1、第一單元 極限的概念及其運算第一節 極限的概念一、學習目標極限是微積分學中的重要概念，微積分中的許多重要概念都是由極限定義的.學習了這一節課，要使我們了解極限、左、右極限和無窮小量的概念. 并且能夠利用函數圖形和極限定義去求簡單函數的極限.二、內容講解1.極限的概念1 數列的極限：數列：一般地，按一定規律排列的一串數，稱為數列，簡記為。其中的第項稱為該數列的通項。數列的極限：給定數列，如果當無限增大時，無限地趨近某個固定的常數A，則稱當趨于無窮時，數列以A為極限。記為2.極限的概念2研究函數是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢。例1 圓的周長的求法.早在公元263年，古

2、代數學家劉徽用圓內接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長.例2 討論當時，的變化趨勢.例3 討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數的增加，棒長的變化趨勢.“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”莊子天下定義2.1函數的極限設函數在點的鄰域（點可以除外）內有定義，如果當無限趨于（但）時，無限趨近于某個常數，則稱趨于時，以為極限，記為或；若自變量趨于時，函數沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數在處沒有極限.在理解極限定義時要注意兩個細節：1.時（），2.（包括這兩種情況）問題思考：極限是描述函數的自變量在某個變化過程中函數的變化趨

3、勢，同一個函數在自變量不同的變化過程中，變化趨勢可能不同，因此，在討論函數的極限時，必須要知道自變量的變化過程，所以不好回答是多少，但是， ，.考慮函數，依照極限的定義，不能考慮的極限.因為在處無定義.又如函數，如果討論是的極限，則函數分別在和時不是同一個表達式，必須分別考慮.由此引出左右極限的概念：定義2.2左右極限設函數在點的鄰域（點可以除外）內有定義，如果當且x無限于（即x從的左側趨于，記為）時，函數無限地趨近于常數L，則稱當x趨于時，以L為左極限，記作 = L；如果當且x無限趨于（即x從的右側趨于，記為）時，函數無限地趨近于常數R，則稱當x趨于時，以R為右極限，記作=R。3.極限存在的

4、充分必要條件：極限存在的充分必要條件是：函數在處的左，右極限都存在且相等.即問題思考：設函數, 求因為y，x由極限存在的充分必要條件知，由函數的圖形也可得到此結論.4.無窮小量定義2.3無窮小量和無窮大量稱當時，為無窮小量，簡稱無窮小.無窮小量是一個特殊的變量，它與有極限變量的關系是：變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個無窮小量的和，即無窮小量的有以下性質：性質1 有限個無窮小量的和是無窮小量；性質2 有限個無窮小量的乘積是無窮小量；性質3 有界函數與無窮小量的乘積是無窮小量.無窮大量在某個變化過程中，絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數的變量稱為無窮大量.例如 因為，所

5、以，當時，是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數關系”：定理：當（或）時，若是無窮小（而），則是無窮大，；反之，若是無窮大，則是無窮小.三、例題講解例1 討論時, =？解：求極限時，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數的極限.由幾何圖形可以看出，當時，即=4例2討論函數,當時的極限oy解：此函數在處沒有定義，可以借助圖形求極限.由圖形得到例3 , 求解：注意到此函數當x=0的兩側表達式是不同，在0點處分別求左、右極限. 可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見,由極限的定義知，函數在某點處有極限存在需在該點處的左右端同趨于某個常數，因此此函數在0點處極限不存在.例

6、4 ，當時，解： 由圖形可知，當時，當時，是無窮小量.四、課堂練習練習1 討論函數當 時的變化趨勢.yox解：函數的圖形是練習2 設函數， 問為何值時，存在？解：因為，所以.練習3 當時，下列變量中（ ）是無窮小量. A）；B）；C）；D）解：因為，所以選擇D正確.練習4 設是無窮大量，則是無窮大量.證明：因為是無窮大量，由“倒數關系”知均為無窮小量，于是有是無窮小量，所以是無窮大量.五、課后作業1.討論函數當時的變化趨勢.2.判斷下列極限是否收斂：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列數列的極限：（1）；（2）；（3）；（4）4.試用圖形說明：不存在.5.設，求在是的左、右極限，并說明在點

7、極限是否存在.6.設，求，并討論是否存在.7.分析函數的變化趨勢，并求極限.（1）；（2）；（3）；（4）8.當時，下列變量中哪些是無窮小量？9.當時，下列變量中是無窮小量的有：（1）；（2）；（3）；（4）10.函數在什么變化過程中是無窮大量？又在什么變化過程中是無窮小量？1.；2.（1）收斂；（2）收斂；（3）收斂；（4）發散.3.（1）0；（2）1；（3）發散；（4）0.4. 5. 因為，所以，函數在處左、右極限存在但不相等，故函數在0點的極限不存在.6. ，因為函數在處左、右極限存在但不相等，所以不存在.7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.8. 9. 10. 當時，為無窮大量，

8、當時，為無窮小量.第二節 極限的運算一、學習目標通過本課程的學習，要學會極限的四則運算法則，學會使用法則的方法和常用的技巧，能夠用四極限的四則運算法則計算則函數的極限.二、內容講解在某個變化過程中，變量分別以為極限，則問題思考：設，則，對嗎？請舉例說明.不一定 如且但三、例題講解例1 求解 例2 求解：例3求解：例4 求解：四、課堂練習練習1 求解：，屬于分子、分母的極限均為0.練習2 求 解本題屬于無窮大量之比的極限計算問題，需變形后再利用法則計算.五、課后作業1； 2；3 4；5； 6；7； 8；9、； 10、10；2.21；3.1；4.；5.； 6.；7.；8.1；9.；10.第二單元

9、兩個重要極限與函數連續性第一節 兩個重要極限一、學習目標通過本課程的學習，我們要學會兩個重要極限公式，要會用重要極限公式計一些函數的極限.二、內容講解第一個重要極限公式：幾何說明：如圖，設為單位圓的圓心角，則對應的小三角形的面積為，對應的扇形的面積為，對應的大三角形的面積為當時，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的.第二個重要極限公式：；問題思考：0.這不是第一個重要極限公式，當時，此式為無窮小量乘以有界變量，其結果仍為無窮小量.三、例題講解例1 解：=例2 求極限解: 例3 求極限解 四、課后練習練習1 求極限練習2 求極限五、課后作業1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8

10、.；9.；10. 2. 3.5 4.1 5.1 6.0 7. 8. 9. 10.第二節 函數的連續性一、學習目標通過本課程的學習，我們要知道連續的數學表示，知道數學中間斷的概念. 將會了解連續與有極限存在這兩個概念的聯系與不同，會進行連續函數的運算.二、內容講解生活中的實例：高山流水，植物生長，工業連續化生產連續函數的定義定義2.4函數的間斷與連續設函數在點的鄰域內有定義，若滿足，則稱函數在點處連續.點是的連續點.函數間斷、間斷點的概念。例如 函數 在定義域內都是連續的.問題思考：設在點處連續，則 答案 ：0. 因為在點處連續， 所以，極限為0.三、例題講解例1 ,問在處是否連續？注意：此函數

11、是分段函數，是函數的分段點.解: 不存在，在處是間斷的.例2 ,問在處是否連續？解: （無窮小量有界變量=無窮小量）在處是連續的.結論:（1）基本初等函數在其定義域內是連續的；（2）連續函數的四則運算、復合運算在其有定義處連續；（3）初等函數在其定義區間內是連續的.例3解: 注意：是初等函數，在處有定義，利用結論有極限值等于函數值.四、課堂練習練習1 求函數的連續區間.解:因為是初等函數，所以其連續區間是定義域練習2 設函數，求為何值時，函數在處連續. 解: 五、課后練習1.設函數問（1）當a,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在；(2) 當a,b為何值時，f(x)在x=0處連續.2.討論

12、函數在處的連續性.3.求下列函數的間斷點和連續區間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.說明下列函數在定義域內連續（1）；（2）（3）；（4）5.求下列函數極限（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案1.（1）當任意時，在處有極限存在；（2）當時，在處連續.2. 因為，所以函數在處不連續.3.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）4.（1）定義區間；（2）定義區間；（3）；（4）定義區間；5.（1）；（2）；（3）0；（4）；（5）1；（6）.第三單元 導數、微分的概念及四則運算第一節 導數和微分的概念一、學習目標本節課主要討論導數和微分的概念，通過學習應明確導

13、數與微分的定義，了解導數的幾何意義和經濟意義，會求曲線的切線方程；了解導數、微分與連續之間的關系并熟練背住導數和微分的基本公式.二、內容講解本節的主要內容是導數與微分的概念.1.導數概念三個引例：邊際成本問題；瞬時速率問題；曲線切線問題.引例1： 邊際成本問題C總成本，總產量，已知（當自變量產生改變量，相應的函數也產生改變量），（成本平均變化率）（邊際成本）引例2:瞬時速率問題路程是時間的函數當從時，從（平均速率） （在時刻的瞬時速率）引例3：曲線切線問題考慮曲線在處的切線斜率.當時，對應的曲線上和兩點間割線的斜率為.（當時）稱為切線的斜率. 關于函數，考慮極限定義2.5導數設函數在點的鄰域內

14、有定義，當自變量在點處取得改變量時，函數取得相應的改變量：若當時，兩個改變量之比的極限存在，則稱函數在點處可導，并稱此極限值為 在點處的導數，記為或或或 ，即=若極限不存在，則稱函數在點處不可導.在理解導數定義時要注意：導數也是逐點討論的.2.導數定義的意義數量意義：變化率經濟意義：邊際成本幾何意義：切線的斜率3.微分的概念設，導數兩邊同乘，得到函數的微分，微分4.導數公式 5.微分公式由導數公式可以得到微分公式；問題思考：設則證明如下：因為，；于是三、例題講解例1，求思路：先求，再求.解：因為所以，例2 ，求解: 因為，所以導數公式：求導步驟：1、求；2、求.注意：是的導函數，函數在處的導數

15、值四、課堂練習練習1 設，且存在，求.利用已知條件對進行適當的變形，再用導數定義求極限.由導數定義，上式極限存在且就是函數在處的導數，即為練習2 設函數在處可微，求.利用已知條件，函數可微一定連續.可以證明函數可導與可微是等價的，可導一定連續，反之則不然.因為函數可微一定連續，所以 五、課后作業1.根據導數定義，求下列函數的導數：（1）；（2）2.求下列函數在指定點處的導數：（1）；（2）；（3）；（4）3.求下列函數的導數和微分：（1）；（2）；（3）；（4）4.求曲線在（1，0）點處的切線方程.5.在拋物線上求一點，使得該點處的切線平行于直線 1（1）；（2）；2（1）27；（2）；（3）

16、ln2；（4）。3（1）0； （2）； （3）； （4）.4；5第二節 導數的四則運算法則一、學習目標通過本課程的學習，我們要熟練掌握導數的四則運算法則，并且能夠熟練運用四則運算法則計算函數的導數與微分.1.導數的加法法則設在點處可導，則在點處可導亦可導，且，（為常數）2.加法公式證明求證導數的加法法則證：設，則，； 由已知條件，均可導.3.導數的乘法法則設在點處可導，則在點處可導亦可導，且，4.導數除法法則設在點處可導，則在點處可導亦可導，且（） 問題思考：設在點處可導且，則.解：由導數的除法法則三、例題講解例1 設函數，求分析：現在分別知道冪函數和常數函數的導數公式，利用上述法則可求它們組

17、合后函數的導數.解：（利用加法法則）=（利用導數公式）例2 設，求.解：（提示）例3 設，求.解：（提示）例4 ，解：因為（由對數的性質：）所以（其中常數的導數為0）例5 設，求解：利用導數的乘法法則，（利用導數公式）例6 ，求.解：由導數基本公式 利用導數的乘法法則說明無論用哪種方法其結果是唯一的.例7 ，求.解： 將函數看成，利用乘法法則求導. 利用導數的除法法則求導，其中兩個結果是完全一樣的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.四、課堂練習練習1 設，求練習2 設，求.練習3 設，求.求下列函數的導數或微分：五、課后作業1.，求；2.,求；3. 求；4.，求；5.，求；6.，求；7.，

18、求；8.，求；9.，求；10.，求.1.；2.；3.；4.；5.； 6.；7.；8.；9.；10.第四單元 復合函數求導與高階導數第一節 復合函數與隱函數求導法則一、學習目標在本節課中，我們學習復合函數求導法則和隱函數求導方法，學習之后我們要能夠運用復合函數求導法則計算初等函數的導數與微分，能夠計算隱函數的導數或微分.二、內容講解（一）復合函數求導1.復合函數求導問題：（1），求；（2），則解：第一個問題，求導數沒有直接公式可用.方法1：將函數展開，利用加法法則有方法2：將函數寫成兩個因式乘積的形式，利用四則運算法則求導數.第二個問題，展開？共101項，求導很麻煩.寫成因式乘積的形式，求導也將

19、很麻煩.在這節課我們將介紹復合函數求導法則.討論，引進中間變量2.復合函數求導法則定理 設y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點x處可導，y=f(u)在點u=j(x)處可導，則復合函數y=f(j(x)在點x處可導，且或3.復合函數求導步驟（1）分清函數的復合層次，找出所有的中間變量；（2）依照法則，由外向內一層層的直至對自變量求導.4.多層復合的函數求導數對于多層復合的函數，即若，則 或注意：多層復合的函數求導數仍是經過一切中間變量直至對自變量求導.（二）隱函數求導1.隱函數求導問題: 求由方程所確定的隱函數的導數？解：先將從方程中解出來，得到和分別求導和，將和分別代入，得，（1）由（

20、1）解得，（2）在（2）中隱含2.隱函數求導方法步驟（1）方程兩邊求導，；（2）整理方程，求出.問題思考：設，則錯誤.正確求解過程為：，。注意：.三、例題講解例1 求下列函數的導數或微分（1），求解：方法一:由，方法二: 利用復合函數求導法則，設，（2），求解：利用復合函數求導法則，設，.（3），求.解：利用復合函數求導法則，設，例2設，求解：先求一般點上函數的導數，再將代入求得結果.設，利用復合函數求導法則，例3設函數，求.解：（首先對函數進行分解，找出所有中間變量），例4 求函數，求.解：例5 設函數，求.解 ，例6 求由方程所確定的隱函數的導數.解：方程兩邊對自變量求導數，此時是中間變量.，解出（與前面的結果相同）.例7 求由方程所確定的隱函數的導數？解