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文檔簡介

1、第九章 力學量本征值問題的代數解法本征值問題的解法: 分析解法,代數解法§9.1 一維諧振子的Schrödinger因式分解法 升、降算符一、Hamilton量的代數表示一維諧振子的Hamilton量可表為采用自然單位(),(此時能量以為單位,長度以為單位,動量以為單位)則而基本對易式是。令,其逆為,。利用上述對易式,容易證明(請課后證明)將兩類算符的關系式,代入一維諧振子的Hamilton量,有上式就是Hamilton量的因式分解法,其中。由于,而且在任何量子態下所以為正定厄米算符二、Hamilton量的本征值下面證明,若的本征值為,則的本征值為(自然單位,),證明:設|

2、n>為的本征態( n為正實數),即利用及容易算出,因此。但上式 左邊由此可得。這說明,也是的本征態,相應本征值為。如此類推,從的本征態出發,逐次用運算,可得出的一系列本征態,相應的本征值為,因為為正定厄米算子,其本征值為非負實數。若設最小本征值為,相應的本征態為,則此時即是的本征值為0的本征態,或。此態記為,又稱為真空態,亦即諧振子的最低能態(基態),對應的能量本征值 ( 加上自然單位)為。利用同樣可以證明這說明也是的本征態,本征值為。利用上式及,從出發,逐次用運算,可得出的全部本征態:利用,有。已知是的本征態,本征值是0由可知即也是的本征態,本征值是1。下面看是否也是的本征態,本征值是

3、多少?顯然故也是的本征態,本征值是2。這樣對本征態 ,本征值為, , ,本征值為, , ,所以,可以成為上升算符,可以稱為下降算符。證畢。這種描述體系狀態的表象叫粒子數表象。利用歸納法可以證明(課下證):(即)的歸一化本征態可表為(為什么?)且滿足,由得所以從而有而由得所以或上式作用任一左矢,有利用,有,代入上式,即或利用,上式變為移項,得。上式對任意m都成立,所以或。連同,這就是下降和上升算符的定義,很有用處。三、升降算符的應用1. 坐標和動量算符的矩陣元計算利用以及,容易證明:拿第一式的證明為例。因為,所以2. 能量本征態在坐標表象中的表示考慮基態,它滿足即。在坐標表象中,上式可以寫為插入

4、完備性關系得已經知道令,代入前式可以得出利用積分中函數的性質可得把,并注意,有解出得添上自然單位,可得出在坐標表象中的歸一化基態波函數為而坐標表象中激發態的波函數為由于,添上長度的自然單位,可得所以上次課復習,升降算符的應用四、S-方程因式分解的條件上述的因式分解法是Schrödinger提出來的。可以證明,對于存在束縛態的一維勢阱,只要基態能量有限, 存在,則可定義相應的升降算符,并對Hamilton量進行因式分解。另外還可以證明,對于r冪函數形式的中心勢,只當(Coulomb勢)或 (各向同性諧振子勢)時,徑向S-方程才能因式分解。總之,S -方程的因式分解與經典粒子束縛運動軌道

5、的閉合性有某種關系。§9.2 角動量算符的本征值和本征態前面我們學習了軌道角動量、自旋角動量的性質(本征值和本征態)以及它們之間的耦合問題。下面我們對角動量算符的本征值和本征態作一般的討論。一、一般角動量算符的對易關系如果算符,其三個分量滿足下列對易關系,則以作為三個分量的矢量算符稱為角動量算符。且式,稱為角動量的基本對易式。軌道角動量,自旋角動量以及總角動量的各分量都滿足此基本對易式。以下根據此基本對易式及角動量算符的厄米性來求出角動量的本征值和本征態。定義利用角動量分量間的一般對易式容易證明:,定義其逆表示為,同樣可以證明:利用角動量的定義及分量的對易關系,上述幾個式子是很容易證

6、明的。利用,有所以。二、角動量本征值和本征態的代數解法1. 聲子的概念前面我們在粒子數表象時所用的對易關系式是針對玻色子體系而言的。我們知道,光是玻色子,在被量子化后形成“光子”的概念。同樣,晶體里的格波(其實就是一種聲波)的能量也是量子化的。人們把量子化了的格波叫做“聲子”。聲子和光子一樣都是玻色子。2. 角動量本征值和本征態的代數解法考慮二維各向同性諧振子,相應的兩類聲子產生和湮滅算符用,和,表示,并滿足,定義正定厄米算符,其本征值分別為和,它們分別表示兩類聲子的數目。和的歸一化共同本征態可表為定義算符由此定義角動量升降算符利用對易式,容易證明,這正是角動量的基本對易式()。 因為,所以即

7、同理可證其它幾個分量對易式。同樣可證明關系式其中,其本征值為。這樣,的本征值可表為,且(?)即角動量量子數只能取非負整數或半整數。由前述可知,是、和的共同本征態,但,故也是的共同本征態,且考慮到角動量本征態的習慣寫法,不妨將改寫為,并定義,現在的問題是,對于給定的,即,m可以取那些值?下面予以分析:,1,0而,即m可以取這個值。式,的逆可表示為,因而可改寫為相應地,利用,式可改寫為其中,另外,請同學們課下證明一個非常重要的關系式提示:1.首先證明是的屬于本征值的本征函數;2.利用本征值的非簡并性,即得出的值。請參閱陳鄂生量子力學習題與解答 p55作業:p260 2, 3§9.3 兩個

8、角動量的耦合與CG系數前面我們討論過兩個具體角動量的耦合自旋與軌道角動量的耦合自旋與自旋角動量的耦合下面討論兩個一般角動量的耦合一、兩個角動量的耦合設與分別表示第一和第二粒子的角動量,即(取),這兩個角動量分別對不同粒子的態矢運算,屬于不同的自由度,因而是彼此對易的:,定義兩個角動量之和,這就是兩個角動量耦合的一般定義。利用兩個角動量各分量滿足的基本對易式,同上節介紹的方法可以證明或表成。設的共同本征態記為,即類似地,的共同本征態記為對兩個粒子組成的體系,如果只考慮角動量所涉及的自由度,其任何一個態必然可以用來展開。即可作為體系力學量完全集, 而是它們的共同本征態。1. 非耦合表象以共同本征態

9、為基矢的表象稱為非耦合表象。在給定,的情況下,所以有個,即它們張開維子空間。2. 耦合表象考慮到,也構成兩粒子體系的一組力學量完全集,共同本征態記為,即以共同本征態為基矢的表象稱為耦合表象,基矢簡記為。問題:當給定,可取哪些值?基矢與之間的關系如何?二、兩種耦合表象基矢之間的關系CG系數1. Clebsch-Gordan系數令上式的物理意義是明顯的。我們將展開系數稱之為Clebsch-Gordan系數,簡稱CG系數。顯然CG系數是維子空間中耦合表象基矢與非耦合表象基矢之間的幺正變換矩陣元。考慮到,將上式兩邊分別作用到下式兩邊有對因為,所以將代入上式左邊,并移項得由于是正交歸一完備基矢,上式要成

10、立,展開系數必然要滿足下列條件而是不能為0的?所以只有,即故在式的兩個求和指標中,只有一個是獨立的,從而上式可以寫成如下的形式第一次課遺留的問題:如何由升算符的定義式導出降算符的定義式?上次課復習,則以,作為三個分量的矢量算符稱為角動量算符。,定義正定厄米算符,和的歸一化共同本征態可表為,我們將展開系數稱之為Clebsch-Gordan系數,簡稱CG系數。CG系數有什么性質?2. Clebsch-Gordan系數的性質1)Clebsch-Gordan系數的實數性由前所述可知, CG系數實際上是兩個表象基矢的幺正變換或重疊積分,它可能是復數。根據基函數的性質,表象的基矢具有相位不定性,從而兩個表

11、象之間的幺正變換也有一個相位不定性。如果相位選擇適當, 就可以使CG系數成為實數。在此情況下,有下兩式及代入正交歸一關系有或即 當時,給出利用波函數的正交歸一性,顯然有2)Clebsch-Gordan系數的幺正性由于CG系數是實數,所以由式取逆得上式很容易理解:兩個表象基矢的轉換是相互的,不過要利用條件將上式代入正交歸一性關系得或當時,上式進一步寫為上式正是CG系數幺正性的體現。三、的取值范圍已經知道,給定和,有即所以按照角動量的矢量耦合性質,給定和見右圖。除此之外,還可以取哪些值?是多少?這可以從及下兩式定出的值給出:上表中箭頭方向表示的一組取值。由這個規律可以定出, 對每一組值,取什么值。從上表中可以看出,的取值除之外,還可以取,依次遞減1,直到問題:?方案:由空間維數確定。非耦合表象

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