1、二、數的進制我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一”。在實際生活中，除了十進制計數法外，還有其他的大于1的自然數進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。二進制：在計算機中，所采用的計數法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數字0和1。二進制的計數單位分別是1、21、22、23、，二進制數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二進制的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：對于任意自然數n,我們有n0=1。n進制：n進制的運算法則是“逢n進

2、一，借一當n”，n進制的四則混合運算和十進制一樣，先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內的。進制間的轉換：如右圖所示。例題精講模塊一、位置原理【例 1】 某三位數和它的反序數的差被99除，商等于_與_的差；【解析】 本題屬于基礎型題型。我們不妨設abc。(-）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；【例 2】 (美國小學數學奧林匹克)把一個兩位數的十位與個位上的數字加以交換，得到一個新的兩位數如果原來的兩位數和交換后的新的兩位數的差是45，試求這樣的兩位數中最大的是多少？【解析】 設原來的兩位數為，交換后的新的兩位數為，根

3、據題意，原兩位數最大時，十位數字至多為9，即，原來的兩位數中最大的是94【例 3】 (第五屆希望杯培訓試題)有3個不同的數字，用它們組成6個不同的三位數，如果這6個三位數的和是1554，那么這3個數字分別是多少？【解析】 設這六個不同的三位數為，因為，它們的和是：，所以，由于這三個數字互不相同且均不為0，所以這三個數中較小的兩個數至少為1，2，而，所以最大的數最大為4；又，所以最大的數大于，所以最大的數為4，其他兩數分別是1，2【鞏固】 (迎春杯決賽)有三個數字能組成6個不同的三位數，這6個三位數的和是2886，求所有這樣的6個三位數中最小的三位數【解析】 設三個數字分別為a、b、c，那么6個

4、不同的三位數的和為：所以，最小的三位數的百位數應為1，十位數應盡可能地小，由于十位數與個位數之和一定，故個位數應盡可能地大，最大為9，此時十位數為，所以所有這樣的6個三位數中最小的三位數為【例 4】 在兩位自然數的十位與個位中間插入09中的一個數碼，這個兩位數就變成了三位數，有些兩位數中間插入某個數碼后變成的三位數，恰好是原來兩位數的9倍。求出所有這樣的三位數。【解析】 因為原兩位數與得到的三位數之和是原兩位數的10倍，所以原兩位數的個位數只能是0或5。如果個位數是0，那么無論插入什么數，得到的三位數至少是原兩位數的10倍，所以個位數是5。設原兩位數是，則b=5，變成的三位數為ab5，由題意有

5、100a10b5（10a5）9，化簡得ab4。變成的三位數只能是405，315，225，135。【鞏固】 一輛汽車進入高速公路時，入口處里程碑上是一個兩位數，汽車勻速行使，一小時后看到里程碑上的數是原來兩位數字交換后的數。又經一小時后看到里程碑上的數是入口處兩個數字中間多一個0的三位數，請問：再行多少小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換所得的三位數。【解析】 設第一個2位數為10a+b；第二個為10b+a ；第三個為100a+b ；由題意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化簡可以推得b=6a，0a,b9，得a=1，b=6；即每小時走61

6、-16=45 ；（601-106)45=11；再行11小時，可看到里程碑上的數是前面這個三位數首末兩個數字交換所得的三位數。【鞏固】 將四位數的數字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數現有一個四位數碼互不相同，且沒有0的四位數，它比新數中最大的小3834，比新數中最小的大4338求這個四位數【解析】 設組成這個四位數的四個數碼為， ()，則有，可得，則，且M的四位數字分別為1、9，由于的個位數字為7，所以，中有一個為7，但，所以不能為7，故，【例 5】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以a1，則111b11c推知b2；進而推知c3，d=4

7、所以=1234。【鞏固】 (2008年清華附中考題)已知一個四位數加上它的各位數字之和后等于2008，則所有這樣的四位數之和為多少【解析】 設這樣的四位數為，則，即，則或2若，則，得，；若，則，由于，所以，所以，故為9，則為偶數，且，故，由為偶數知，；所以，這樣的四位數有2003和1985兩個，其和為：【例 6】 有一個兩位數，如果把數碼3加寫在它的前面，則可得到一個三位數，如果把數碼3加寫在它的后面，則可得到一個三位數，如果在它前后各加寫一個數碼3，則可得到一個四位數將這兩個三位數和一個四位數相加等于求原來的兩位數【解析】 設原來的兩位數是，則得到的兩個三位數分別為和，四位數為，由題知，即，

8、故【鞏固】 如果把數碼5加寫在某自然數的右端，則該數增加，這里A表示一個看不清的數碼，求這個數和A。【解析】 設這個數為x，則10x+5-x=，化簡得9x=，等號右邊是9的倍數，試驗可得A=1，x=1234。【鞏固】 某八位數形如，它與3的乘積形如，則七位數應是多少？【解析】 設，則，根據題意，有，得，所以模塊二、數的進制【例 7】 _；_；若，則_【解析】 對于這種進位制計算，一般先將其轉化成我們熟悉的十進制，再將結果轉化成相應的進制：；可轉化成十進制來計算：；如果對進制的知識較熟悉，可直接在二進制下對進行除法計算，只是每次借位都是2，可得；本題涉及到3個不同的進位制，應統一到一個進制下統一

9、到十進制比較適宜：；十進制中，兩個數的和是整十整百整千的話，我們稱為“互補數”，湊出“互補數”的這種方法叫“湊整法”，在進制中也有“湊整法”，要湊的就是整原式；若，則，經試驗可得【鞏固】 ；在八進制中，_；在九進制中，_【解析】 本題是進制的直接轉化：；原式；原式【例 8】 在幾進制中有？【解析】 利用尾數分析來解決這個問題：由于，由于式中為100，尾數為0，也就是說已經將12全部進到上一位所以說進位制為12的約數，也就是12，6，4，3，2中的一個但是式子中出現了4，所以要比4大，不可能是4，3，2進制另外，由于，因為，也就是說不到10就已經進位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，

10、只能是6【鞏固】 在幾進制中有？【解析】 注意，因為，所以一定是不到10就已經進位，才能得到16324，所以再注意尾數分析，而16324的末位為4，于是進到上一位所以說進位制為21的約數，又小于10，也就是可能為7或3因為出現了6，所以只能是7分解質因數本講中的知識點在小學課本內已經有所涉及，并且多以判斷題考察。質數合數的出現是對自然數的另一種分類方式，但是相對于奇數偶數的劃分要復雜許多。質數本身的無規律性也是一個研究質數結構的難點。在奧數數論知識體系中我們要幫助孩子樹立對質數和合數的基本認識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些知識點結合運用。分解質因數法是一個數論重點方法，本講另一個授課重點在

11、于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈活運用。知識點撥1 質數與合數一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數(也叫做素數).一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數.要特別記住：0和1不是質數，也不是合數.常用的100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的質數都是奇數；除了2和5，其余的質數個位數字只能是1，3，7或9.考點： 值得注意的是很多題都會以質數2的特殊性為考點. 除了2和5，其余質數個位數字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題

12、思路，需要大家注意.2 質因數與分解質因數質因數：如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數.互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數.例如：，2、3都叫做12的質因數，其中后一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特征.3 唯一分解定理任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即：其中為質數，為自然數，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質因子分解式.例如：三個連續自然數的乘積是210，求

13、這三個數.分析：210=2357，可知這三個數是5、6和7.4. 部分特殊數的分解；.5. 判斷一個數是否為質數的方法根據定義如果能夠找到一個小于p的質數q(均為整數)，使得q能夠整除p，那么p就不是質數，所以我們只要拿所有小于p的質數去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數，再列出所有不大于K的質數，用這些質數去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質數.例如：149很接近，根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數.例題精講模塊一、質數合數的基本概念的應用【例 1】 下面是主試委員會為第六屆“華杯賽”寫的一首詩：美少年華

14、朋會友，幼長相親同切磋；杯賽聯誼歡聲響，念一笑慰來者多；九天九霄志凌云，九七共慶手相握；聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌請你將詩中56個字第1行左邊第一字起逐行逐字編為156號，再將號碼中的質數由小到大找出來，將它們對應的字依次排成一行，組成一句話，請寫出這句話【解析】 按要求編號排序，并畫出質數號碼：美 少 年 華 朋 會 友，幼 長 相 親 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 賽 聯 誼 歡 聲 響，念 一 笑 慰 來 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七

15、共 慶 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 華 夏 中 興 力，同 唱 移 山 壯 麗 歌43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 將質數對應的漢字依次寫出就是：少年朋友親切聯歡；一九九七相聚中山【鞏固】 (2004年全國小學奧林匹克)自然數是一個兩位數，它是一個質數，而且的個位數字與十位數字都是質數，這樣的自然數有多少個？【解析】 這樣的自然數有4個：23，37，53，73【例 2】 兩個質數之和為，求這兩個質數的乘積是多少.【解析】 因為和為奇數，所以這兩個數必為一奇一偶，所以其中

16、一個是，另一個是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口。【鞏固】 已知3個不同質數的和是最小的合數的完全平方，求這3個質數的乘積是多少？【解析】 最小的合數是4，其平方為16我們知道奇數個奇數的和是奇數，所以這3個質數中必然有2，那么其余2個的和是14，只能一個是3一個是11，因此這3個質數的乘積是【鞏固】 小晶最近遷居了，小晶驚奇地發現他們新居的門牌號碼是四位數同時，她感到這個號碼很容易記住，因為它的形式為，其中，而且和都是質數(和是兩個數字)具有這種形式的數共有多少個？【鞏固】 若兩位數、均為質數，則、均為奇數且不為5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，977

17、9，7997共8個數【鞏固】 (俄羅斯數學奧林匹克)萬尼亞想了一個三位質數，各位數字都不相同如果個位數字等于前兩個數字的和，那么這個數是幾？【解析】 因為是質數所以個位數不可能為偶數0，2，4，6，8也不可能是奇數5如果末位數字是3或9，那么數字和就將是3或9的兩倍，因而能被它們整除，這就不是質數了所以個位數只能是7這個三位質數可以是167，257，347，527或617中間的任一個【鞏固】 (全國小學數學奧林匹克)從19中選出8個數排成一個圓圈，使得相鄰的兩數之和都是質數排好后可以從任意兩個數字之間切開，按順時針方向讀這些八位數，其中可以讀到的最大的數是多少？【解析】 由于質數除了2以外都是

18、奇數，所以數字在順時針排列時應是奇偶相間排列切開后的數仍然具有“相鄰兩數之和是質數”，并且最高位與最低位之和也是質數，考慮到“最大”的限制條件，最高位選9，第二位選8，第三位最大可以選7，但7與8之和不是質數，再改選5，8與5之和是質數，符合要求第四位可選剩余的最大數字6，如此類推十位可選3，個位選2所以，可以讀到的最大數是98567432數字排列如下圖【鞏固】 (保良局亞洲區城市小學數學邀請賽)用L表示所有被3除余1的全體正整數如果L中的數(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何數整除，稱此數為“L質數”問：第8個“L質數”是什么？【解析】 “L數”為1，4，7，10，13，16，19，2

19、2，25，28，31，34，“L質數”應為上列數中去掉1，16，28，即為4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第8個“L質數”是31【例 3】 9個連續的自然數，每個數都大于80，那么其中最多有多少個質數？請列舉和最小的一組【解析】 我們知道任意連續9個自然數中最多有4個質數，本題考察對100以外的質數的熟練情況，有101，103，107，109是4個質數。【鞏固】 從小到大寫出5個質數，使后面數都比前面的數大12.這樣的數有幾組？【解析】 考慮到質數中除了2以外其余都是奇數，因此這5個質數中不可能有2；又質數中除了2和5，其余質數的個位數字只能是1、3、7、9.若這5個質

20、數中最小的數其個位數字為1，則比它大24的數個位即為5，不可能是質數；若最小的數其個位數字為3，則比它大12的數個位即為5，也不可能為質數；由此可知最小的數其個位數字也不可能是7和9，因此最小的數只能是5，這5個數依次是5，17，29，41，53.這樣的數只有一組.【例 4】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并且只能用一次，那么這9個數字最多能組成多少個質數.【解析】 要使質數個數最多，我們盡量組成一位的質數，有2、3、5、7均為一位質數，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數的數字未用有1、4、8、9可以組成質數41、89，而6可以與7組合成質

21、數67所以這9個數字最多可以組成6個質數。【例 5】 7個連續質數從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它們的和是偶數，那么d是多少？【解析】 因為7個質數的和是偶數，所以這7個質數不可能都是奇數.我們知道是偶數的質數只有2，因此這7個質數中必有一個是2.又因為2是最小的質數，并且這7個連續質數是從大到小排列的，所以.【例 6】 將60拆成10個質數之和，要求最大的質數盡可能小，那么其中最大的質數是多少【解析】 最大的質數必大于5，否則10個質數之和將不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8個7與2個2的和為60，故其中最大的質數是7模塊二、分解質因數【例 7】 兩

22、個連續奇數的乘積是，這兩個奇數之和是多少? 【解析】 分解質因數：()()，所以和為.本講不僅要求學生熟練掌握分解質因數，而且要注意一些技巧，例如本題中的。【例 8】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少?【解析】 如下圖，設長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而209=1119當a=11時，c+b=19，當兩個質數的和為奇數，則其中必定有一個數為偶質數2，則c+b=2+17;當a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質數，所以不滿足題意所以它們的

23、乘積為11217=374【鞏固】 一個長方體的長、寬、高是連續的3個自然數，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米?【解析】 39270=23571117，為三個連續自然數的乘積，而343434最接近39270，39270的約數中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2(長寬+寬高+高長)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，為三個連續自然數的乘積，考慮質因數17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結合即34作為長方

24、體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質因數7，與34接近的數3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質因數中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為333435長方體的表面積為2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)【例 9】 甲數比乙數大，乙數比丙數大，三個數的乘積是，求這三個數？【解析】 將分解質因數，則其中必有一個數是或的倍數；經試算，恰好，所以這三個數即為，.一般象這種類型的題，都是從最大的那個質因數去分析.如果這道題里不符合要求，下一個該考慮，再下一個該考慮，依此類推 模塊三、質數合數綜合型題目【例 10】 是質數，都是質數求是多少？【解析】 由題意知是一個奇數，因為，所以是3的倍數，所以【鞏固】 已知是質數，也是質數，求是多少？【解析】 是質數，必定是合數，而且大于1又由于是