1、一一. .數字濾波器的概念數字濾波器的概念. .濾波器：濾波器： 指對輸入信號起濾波作用的裝置。指對輸入信號起濾波作用的裝置。 , , 對其進行傅氏變換得對其進行傅氏變換得: : )(ny)()()(nhnxny)()()(eHeXeYjjj)(nh 2 2、當輸入、輸出是離散信號，、當輸入、輸出是離散信號，濾波器的沖激響應是單位抽樣響應濾波器的沖激響應是單位抽樣響應 h h（n n）時，）時，這樣的濾波器稱作這樣的濾波器稱作數字濾波器數字濾波器。)(nxc c)(jeX00c c)( jeY0c c)(jeHH(eH(ejj) )為矩形窗時為矩形窗時的情形的情形二、數字濾波器的系統函數與差分

2、方程二、數字濾波器的系統函數與差分方程NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(H(z)X(z)Y(z)1 1、系統函數、系統函數 2 2、差分方程、差分方程 對上式進行對上式進行Z Z反變換，即得反變換，即得NkMkkkknxbknyany10)()()( 3 3、濾波器的功能與實現、濾波器的功能與實現 濾波就是對輸入序列濾波就是對輸入序列 進行一定的運算操進行一定的運算操 作從而得到輸出序列作從而得到輸出序列 實現濾波從運算上看實現濾波從運算上看, ,只需三種運算：只需三種運算： 加法、單位延遲、乘常數加法、單位延遲、乘常數。 因此實現的方法有兩種：因此實現的方法有兩種： （1

3、 1）利用通用計算機編程，即軟件實現）利用通用計算機編程，即軟件實現; ; （2 2）數字信號處理器（）數字信號處理器（DSPDSP）即專用硬件實現。）即專用硬件實現。)(nx)(ny)e (Hj)e (Hj)e (Hj0c234023低通低通0c23高通高通帶通帶通)e (Hj)e (Hj002233帶阻帶阻全通全通 一個理想的選頻濾波器，可以讓信號中的某些頻一個理想的選頻濾波器，可以讓信號中的某些頻率分量完全通過，同時完全抑制另外那些無用的頻率率分量完全通過，同時完全抑制另外那些無用的頻率分量，它的期望特性分量，它的期望特性( (設計指標設計指標) )一般都是以幅頻響應一般都是以幅頻響應和

4、相頻響應的形式給出的。例如，一個理想的低通濾和相頻響應的形式給出的。例如，一個理想的低通濾波器，其頻率響應為：波器，其頻率響應為： 1 ()0 cjcH e即在濾波器的通頻帶內，其幅頻響應為一常數，相頻即在濾波器的通頻帶內，其幅頻響應為一常數，相頻響應為數字角頻率的線性函數。它的單位沖激響應為響應為數字角頻率的線性函數。它的單位沖激響應為 sin( )cccnh nn 可見該系統是非因果的，因此是物理不可實現的。這個可見該系統是非因果的，因此是物理不可實現的。這個結論可以擴展到更一般的情況，就是說任何具有平坦的通帶結論可以擴展到更一般的情況，就是說任何具有平坦的通帶和阻帶或者具有陡峭截止特性的

5、濾波器，無論它是和阻帶或者具有陡峭截止特性的濾波器，無論它是LPLP、HPHP、BPBP或或BSBS都是非因果的，物理不可實現。都是非因果的，物理不可實現。 因此在工程上，我們總是用一物理可實現的線性時不變因此在工程上，我們總是用一物理可實現的線性時不變系統去逼近理想情況，例如在上例中，一般在沖激響應系統去逼近理想情況，例如在上例中，一般在沖激響應h(n)h(n)引入較大的延時引入較大的延時 n n0 0，使它逼近于因果系統，使它逼近于因果系統 0() 0( )0 0h nnnh nn 這樣，這樣，h(n)h(n)的傅里葉變換的傅里葉變換H(eH(ejwjw) )就不再具有理想的就不再具有理想

6、的頻率特性。好在工程上的濾波器設計只要滿足一定的容差頻率特性。好在工程上的濾波器設計只要滿足一定的容差條件就可以了，容差條件可以用容線圖來描述條件就可以了，容差條件可以用容線圖來描述 11 1 1、DFDF的性能要求的性能要求)e (Hj0cst211 :c:st通帶截止頻率通帶截止頻率阻帶截止頻率阻帶截止頻率2：阻帶容限：阻帶容限1: 通帶的容限通帶的容限通帶通帶阻帶阻帶過渡帶過渡帶 平滑過渡平滑過渡2)(,jsteH,stc111)(1 ,jceH低通濾波器的性能指標低通濾波器的性能指標高通濾波器的性能指標高通濾波器的性能指標fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截

7、止頻率：fp(wp)又稱為通帶下限頻率。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：fp(ws)又稱阻帶上限截止頻率。阻帶衰減：As帶通濾波器的性能指標帶通濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws2帶阻濾波器的性能指標帶阻濾波器的性能指標fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通帶截止頻率：上限截止頻率fp2(wp2)，下限截止頻率fp1(wp1)

8、。通帶衰減：Ap阻帶截止頻率：上限截止頻率fs2(ws2)，下限截止頻率fs1(ws1)。阻帶衰減：Asfp2wp2fs2ws22、通常具體技術指標、通常具體技術指標，即歸一化）（式中均假定：阻帶應達到的最小衰減通帶允許最大衰減：1)()(lg20)()(lg20)()(lg20)()(lg20000jjwjwjjwjwjeHdBeHeHeHAsdBeHeHeHApststcc3 3、DFDF頻響的三個參量頻響的三個參量 （1 1）幅度平方響應）幅度平方響應 （2 2）相位響應）相位響應)()()()()(*2jjjjjeHeHeHeHeHjezzHzH)()(1)(Im)(Re)()()(j

9、jejjjeHjeHeeHeHj)(Re)(Im)(1jjjeHeHtge（3 3）群延遲）群延遲dedejj)()(它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數時，就是它是表示每個頻率分量的延遲情況；當其為常數時，就是表示每個頻率分量的延遲相同。表示每個頻率分量的延遲相同。4 4、DFDF設計內容設計內容 （1 1）按任務要求確定）按任務要求確定FilterFilter的性能指標；的性能指標； （2 2）用）用IIRIIR或或FIRFIR系統函數去逼近這一性能要求；系統函數去逼近這一性能要求； （3 3）選擇適當的運算結構實現這個系統函數；）選擇適當的運算結構實現這個系統函數； （4 4）用軟

10、件還是用硬件實現。）用軟件還是用硬件實現。第第7 7章章 IIR IIR濾波器的設計濾波器的設計7.1 7.1 引言引言一一 、IIRIIR數字數字filterfilter的設計方法的設計方法 （1 1）借助模擬）借助模擬filterfilter的設計方法的設計方法 a. a. 將將DFDF的技術指標轉換成的技術指標轉換成AFAF的技術指標；的技術指標； b. b. 按轉換后技術指標、設計模擬低通按轉換后技術指標、設計模擬低通filterfilter的的 ； c. 將將 d. 如果不是低通，則必須先將其轉換成低通如果不是低通，則必須先將其轉換成低通AFAF的的 技術指標。技術指標。 （2 2）

11、 計算機輔助設計法（最優化設計法）計算機輔助設計法（最優化設計法） 先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，先確定一個最佳準則，如均方差最小準則，最大誤差最小準則等，然后在此準則下最大誤差最小準則等，然后在此準則下 ， 確定系確定系統函數的系數。統函數的系數。) s (Ha)()(zHsHa 以上兩種設計方法中，著重講第一種，因為以上兩種設計方法中，著重講第一種，因為數字濾波器在很多場合所要完成的任務與模擬濾波數字濾波器在很多場合所要完成的任務與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網絡等，這器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網絡等，這時數字濾波也可看作是時數字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬

12、濾波器。在模擬濾波器。在IIRIIR濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普遍。濾波器設計中，采用這種設計方法目前最普遍。由于計算機技術的發展，最優化設計方法的使用也由于計算機技術的發展，最優化設計方法的使用也逐漸增多。逐漸增多。二、二、將將DFDF的技術指標轉換為的技術指標轉換為ALFALF的技術指標的技術指標1 1、意義、意義 AFAF的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；的設計有一套相當成熟的方法：設計公式；設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃什，切比雪設計圖表；有典型的濾波器，如巴特沃什，切比雪夫等。夫等。2 2、一般轉換方法、一般轉換方法 （1 1） （2 2） （3 3） （4 4）A

13、LFDLF ALFAHFDHFALFABFDBFALFABSFDBSF3 3、轉換舉例、轉換舉例 例如，一低通例如，一低通DFDF的指標：在的指標：在 的通帶的通帶范圍，幅度特性下降小于范圍，幅度特性下降小于1dB1dB；在；在 的的阻帶范圍，衰減大于阻帶范圍，衰減大于15dB15dB；抽樣頻率；抽樣頻率 ；試將這一指標轉換成試將這一指標轉換成ALFALF的技術指標。的技術指標。 解：按照衰減的定義和給定指標，則有解：按照衰減的定義和給定指標，則有2 . 03 . 0kHzfS101)e (H/ )e (Hlg202 . 0 j0 j15)e (H/ )e (Hlg203 . 0 j0 j 假

14、定假定 處幅度頻響的歸一化值為處幅度頻響的歸一化值為1 1，即即01)e (H0 j這樣，上面兩式變為這樣，上面兩式變為1)(lg202 . 0jeH15)(lg203 . 0jeH由于由于 ，所以當沒有混疊時，根據關系式，所以當沒有混疊時，根據關系式模擬模擬filterfilter的指標為的指標為T),()()(jHTjHeHaaj1)102(lg20)2 . 0(lg203jHTjHaa15)103(lg20)3 . 0(lg203jHTjHaa三、三、ALFALF的設計的設計 ALFALF的設計就是求出的設計就是求出filterfilter的系統函數的系統函數 Ha(S) ，使其逼近理想

15、使其逼近理想LFLF的特性，逼近的形式（的特性，逼近的形式（filterfilter的類型）的類型）有巴特沃什型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近有巴特沃什型，切比雪夫型和考爾型等。而且逼近依據是依據是幅度平方函數幅度平方函數，即由幅度平方函數確定系統，即由幅度平方函數確定系統函數。函數。1 1、由幅度平方函數確定系統函數、由幅度平方函數確定系統函數 （1 1）幅度平方函數）幅度平方函數)()()()(*22jHjHjHAaaa由于由于 所以所以)()(*jHjHjsaaaasHsHjHjHA)()()()()(2 其中，其中， 是是AFAF的系統函數，的系統函數， 是是AFAF的頻響，的頻響，

16、 是是AFAF的幅頻特性。的幅頻特性。) s (Ha)j (Ha)( jHa（2 2）H Ha a（S S）H Ha a（-S-S）的零極點分布特點）的零極點分布特點 a. a. 如果如果S1是是Ha（S）的極點，那麼的極點，那麼- S1就是就是H Ha a（-S-S）的極點；同樣，如果的極點；同樣，如果S0是是Ha（S）的零點，那麼的零點，那麼- S0就是就是Ha（-S）的零點。所以的零點。所以Ha（S） Ha（-S）的零極點是呈的零極點是呈象限對稱的象限對稱的, ,例如：例如： b. b. 虛軸上的零點一定是二階的，這是因為虛軸上的零點一定是二階的，這是因為ha（t）是實數時的是實數時的H

17、a（S）的零極點以共軛對存在；的零極點以共軛對存在； c. c. 虛軸上沒有極點（穩定系統在單位圓上無極點）；虛軸上沒有極點（穩定系統在單位圓上無極點）； d. d. 由于由于filterfilter是穩定的，所以是穩定的，所以Ha（S）的極點一定在的極點一定在左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無此左半平面；最小相位延時，應取左半平面的零點，如無此要求，可取任一半對稱零點為要求，可取任一半對稱零點為Ha（S）的零點。的零點。 ;1111jj;2222jj;3344jjj11j3322j22j11j4j4 j(3) (3) 由由 確定確定 的方法的方法 a. a. 求求 b. b.

18、分解分解 得到各零極點，將左半面的得到各零極點，將左半面的 極點歸于極點歸于 ，對稱的零點任一半歸，對稱的零點任一半歸 。 若要求最小相位延時，左半面的零點歸若要求最小相位延時，左半面的零點歸 （全部零極點位于單位圓內）。（全部零極點位于單位圓內）。 c. c. 按頻率特性確定增益常數。按頻率特性確定增益常數。 22)()(jHAa)(sHa22)()()(2SaaAsHsH),S(H)S(Haa)S(Ha)S(Ha)S(Ha例例 由由)36)(49/()25(16)(22222A確定系統函數確定系統函數 。)(SHa解：解：)36)(49()25(16)()()(2222222SSSASHS

19、HSaa所以，極點為所以，極點為 零點為零點為, 6s , 7s4, 32, 1, 5 j均為二階的。我們選極點均為二階的。我們選極點-6，-7，一對虛軸零點，一對虛軸零點5 j為為 的零極點，這樣的零極點，這樣)S(Ha)6S)(7S()25S(K)S(H20a由由 ，可確定出，可確定出 ，)0(A)0(Ha0K76K25)0(H0a,76254)0(A所以所以 。4K0因此因此42S13S100S4)6S)(7S()25S(4)S(H222a因因7.2 7.2 常用模擬濾波器設計常用模擬濾波器設計一、巴特沃什低通濾波器一、巴特沃什低通濾波器 1 1、 巴特沃什模擬低通濾波器的響應及其特點巴

20、特沃什模擬低通濾波器的響應及其特點NCajjjHA222)(11)()(其中，其中，N N 為為filterfilter的階數；的階數； 為通帶截止頻率。為通帶截止頻率。 a a、C特點：具有通帶內最大平坦的振幅特性，且隨特點：具有通帶內最大平坦的振幅特性，且隨ff 幅頻特性幅頻特性A(QA(Q2 2) )單調單調。1)(, 0)( , 102jQHQQQQ，QQaNccc則時當21)(, 1jQHQQ，QQacc則時當0)(, 1)( , 12jQHQQQQ，QQaNccc則時當注：巴特沃什模擬低通濾波器的帶寬恒為注：巴特沃什模擬低通濾波器的帶寬恒為3dB3dB帶寬，與階數無關帶寬，與階數無

21、關(b).(b).巴特沃什濾波器在通帶內和阻帶內均為單調變化，巴特沃什濾波器在通帶內和阻帶內均為單調變化，單單 調下降調下降函數。函數。(d).隨階次的隨階次的增大增大而越來越接近于理想低通濾波器。而越來越接近于理想低通濾波器。(c).(c).當當 并且由于幅度平方函數并且由于幅度平方函數 的的 前前2N-12N-1階導數在階導數在Q=0Q=0處為零，故又稱為處為零，故又稱為最大平坦最大平坦響應濾響應濾 波器。波器。 1)(, 0jQHQa2)( jQHa幅頻特性幅頻特性)j (Ha1.01.02/10 0N=2N=2N=4N=4N=8N=8c 通帶：使信號通過的頻帶通帶：使信號通過的頻帶 阻

22、帶：抑制噪聲通過的頻帶阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c c ：通帶邊界頻率。：通帶邊界頻率。理理想想濾濾波波器器過渡帶為零過渡帶為零阻帶阻帶|H(j)|=0|H(j)|=0通帶內幅度通帶內幅度 |H(j)|=const.|H(j)|=const. H(j) H(j)的相位線性的相位線性2 2、 巴特沃什巴特沃什filterfilter的系統函數的系統函數)(SHa由由 所以其零點全所以其零點全部部在在 處；即所謂全極點型，假設處；即所謂全極點型，假設Qc=1Qc=1，則它，則它的極點為的極點為,)(1/1)()(2NCaajSS

23、HSHS也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布也就是說，這些極點也是呈象限對稱的。而且分布在巴特沃什圓上（半徑為在巴特沃什圓上（半徑為 ），共有），共有2N2N點。點。C為偶數時當為奇數時當為偶數時當為奇數時當N，eN，eSN，eN，eSNNkjNkjk）kj（kjNN)2(2212) 1(12210N、k例如，例如，N=2N=2時，時，,431jCeS,eS45jC2,eS47jC3N=3N=3時，時，,eS35jC4;eS49jC4,eS32jC1,eSjC2,eS34jC3,eS2jC537jC6eSj2N 1S2S3S4S1S2S3S4S5S6Sj3N 4NkeSkjck2,.,

24、1,)41221(考慮到系統的穩定性，取考慮到系統的穩定性，取 左半平面的左半平面的極點為極點為 的極點，這樣極點僅有的極點，這樣極點僅有N 個，即個，即其中，常數其中，常數 由由 的低頻特性決定。的低頻特性決定。)()(SHSHaa)(SHaNkeSNkjCk, 2 , 1,)21221( 則則NkkaSSKSH10)()(0K)(SHa注：極點不可能出現在虛軸上，而是等間隔的分布在注：極點不可能出現在虛軸上，而是等間隔的分布在 以以QcQc為半徑的圓周上，間隔為為半徑的圓周上，間隔為N/23j21eS34j3 例例 導出三階巴特沃什導出三階巴特沃什LFLF的系統函數，設的系統函數，設s /

25、rad1C解：解：所以所以)1(6622111/1)()(jjjHA6aaS1/1)S(H)S(H其極點為其極點為因此有因此有,23j21eS32j1, 1eSj2,23j21eS35j4, 1eS2j523j21eS37j6取前三個極點，則有取前三個極點，則有1S2S2SK) 1S)(23j21S)(23j21S(K)S(H2300a1210,N、keSNkjk, 1)0(AK)0(H0a1S2S2S1)S(H23a3 3、 歸一化的系統函數歸一化的系統函數 如果將系統函數的如果將系統函數的S, S, 用濾波器的截止頻率去除，這用濾波器的截止頻率去除，這樣對應的截止頻率變為樣對應的截止頻率變

26、為1 1，即所謂歸一化，相應的系統，即所謂歸一化，相應的系統函數稱作歸一化的系統函數記作函數稱作歸一化的系統函數記作例如，對于巴特沃什例如，對于巴特沃什filterfilter)S(Han,)SS(K)S(HN1kk0a)N21k221( jCkeSN, 2 , 1k )21221(10,)()(NkjkCNkkaneSSSSSKSH如果將低通如果將低通filterfilter歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。歸一化，就稱作歸一化原型濾波器。4 4、歸一化原型、歸一化原型filterfilter的設計數據的設計數據 不論哪種形式（巴特沃什，切比雪夫）的不論哪種形式（巴特沃什，切比雪夫）的filt

27、erfilter，都有自己的歸一化原型都有自己的歸一化原型filterfilter，而且它們都有現成的數，而且它們都有現成的數據表可查和設計公式據表可查和設計公式 例如，歸一化巴特沃什原型例如，歸一化巴特沃什原型filterfilter的系統函數（這的系統函數（這里的里的S S即即 ）為）為當當 , ,增益為增益為1 1，則有，則有 ，N=1-10N=1-10階的各階的各個系數，如表所示。個系數，如表所示。 如果如果 ，則，則 E E（S S）的根。即）的根。即 的極點所示。的極點所示。 * * 由歸一化系統函數由歸一化系統函數 得得 ，只需將，只需將S S代代入入 即可。即可。SN2210a

28、nSSaSa1d)S(H 01ad00)S(E/d)S(H0an)S(Han)S(Han)S(HaC/S 5 5、設計舉例（巴特沃什、設計舉例（巴特沃什filterfilter） a. a. 技術指標技術指標 b. b. 計算所需的階數及計算所需的階數及3dB3dB截止頻率截止頻率 將技術指標，代入上式，可得將技術指標，代入上式，可得1)102 j (Hlg203a15)103 j (Hlg203a)(1/1)j (HN2C2a)(1lg10)j (Hlg20N2Ca1)102(1lg10N2C315)103(1lg10N2C3解上述兩式得：解上述兩式得：1 . 0N2C310)102(15

29、. 1N2C310)103(1因此，因此，3C1004743. 7,8858. 5N取取N=6N=6，則，則3C100321. 7c. c. 的求得的求得查表，可得查表，可得N=6N=6時的歸一化原型模擬巴特沃什時的歸一化原型模擬巴特沃什LFLF的的系統函數為系統函數為3456anS1416202. 9S4641016. 7S8637033. 3S/(1)S(H) 1S8637033. 3S4641016. 72) 1S4142135. 1S)(1S51763809. 0S/(122)1S931851652. 1S(2)(sHa將將S用用 代入，可得代入，可得3C100321. 7/SS)S(

30、Ha)104504.49S1064003. 3S/101 .120923)S(H6328a)104504.49S1058498.13S)(104504.49S1094475. 9S(632632二、切比雪夫（二、切比雪夫（chebyshevchebyshev）濾波器）濾波器 特點：誤差值在規定的頻段上等幅變化。特點：誤差值在規定的頻段上等幅變化。 巴特沃什濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的巴特沃什濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內的衰減足夠小，需要降很多，或者說，為了使通常內的衰減

31、足夠小，需要的階次（的階次（N N）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的多項式逼近所希望的 。 切比雪夫濾波器的切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內是等幅起在通帶范圍內是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數較巴特沃什濾波伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數較巴特沃什濾波器要小。可根據需要對通帶內允許的衰減量（波動范器要小。可根據需要對通帶內允許的衰減量（波動范圍）提出要求，如要求波動范圍小于圍）提出要求，如要求波動范圍小于1db1db。 c2)( jH2)( jH1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxTN1 1、T TN

32、N（x x）N N階切比雪夫多項式，定義為階切比雪夫多項式，定義為coshxcoshx返回返回x x的雙曲余弦值，定義為的雙曲余弦值，定義為 (exp(x) + exp(-x)/2 (exp(x) + exp(-x)/2 利用遞推公式：利用遞推公式： 及及可以得任意階數的切比雪夫多項式的展開式：可以得任意階數的切比雪夫多項式的展開式：11( )2( )( )NNNTxxTxTxxx，TxT)(1)(1022( )21T xx33( )43T xxx424( )881T xxx535( )16205T xxxx一般而言，有一般而言，有(a).N(a).N階切比雪夫多項式階切比雪夫多項式 為為x

33、x的的N N階多項式階多項式)(xTN)(xTN)(xTN為偶數為奇數為偶數為奇數時當NN，TNNT，xNN10)0(10)0(021)1(1N，Tx時(b).N(b).N為奇數時，為奇數時， 為奇函數；為奇函數；N N為偶數時，為偶數時， 為偶函數為偶函數)(, 11)(,1xTxxxTxNN時(c).(d).(d).當當振幅平方函數為振幅平方函數為)(11)()(2222cNaTjHAc10有效通帶截止頻率有效通帶截止頻率與通帶波紋有關的參量，與通帶波紋有關的參量， 大大 ，波紋大。，波紋大。 2 2、頻率響應及其特點、頻率響應及其特點 如圖如圖 ,通帶內通帶內 變化范圍變化范圍1 c ，

34、隨，隨/c ， 0 (迅速趨于零迅速趨于零)平方幅頻特性在過渡區和阻帶內單調下降平方幅頻特性在過渡區和阻帶內單調下降, ,當其幅度減小到當其幅度減小到1/A1/A2 2處時的頻率稱為阻帶截止頻率處時的頻率稱為阻帶截止頻率當當 =0時，時， N為偶數，為偶數， ，min ， N為奇數，為奇數， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa)1lg(1021101.02)(dB 給定通帶波紋值分貝數

35、給定通帶波紋值分貝數 后，可求后，可求 。3 3、 有關參數的確定有關參數的確定: : a a、通帶截止頻率、通帶截止頻率c c，預先給定，預先給定 b b、通帶波紋為、通帶波紋為 c c、階數、階數N N由阻帶的邊界條件確定。（由阻帶的邊界條件確定。（ 、A A事先給定）事先給定） r1lg ) 1(lg22ssQQggN則處的衰減為阻帶,12sQA)(1) 1(22sNjQHAAg其中)(sHN0)(122jsTNNNNNkkkkkkkbaQbabQajQS1212121222221121112111211121,1:,由以下兩式確定其中方程為圓上則極點在一個橢如果極點位置表示為（3 3）

36、 濾波器的傳遞函數濾波器的傳遞函數 的確定的確定: : NkbQNkakk2) 12(cos2) 12(sinNNNNNNNNkNssbsbsbbsVVkNVkNksVksskSHS112210212)()1()0()0(,)()()(:為偶數時當為奇數時當為歸一化因子其中傳遞函數為平面極點可以求得系統利用左半例：試設計一切比雪夫例：試設計一切比雪夫LFLF，使其滿足下述指標：，使其滿足下述指標： 1 1、要求在通帶內的波紋起伏不大于、要求在通帶內的波紋起伏不大于2dB2dB 2 2、截止頻率為、截止頻率為40rad/s40rad/s 3 3、阻帶、阻帶52rad/s52rad/s處的衰減大于

37、處的衰減大于20dB20dB解解（1 1）歸一化處理）歸一化處理a.a.歸一化截止頻率歸一化截止頻率QcQc為為1rad/s.1rad/s.b.b.歸一化阻帶歸一化阻帶Qs=52/40=1.3rad/sQs=52/40=1.3rad/s （2 2）參數求取）參數求取765. 02)1 (1lg20) 1(lg20212求得jHN)693. 0459. 0081. 0(081. 0)()()1 . 3(25443322105ssssbsbsbsbbksHc函數求得歸一化濾波器系統查表53 . 41lg1lg01.13) 1(1020)1 (lg20)3 . 1(lg2022222NQQggNAg

38、AAjHssN則選求得 （3 3）函數確定）函數確定)6271 .14)(152039. 5)(73. 8(1037. 8)(:,40/,402265ssssssHssQc波器傳遞函數即可得到所要設計的濾代換用濾波器傳遞函數中只要將上述歸一化原型為滿足)39. 035. 0)(95. 0135. 0)(21. 0(081. 0)(:)60. 017. 0)(60. 017. 0()97. 006. 0)(97. 006. 0)(21. 0(081. 0)(:)2 . 3(2255ssssssHjsjsjsjsssHC實數形式為將上式共軛對展成二次式展開式為可得極點位置和二次因查表 4 4、橢圓

39、濾波器（考爾濾波器）、橢圓濾波器（考爾濾波器） 特點：幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的，特點：幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的，對于給定的階數和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲對于給定的階數和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優的。濾波器是最優的。 其振幅平方函數為其振幅平方函數為 R RN N（，L L）雅可比橢圓函數雅可比橢圓函數L L表示波紋性質的參量表示波紋性質的參量),(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲線的特性曲線 可見，在歸一化通帶內（可見，在歸一化通帶內（-1

40、1），）， 在（在（0，1）間振蕩，而超過間振蕩，而超過L后，后， 在在 間振蕩。間振蕩。 這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 橢圓濾波器的振幅平方函數橢圓濾波器的振幅平方函數 圖中圖中和和A A的定義的定義 同切比雪夫濾波器同切比雪夫濾波器rr當當cc、rr、和和A A確定后，階次確定后，階次N N的確定方法為：的確定方法為：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中式中 為第一類完全橢

41、圓積分為第一類完全橢圓積分 上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設計方法，設計時按照指標要求，合理選用。計方法，設計時按照指標要求，合理選用。 一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫一般，相同指標下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃什最高，參數的靈敏度則恰恰相反。次之，巴特沃什最高，參數的靈敏度則恰恰相反。 巴特沃什濾波器巴特沃什濾波器頻響在通帶和阻帶內均單調變化頻響在通帶和阻帶內均單調變化帶寬恒為帶寬恒為3dB3dB帶寬，與階數無關帶寬，與階數無關切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器切比雪夫切比雪夫I I型頻響在通帶內等波紋變化，

42、型頻響在通帶內等波紋變化， 在阻帶內單調，切比雪夫在阻帶內單調，切比雪夫IIII型頻響在通帶內型頻響在通帶內 單調，在阻帶內等波紋變化單調，在阻帶內等波紋變化 帶寬一般不是帶寬一般不是3dB3dB帶寬，帶寬， 橢圓濾波器橢圓濾波器頻響在通帶和阻帶內均等波紋變化頻響在通帶和阻帶內均等波紋變化帶寬一般不是帶寬一般不是3dB3dB帶寬，帶寬， 21()1acHj()1acpHj 7.3 7.3 通過模擬濾波器設計通過模擬濾波器設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器 在前一節我們介紹了模擬濾波器的設計方法，可見，在前一節我們介紹了模擬濾波器的設計方法，可見，現在的模擬濾波器設計技術非常成熟，許多常用的模

43、擬濾現在的模擬濾波器設計技術非常成熟，許多常用的模擬濾波器都有現成的設計公式，只要將設計指標代入設計公式，波器都有現成的設計公式，只要將設計指標代入設計公式，就可以很容易的計算出濾波器系統參數，實現起來相當簡就可以很容易的計算出濾波器系統參數，實現起來相當簡單。而且，在很多場合下，用離散時間系統模擬一個連續單。而且，在很多場合下，用離散時間系統模擬一個連續時間系統是有意義的。時間系統是有意義的。思路：思路：(a). (a). 先設計一個滿足性能指標的模擬濾波器先設計一個滿足性能指標的模擬濾波器 (b). (b). 采用映射變換的方式從采用映射變換的方式從 得到需要的數字濾波器得到需要的數字濾波

44、器H(Z) H(Z) )S(Ha)S(Ha通常有兩種方法：通常有兩種方法：（1 1）沖激響應不變法；）沖激響應不變法；（2 2）雙線性變換法。）雙線性變換法。映射變換的基本要求映射變換的基本要求1 1、因果性不變、因果性不變2 2、穩定性不變、穩定性不變3 3、頻率響應形狀不變，保留模擬頻響的基本特性、頻率響應形狀不變，保留模擬頻響的基本特性 s s平面左半平面平面左半平面z z平面單位圓內平面單位圓內( (保證物理可實現性不變保證物理可實現性不變) )s s平面虛軸平面虛軸z z平面單位圓上平面單位圓上 一、沖激響應不變法一、沖激響應不變法1 1、變換原理、變換原理 利用模擬濾波器理論設計數

45、字濾波器，也就是使利用模擬濾波器理論設計數字濾波器，也就是使數字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不數字濾波器能模仿模擬濾波的特性，這種模仿可從不同的角度出發。同的角度出發。 沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發，使沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發，使數字濾波器的沖激響應序列數字濾波器的沖激響應序列h(n)h(n)正好等于模擬濾波器正好等于模擬濾波器的沖激響應的沖激響應h ha a(t)(t)的采樣值，即的采樣值，即 h(n)=hh(n)=ha a(nT), T(nT), T為采樣周期為采樣周期 如以如以H Ha a(s) (s) 及及 H H（z z）分別表示）分別表示 h h

46、a a(t) (t) 的拉氏變換及的拉氏變換及 h(n)h(n)的的 Z Z變換，即變換，即H Ha a(s)=Lh(s)=Lha a(t) , H(z)=Zh(n)(t) , H(z)=Zh(n)2 2、映射變換、映射變換 假如已設計出滿足性能指標的模擬濾波器假如已設計出滿足性能指標的模擬濾波器 ，其單位沖激響應為其單位沖激響應為 , ,記記 為為 的采樣，的采樣，即：即：)(sHa)(tha)(tha)(tha( )( )()aanh th ttnT則由拉普拉斯變換（定義、性質）則由拉普拉斯變換（定義、性質） 12( )()aanHsHsjnTT( )( ) ( )() ( ) () ()

47、 ( )staastanstannsTannsTnHsh t edth ttnT edth ttnT edth nT eh n e( )( )nnH zh n z 比較上面兩式得，比較上面兩式得， 即即s s平面與平面與z z平平面之間的映射變換為面之間的映射變換為 ( )( )sTaz eHsH zsTze 以上表明，采用沖激響應不變法將模擬濾波器以上表明，采用沖激響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器時，它所完成的變換為數字濾波器時，它所完成的 S S 平面到平面到 Z Z 平平面的變換，正是拉氏變換到面的變換，正是拉氏變換到Z Z變換的標準變換關系，變換的標準變換關系，即首先對即首先對H

48、 Ha a(s)(s)作周期延拓，然后再經過作周期延拓，然后再經過 的映射關系映射到的映射關系映射到 Z Z 平面上。平面上。STez穩定性：穩定性： 如果模擬濾波器是穩定的，則所有極點如果模擬濾波器是穩定的，則所有極點 S Si i 都在都在S S左半平面，即左半平面，即 ResResi i 0 , 0 , 那么變換后那么變換后H(Z)H(Z)的極點的極點 也都在單位圓以內，也都在單位圓以內，因此數字濾波器保持穩定。因此數字濾波器保持穩定。Tsie1)(TsRTsieiee映射關系映射關系 ： S S平面上每一條寬為平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將的橫帶部分，都將重疊地映射到重疊地映射到Z

49、 Z平面的整個平面上平面的整個平面上: : 每一橫帶的左半部分映射到每一橫帶的左半部分映射到Z Z平面單位圓以內，平面單位圓以內， 每一橫帶的右半部分映射到每一橫帶的右半部分映射到Z Z平面單位圓以外，平面單位圓以外， 軸映射到單位圓上，軸映射到單位圓上， 軸上每一段軸上每一段 都對應于繞單位圓一周。都對應于繞單位圓一周。STezT2jjT2jsrezj,令TerT,則可以保證穩定性和因果性。又因為可以將可以保證穩定性和因果性。又因為可以將s s平面的虛軸映平面的虛軸映射為射為z z平面的單位圓，所以基本保持頻率響應的形狀不變平面的單位圓，所以基本保持頻率響應的形狀不變j0TT3T3T)Im(

50、 zj)Re( z0S 平面Z 平面: 3 3、頻響關系、頻響關系 上面我們討論的是上面我們討論的是s s平面與平面與z z平面之間的映射關平面之間的映射關系，通過將模擬濾波器系，通過將模擬濾波器h ha a(t)(t)的系統函數的系統函數H Ha a(s)(s)與數與數字濾波器字濾波器h(n)h(n)的系統函數的系統函數H(Z)H(Z)聯系、對照，得出的聯系、對照，得出的映射關系實質上也是系統函數之間的關系。映射關系實質上也是系統函數之間的關系。 下面將討論模擬濾波器下面將討論模擬濾波器ha(t)ha(t)和數字濾波器和數字濾波器h(n)h(n)頻率響應之間的關系，即考察頻率響應之間的關系，

51、即考察ha(t)ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(jQ)Ha(jQ)和和h(n)h(n)的變換的變換H(eH(ejwjw) )之間的關系，從而推導之間的關系，從而推導出模擬角頻率出模擬角頻率Q Q和數字角頻率和數字角頻率W W之間的關系。之間的關系。 ( )( )at nTh nh t12()()jarH eHjjrTTT因為因為所以所以根據取樣定理，只有當根據取樣定理，只有當AFAF的頻響帶限于折疊頻率以內的頻響帶限于折疊頻率以內時，即時，即才能使才能使DFDF在折疊頻率在折疊頻率 內重現內重現AFAF的頻響，而不產生混的頻響，而不產生混疊失真。但是，任何一個實際疊失真。但是，任何一個

52、實際AFAF的頻響卻不是嚴格帶的頻響卻不是嚴格帶限的，就會產生限的，就會產生混迭失真混迭失真，如下圖，如下圖2T, 0)j (HSa)T/j (Ha022)(jeH)(TjHa00沖激響應不變法中的頻響混淆沖激響應不變法中的頻響混淆模擬濾波器頻響模擬濾波器頻響在折疊頻率以上在折疊頻率以上衰減越大，失真衰減越大，失真則越小，這時，則越小，這時，采用沖激響應不采用沖激響應不變法設計的數字變法設計的數字濾波器才能得到濾波器才能得到良好的效果。良好的效果。4 4、AFAF的數字化方法的數字化方法 （1 1）一般方法）一般方法)Z(H)S(Ha)S(HL) t (ha1a) t (ha)nT(h)n(h

53、a例：已知模擬濾波器的系統函數例：已知模擬濾波器的系統函數H(s)=A/(s-a),H(s)=A/(s-a),試試用沖激響應不變法求相應的數字濾波器的系統函數用沖激響應不變法求相應的數字濾波器的系統函數H(Z)H(Z)解解: :對對H(S)H(S)進行拉氏反變換進行拉氏反變換, ,求得模擬系統單位響應求得模擬系統單位響應: :先做先做 ，再對，再對抽樣，使抽樣，使 ，最后，最后)()(nhZZH一般來說過程比較復雜。一般來說過程比較復雜。)()()(| )()(:, )()()(1nueAnTuAethnhtuAeasALthnaTantnTtat激響應為則離散系統的沖1)1)()()(:Ze

54、AnueAZnhZZHZaTaTn變換后即得對上式進行 上述方法適用于一般的模擬系統函數可以用部分上述方法適用于一般的模擬系統函數可以用部分分式展開成為上述那樣單極點和的形式分式展開成為上述那樣單極點和的形式. . （2 2）方法的簡化）方法的簡化 設設 只有單階極點，而且分母的階次大于只有單階極點，而且分母的階次大于分子的階次，分子的階次， 可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式)S(Ha)S(HaN1kkkaSSA)S(HN1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hkN1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z

55、(H0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak例例: :模擬系統函數如下模擬系統函數如下: :試用沖激響應不變法求出相試用沖激響應不變法求出相應的數字濾波器的系統函數應的數字濾波器的系統函數. .2222)(baassassHa解解: :將上式分解為部分分式之和將上式分解為部分分式之和: :)(21)(212)(222jbasjbasbaassassHa可見該模擬系統有一對共軛極點可見該模擬系統有一對共軛極點: :相應的數字濾波器也有一對極點相應的數字濾波器也有一對極點: :)(jbaskTjbaeZ)( )1)(1 ()cos(1121121

56、)(1111)(1)(ZeeZeeZbTeZeZeZHjbTaTjbTaTaTTjbaTjbaa數字濾波數字濾波器的系統器的系統函數為函數為: :（3 3）、修正）、修正例例 將一個具有如下系統函數的模擬濾波器數字化。將一個具有如下系統函數的模擬濾波器數字化。 解：解： 3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模擬濾波器的頻率響應為模擬濾波器的頻率響應為: : 示于圖示于圖a a4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs的頻率響應為的頻率響應為: :示于圖示于圖b b 顯然數字濾波器的頻率響應與采樣間

57、隔顯然數字濾波器的頻率響應與采樣間隔T T有關有關,T,T越小越小, ,衰減越大衰減越大, ,混疊越小混疊越小, ,當當 f fs s=24Hz ,=24Hz ,混疊可忽混疊可忽略不計略不計, ,為什么混迭呢為什么混迭呢? ? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj小結小結 1)1)沖激響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性沖激響應不變法的一個重要特點是頻率坐標的變換是線性的，的，與與是線性關系。是線性關系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內的話，通過變因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內的話，通過變換后數字濾波器的頻響可不失真地反映

58、原響應與頻率的關系。換后數字濾波器的頻響可不失真地反映原響應與頻率的關系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過沖激響應不變法例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過沖激響應不變法得到的仍是線性相位的低通數字濾波器。得到的仍是線性相位的低通數字濾波器。 2)2)在某些場合，要求數字濾波器在時域上能模仿模擬濾波在某些場合，要求數字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現時域沖激響應的模仿，一般使用沖激響器的功能時，如要實現時域沖激響應的模仿，一般使用沖激響應不變法。應不變法。 TjHeHaj/)()( 3) 3)如果如果H Ha a(s)(s)是穩定的，即其極點在是穩定的，即其極點在S S左

59、半平面，映射后得左半平面，映射后得到的到的H(Z)H(Z)也是穩定的。也是穩定的。 4)4)沖激響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因沖激響應不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波而高頻衰減越大，頻響的混淆效應越小，至于高通和帶阻濾波器器, ,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用

60、沖的頻帶，再用沖激響應不變法轉換為數字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾激響應不變法轉換為數字濾波器，這會增加設計的復雜性和濾波器階數，只有在一定要滿足頻率線性關系或保持網絡瞬態響波器階數，只有在一定要滿足頻率線性關系或保持網絡瞬態響應時才采用。應時才采用。 2s 二、雙線性變換法二、雙線性變換法 沖激響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產生的混沖激響應不變法的主要缺點是頻譜交疊產生的混淆，這是從淆，這是從S S平面到平面到Z Z平面的標準變換平面的標準變換z ze esTsT的多值對的多值對應關系導致的應關系導致的, ,為了克服這一缺點，設想變換分為兩為了克服這一缺點，設想變換分為兩步：步： 第一步