1、2013備考沖刺易錯題回歸復習 導數及應用（教師版）導數及應用一、高考預測從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導數在研究函數的單調性和極值中的應用、導數在研究方程和不等式中的應用，考查的形式是解答題考查導數在研究函數問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設計一些新穎的試題，大部分函數和導數的基礎試題難度也不大，但少數函數的基礎試題難度較大，解答題中的函數導數試題也具有一定的難度由于該專題的絕大多數內容(除定積分)都是傳統的高中數學內容，在考查上已經基本穩定(難度穩定、考查重點穩定、考查的分值穩定)，預計2012年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導數的幾何意義的應用

2、，定積分的計算及其簡單應用以解答題的方式考查導數在函數問題中的綜合應用，重點是使用導數的方法研究函數的單調性和極值以及能夠轉化為研究函數的單調性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數建模和利用導數解模導數及其應用：要掌握好導數的幾何意義、導數的運算、導數和函數的單調性與極值的關系，由于函數的極值和最值的解決是以函數的單調性為前提的，因此要重點解決導數在研究函數單調性中的應用，特別是含有字母參數的函數的單調性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉化為函數的單調性、極值、最值進行研究性訓練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點二、知

3、識導學要點1：利用導數研究曲線的切線1導數的幾何意義：函數在處的導數的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數對時間的導數）。2求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數在點的導數，即曲線在點處切線的斜率；（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：當曲線在點處的切線平行于軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為；當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。要點2：利用導數研究導數的單調性 利用導數研究函數單調性的一般步驟。（1）確定函數的定義域；（2）求導數；（3）若求單調區間（或證明單調性），只需在函數的定義域內解（或證明）不等式0或0。若已知的單調性

4、，則轉化為不等式0或0在單調區間上恒成立問題求解。要點3：利用導數研究函數的極值與最值1.在求可導函數的極值時，應注意：（以下將導函數取值為0的點稱為函數的駐點可導函數的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數。例如函數在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導函數的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數的導數，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導函數的極值時，常常把駐點附近的函數值的討論情況列成表格，這樣可使函數在各單調區間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因

5、變量，建立函數關系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區間，函數在定義域內可導（其實只要是初等函數，它在自己的定義域內必然可導），并且按常理分析，此函數在這一開區間內應該有最大（小）值（如果定義域是閉區間，那么只要函數在此閉區間上連續，它就一定有最大（小）.記住這個定理很有好處），然后通過對函數求導，發現定義域內只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數值就是最大（小）值。知道這一點是非常重要的，因為它在應用一般情況下選那個不帶常數的。因為.3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數和.三、易錯點點睛命題角度 1導數的概念與運算1設

6、，, ,nN,則 ( )A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx考場錯解 選C專家把脈 由=,f3(x) =(-sinx)=-cosx, ，故周期為4。 對癥下藥 選A2已知函數在x=1處的導數為3，的解析式可能為 （ ）A=(x-1)3+32(x-1) B=2x+1 C=2(x-1)2 D=-x+3考場錯解 選B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x=1=3.專家把脈 上面解答錯誤原因是導數公式不熟悉，認為（2x+1）=2x+1.正確的是（2x+1）=2,所以x=1時的導數是2，不是3。=2e-xcosx令f(x)=0,x=n+（n=1，2，3，）從而x

7、n=n+。f(xn)=e-( n+)(-1)n·=-e.數列f(xn)是公比為q=-e-的等比數列。專家把脈 上面解答求導過程中出現了錯誤，即（e-x）=e-x是錯誤的，由復合函數的求導法則知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正確的。對診下藥（1）證明：f(x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx) =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx. 令f(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=n,(n為整數，從而xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-n,所以數列|f(xn)|是公比q=-e-的等

8、比數列，且首項f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(-nqn)從而Sn=(-nqn)|q|=e-<1 qn=0,專家會診1理解導數的概念時應注意導數定義的另一種形式：設函數f(x)在x=a處可導，則的運用。2復合函數的求導，關鍵是搞清復合關系，求導應從外層到內層進行，注意不要遺漏3求導數時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數求導，先看是否化為整式函數或較簡單的分式函數；對數函數求導先化為和或差形式；多項式的積的求導，先展開再求導等等。命題角度 2導數幾何意義的運用1.曲線

9、y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_.考場錯解 填2 由曲線y=x3在點（1，1）的切線斜率為1，切線方程為y-1=x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。專家把脈 根據導數的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數在這點處的導數，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。對癥下藥 填。=3x2 當x=1時f(1)=3.由導數的幾何意義知，曲線在點（1，1）處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯立得交點（2，4）。又y=3x-2與x軸交于（，0）

10、。三條直線所圍成的面積為S=×4×（2-）=。2設t0,點P（t,0）是函數=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在P點處有相同的切線。（1）用t表示a、b、c；（2）若函數y=f(x)-g(x)在（-1，3）上單調遞減，求t的取值范圍。考場錯解 （1）函數=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. 又兩函數的圖像在點P處有相同的切線，f(t)=g(t) 3t3+a=2bt. 由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.專家把脈 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由、兩式是不可用

11、t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結論應是f(t)=0，即t3+at=0，因為t0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在（t,0）處有相同的切線，所以f(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, a=-t2, b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).當y=(3x+t)(x-t)<0時,函數y=f(d)-g(x)單調遞減。 由y<

12、;0,若t<0,則t<x<-,若t>0,則-<x<t.則題意，函數y=f(x)-g(x)在(-1,3)上單調遞減，則（-1，3）（-,t）或（-1，3）（t，-）所以t3或-3。即t-9或t3。又當-9<t<3時，函數y=f(x0-g(x)在（-1，3）上單調遞增，所以t的取值范圍（-，-9）（3，+）解法2 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).成為切點。因此過點A不在曲線，因此根求方程必須先求切點坐標。對癥下藥 （1）f(x)=3ax2+2bx-3，依題意f(1)=f(-1)=0即 解得

13、 a=1,b=0f(x)=x3+3x,f(x)=3x2-3=0.解得x=±1.又x(-,-1) (1,+)f(x)>0f(x)在(-,-1)與(1，+)上是增函數。若x-1,1時，f(x) 0,故f9x)在-1，1上是減函數。f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。（2）解：曲線方程為y=x3-3x,點A（0，16）不在曲線上。設切點M（x0,y0）,則點M在曲線上，y0=x30-3x0.因f(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). 點A（0，16）在曲線上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，

14、得x0=-2.專家會診 設函數y=f(x),在點(x0,y0)處的導數為f(x0)，則過此點的切線的斜率為f(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0).利用導數的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉化為代數問題求解。命題角度 3導數的應用1（典型例題）已知函數=-x3+3x2+9x+a.(1)求的單調遞減區間；（2）若在區間-2，2上最大值為20，求它在該區間上的最小值。考場錯解（1）=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,函數的音調遞減區間為（-，-1）（3，+）（2）令=0,得x=-1或x=3當-2<x<-1時,<0;當-1&

15、lt;x<3時，>0;當x>3時，<0.x=-1,是的極不值點，x=3是極大值點。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.專家把脈 在閉區間上求函數的最大值和最小值，應把極值點的函數值與兩端點的函數值進行比較大小才能產生最大（小）值點，而上面解答題直接用極大（小）值替代最大（小）值，這顯然是錯誤的。 專家把脈 當>0時，是減函數，但反之并不盡然，如=-x3是減函數，=3x2并不恒小于0，（x=0時=0）.因此本題應該有在R上恒小于或等于0。對癥下藥 函數的導數：=3x2+6x-1.當=3ax2+6x-1&l

16、t;0對任何xR恒成立時，在R上是減函數。對任何xR,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且=36+12a<0a<-3.所以當a<-3時，由<0對任何xR恒成立時，在R上是減函數。當a=-3時,=-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.由函數y=x3在R上的單調性知，當a=-3時，在R上是減函數。當a>-3時，f(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區間，所以當a>-3時，是在R上的減函數。綜上，所求a的取值范圍是（-，-3）。3已知aR,討論函數=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數。 對癥下藥=ex(a2+ax+a+

17、1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1)令=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)當=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設x1<x2.于是=ex(x-x1)(x-x2),從而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+ )F(x)+0-0+F(x)f(x1)有極大值f（x2）有極小值即此時f(x)有兩個極值點。（2）當=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2于是f(x

18、)=ex(x1-x1)2.故當x<x1時，f(x)>0;當x>x1時，f(x)>0因此f(x)無極值。（3）當<0，即0<a<4時,x2+(a+2)x+(2a+1)>0 ,f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)>0,故f(x)為增函數，此時f(x)無極值點，因此，當a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當0a4時，f(x)無極值點。4設函數=x-ln(x+m)其中常數m為整數。（1）當m為何值時，0;(2)定理：若g(x)在a、b上連續，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0(a、b),使g(x0)=0.試用上述

19、定理證明：當整數m>1時，方程=0，在e-m-m,e2m-m內有兩個實根。考場錯解 令0,xln(x+m).mex-x m取小于或等于ex-x的整數。專家把脈 上面解答對題意理解錯誤，原題“當m為何值時，0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，mex-x這個結果顯然是錯誤的。對癥下藥 （1）函數=x-ln(x+m),x(-m,+ )連續，且f(x)=1-,令f(x)=0,得x=1-m.當-m<x<1-m時，<0,為減函數；當x>1-m時，>0,為增函數。根據函數極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x(-m,+ )都有f(1-m)=1-m，故

20、當1-m=f()0,即m1時，0.即m1且mZ時，0.(2)證明：由（1）可知，當整數m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又為連續函數，且當m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(m>12m-1>1).類似地，當整數m>1時，=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上為連續增函數，且f(1-m)與f

21、(e2m-m) x<10時,V>0,10<x<36時，V<0,x>36時V>0.所以，當x=10時V有最大值V（10）=1960cm3又V(0)=0,V(24)=0所以當x=10時,V有最大值V（10）=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3.專家會診1證函數在（a,b）上單調，可以用函數的單調性定義，也可用導數來證明，前者較繁，后者較易，要注意若在（a、b）內個別點上滿足=0(或不存在但連續)其余點滿足>0(或<0)函數仍然在（a、b）內單調遞增（或遞減），即導數為零的點不一定是增、減區間的分界點。2

22、函數的極值是在局部對函數值的比較，函數在區間上的極大值（或極小值）可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外，=0是可導數f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續函數（不一定處處可導）時可以是不必要條件。3函數的最大值、最小值，表示函數f(x)在整個區間的情況，即是在整體區間上對函數值()由()得且則由，解得或；，解得或；，解得的遞增區間為:和；遞減區間為:又要有兩個根,則有兩解，由函數的單調性可得：。2、設函數，.（）試問函數能否在時取得極值？說明理由；（）若，當時，與的圖象恰好有兩個公共點，求的取值范圍.【解析】：() ， 令， 2分當時，在上單調遞增，函數無極值.所以

23、在處無極值. 4分()，令，或正負正單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增與的圖象恰好有兩個公共點，等價于的圖象與直線恰好有兩個交點或 12分3、已知函數的圖象經過點，曲線在點處的切線恰好與直線垂直。()求實數的值；（）若函數在區間上單調遞增，求的取值范圍。【解析】：() 的圖象經過點，。2分又，則。由條件知，即。4分聯立解得6分（），令，解得，或。8分函數在區間上單調遞增，。10分則，即12分4、已知函數()若曲線在點處的切線方程為,求函數解析式;() 求函數的單調區間;() 若對于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.對任意的成立.從而得所以滿足條件的取值范圍是.13分5、若定義在上的函數

24、同時滿足以下條件：在上是減函數，在上是增函數； 是偶函數；在處的切線與直線垂直. （）求函數的解析式；（）設，若存在，使，求實數的取值范圍【解析】：（），在上是減函數，在上是增函數， ()由是偶函數得：，又在處的切線與直線垂直，代入()得：即.5分（）由已知得：若存在，使，即存在，使.設，則，.8分令0， 當時，在上為減函數，當時，在上為增函數，在上有最大值. 又，最小值為. 于是有為所求.13分6、設函數() 當時，求函數的極值；（）當時，討論函數的單調性.（）若對任意及任意，恒有 成立，求實數的取值范圍.【解析】：()函數的定義域為. 當時，2分當時，當時，無極大值. 4分（）5分 當，即

25、時，在定義域上是減函數；當，即時，令得或令得當，即時，令得或令得 綜上，當時，在上是減函數；當時，在和單調遞減，在上單調遞增；當時，在和單調遞減，在上單調遞增；8分即 .令，解得：或.當時，故的單調遞增區間是.3分當時，隨的變化情況如下：極大值極小值所以，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.5分當時，隨的變化情況如下：極大值極小值所以，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.7分（）當時，的極大值等于. 理由如下：當時，無極大值.當時，的極大值為，8分令，即解得 或（舍）9分 當時，的極大值為.10分因為 ，所以 .因為 ，所以 的極大值不可能等于.綜上所述，當時，的極大值等于12分8、已

26、知函數（是自然對數的底數）（）若對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；()當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由.【解析】：（）當時，在上單調遞增，且當時，故不恒成立，所以不合題意；當時，對恒成立，所以符合題意；當時令，得，當時，當時，故在上是單調遞減，在上是單調遞增, 所以又，綜上：. ()當時，由（2）知，設，則，【解析】：（1），()因為，所以恒成立求的最小值令故在（2，+）上為增函數,所以最小值點滿足，當故：10、已知函數.（）當時，求函數在區間上的最大值與最小值；（）若存在，使，求的取值范圍.【解析】：（）由則得知在

27、區間上單調遞增，在區間上單調遞減.- -（4分）故.又，故.-（2分）（）依題意，只需，.則依當時，得，知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.故得.-（3分）當時，知在區間上單調遞減.不成立.綜上所述，所求的取值范圍是-（3分）11、函數¦(x)=x2xlnx. （）求函數¦(x)的單調區間；（）是否存在實數m,n，同時滿足下列條件1m<n；存在實數k，使得函數y=¦(x)k在xm,n時的值域是m,n？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，并說明理由.【解析】：（），3分5分所以：遞增區間是，遞減區間是；6分（）因為在是單調遞增的，所以當時，的值域為，所以在時

28、的值域是等價于：在區間上有兩不同解8分設，則，由得10分所以在上單調遞減，在上遞增，11分且，所以：存在，.13分12、設函數 （I）若函數f（x）在x=1處與直線y=相切， 求實數a，b的值； 求函數f（x）在土，e上的最大值（II）當b=0時，若不等式f（x）m+x對所有的都成立，求實數m的取值范圍，立，則對所有的都成立，即對所有的都成立，令為一次函數，上單調遞增，對所有的都成立12分（注：也可令對所有的都成立，分類討論得對所有的都成立，請根據過程酌情給分）13、已知函數（）求函數的極值點；（）若直線過點且與曲線相切，求直線的方程；（）設函數其中求函數在上的最小值.( )【解析】：（）0

29、1分而0lnx+10000所以在上單調遞減，在上單調遞增.3分 所以是函數的極小值點，極大值點不存在.4分（）設切點坐標為，則切線的斜率為所以切線的方程為6分又切線過點，所以有解得所以直線的方程為8分（），則0000所以在上單調遞減，在上單調遞增.9分當即時，在上單調遞增，所以在上的最小值為10分當1e，即1a2時，在上單調遞減，在上單調遞增.在上的最小值為12分當即時，在上單調遞減，所以在上的最小值為13分綜上，當時，的最小值為0；當1a2時，的最小值為；當時，的最小值為14分14、己知函數（）求函數的單調區間；（）設函數是否存在實數a、b、c0，1，使得若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由得.8分當時，在上，在上單調遞減，在上，在上單調遞增，9分即.（*） 由（1）知在上單調遞減，故，而，不等式（*）無解. 11分綜上所述，存在，使得命題成立. 12分15、已知函數（）試判斷函數的單調性，并說明理由；（）若恒成立，求實數的取值范圍；（）求證： .【解析】：（）   故在遞減 3分  （） 記5分   再令   在上遞增。 ，從而