式取逆變換，得到原定解問題得解。第四章：本章主要介紹拉普拉斯方程的格林函數(shù)法，我覺得這一章是這本書最難搞懂的，現(xiàn)在還是對(duì)這一章的概念模模糊糊，覺得格林公式似乎是很模糊的一個(gè)概念，然后這一章也涉及到了較多的積分運(yùn)算，有時(shí)候會(huì)一頭霧水。調(diào)和函數(shù)：拉普拉斯方程的連續(xù)解，即具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。第一格林公式： 第二格林公式：上機(jī)調(diào)試篇：在上機(jī)課上我們做了熱

7、傳導(dǎo)，圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問題的模擬仿真，還做了傅里葉變換和特殊函數(shù)法的仿真。下面以傅里葉變化的仿真為例子，定解問題為： 邊界條件等于sin(x) (0<x<1)仿真代碼為：xx=-10:.5:10;tt=0.01:0.1:1;tau=0:0.01:1;a=2;X,T,TAU=meshgrid(xx,tt,tau);F=(1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).2/4/22./T).*sin(TAU);js=trapz(F,3);waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js) figure,h=plot(xx',js(1,:

8、);set(h,'erasemode','xor');for j=2:10 set(h,'ydata',js(j,:); drawnow; pause(0.1)end我們學(xué)習(xí)的仿真是基于已經(jīng)求解出來的解而寫出程序來的，以上的程序是基于上述定解的問題的解，即： 而編寫出來的.學(xué)習(xí)過程中的體會(huì)： 剛剛接觸這門課的時(shí)候，覺得聽課聽的似懂非懂，由于教材是英文版的原因，前幾次課下課后都沒怎么看書，一是因?yàn)閭€(gè)人的英文水平有限；二是發(fā)現(xiàn)老師講課的順序跟英文版教材的順序是不一樣的，于是剛開始的時(shí)候?qū)φn堂上講的東西并不十分了解，有時(shí)候看著明白了，過了一下就忘了；有

9、時(shí)候聽課的時(shí)候會(huì)把幾次課的內(nèi)容弄混淆，不明白什么時(shí)候用什么方法求解；有的時(shí)候還得聯(lián)系以前學(xué)過的知識(shí)，如傅里葉變換，正交展開，求解偏微分方程等等，但是由于有部分遺忘了，學(xué)習(xí)過程中有點(diǎn)吃力。后來買了本中文版的，并且也隨著學(xué)習(xí)的深入，發(fā)現(xiàn)每一種方法都是有聯(lián)系的，比如解齊次的偏微分方程是最簡(jiǎn)單的，只要用到分離變量，按照四步走的思路就能解出來，然后到非齊次的泛定方程的定解問題，方法是引入一個(gè)新的函數(shù)，或者利用類似于參數(shù)變異法，把非齊次問題看成是齊次問題求解，再利用傅里葉的級(jí)數(shù)展開組成一個(gè)新的定解條件就可以解出來了，再到后來的非齊次的邊界條件的處理，是通過轉(zhuǎn)化成齊次的邊界條件，從而轉(zhuǎn)化成求解非齊次的泛定方

10、程的問題，所以隨著學(xué)習(xí)了一段日子之后，能隱約的發(fā)現(xiàn)所學(xué)的是層層遞進(jìn)的，了解了前面的方法，后面的學(xué)習(xí)就簡(jiǎn)單了，所以到了后來的行波法，積分變換法都學(xué)得比較輕松。 可是到了后來的拉普拉斯方程的格林函數(shù)法又一頭霧水了，我想可能是因?yàn)槲业母叩葦?shù)學(xué)中的二重積分，三重積分那些地方?jīng)]有學(xué)好吧。 我覺得其實(shí)學(xué)數(shù)學(xué)物理方程還是挺有成就感的，從最開始的頭暈，到后來的逐漸明晰，是一個(gè)很讓人滿足的事情，在學(xué)習(xí)的過程中還把高等數(shù)學(xué)，積分變換，復(fù)變函數(shù)都拿來看了，我想這就是傳說中的“溫故知新”吧。 這門課程有點(diǎn)難，而且要對(duì)以前的知識(shí)融會(huì)貫通，雖然對(duì)它有點(diǎn)畏懼，但是還是有動(dòng)力的，每次打開數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，四個(gè)顯赫的大字“功在于勤”，每次都