1、數(shù)學(xué) - 函數(shù)的對(duì)稱性與周期性 函數(shù)對(duì)稱性和周期性涉及不可顯示內(nèi)容過(guò)多，請(qǐng)單擊此處翻開(kāi)或右鍵另存為下載對(duì)稱性：函數(shù)圖象存在的一種對(duì)稱關(guān)系，包括點(diǎn)對(duì)稱和線對(duì)稱。周期性：設(shè)函數(shù) 的定義域是 ，假設(shè)存在非零常數(shù) ，使得對(duì)任何 ，都有 且 ，那么函數(shù) 為周期函數(shù)， 為 的一個(gè)周期。對(duì)稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì)，他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)絡(luò)呢？本文就來(lái)研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，有缺乏之處望大家批評(píng)指正。一、一個(gè)函數(shù)關(guān)于兩個(gè)點(diǎn)對(duì)稱。命題1：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)

2、稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 假如又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。命題 ：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于兩點(diǎn) 和 對(duì)稱，那么：當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。從而 當(dāng) ， 時(shí) 即： 當(dāng) ， 時(shí)， 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。當(dāng) ， 時(shí) 當(dāng) ， 時(shí)， 不是周期函數(shù)。當(dāng) ， 時(shí) 與條件矛盾，舍去綜合得原命題成立。二、一個(gè)函數(shù)假如關(guān)于一個(gè)點(diǎn)和一

3、條線對(duì)稱。命題2：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。特例：當(dāng) 時(shí)， 為奇函數(shù)，即奇函數(shù) 假如又關(guān)于直線對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。命題 ：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 即： 是周期函數(shù)， 為函數(shù) 的一個(gè)周期。三、一個(gè)函數(shù)假如關(guān)于兩條線對(duì)稱。命題3：假如函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 和直線 對(duì)稱，那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。證明：函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。又函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱， 對(duì)定義域內(nèi)的所有 成立。從而 即： 是以 為周期的周期函數(shù)。特例：當(dāng) 時(shí)