1、3.1.1直線的傾斜角和斜率教學目標: 知識與技能正確理解直線的傾斜角和斜率的概念理解直線的傾斜角的唯一性.理解直線的斜率的存在性.斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式情感態度與價值觀(1) 通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力(2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神重點與難點: 直線的傾斜角、斜率的概念和公式.教學用具：計算機教學方法：啟發、引導、討論.教學過程：（一） 直線的傾斜角的概念我

2、們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經過一點P的直線l的位置能確定嗎? 如圖, 過一點P可以作無數多條直線a,b,c, 易見,答案是否定的.這些直線有什么聯系呢? (1)它們都經過點P. (2)它們的傾斜程度不同. 怎樣描述這種傾斜程度的不同?引入直線的傾斜角的概念:當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規定= 0°.問: 傾斜角的取值范圍是什么? 0°180°.當直線l與x軸垂直時, = 90°.因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的

3、傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.如圖, 直線abc, 那么它們的傾斜角相等嗎? 答案是肯定的.所以一個傾斜角不能確定一條直線.確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角.(二)直線的斜率:一條直線的傾斜角(90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當直線l與x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當直線l與x軸垂直時, = 90°, k 不存在.由此可知, 一條直線l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例

4、如, =45°時, k = tan45°= 1; =135°時, k = tan135°= tan(180° 45°) = - tan45°= - 1.學習了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度. (三) 直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率?可用計算機作動畫演示: 直線P1P2的四種情況, 并引導學生如何作輔助線,共同完成斜率公式的推導.(略)斜率公式: 對于上面的斜率公式要注意下面四點：(1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的

5、斜率不存在，傾斜角= 90°, 直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換; (3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;(4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合. (5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到 (四)例題:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略)分析: 已知兩點坐標, 而且x1x

6、2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而當k = tan<0時, 傾斜角是鈍角; 而當k = tan>0時, 傾斜角是銳角; 而當k = tan=0時, 傾斜角是0°.略解: 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角是銳角; 直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角是鈍角; 直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角是銳角.例2 在平面直角坐標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標可以根據直線a的斜率確定; 或者k=

7、tan=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.略解: 設直線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據斜率公式有 1=(y0)(x0) 所以 x = y 可令x = 1, 則y = 1, 于是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點 M(1,1), 可作直線a. 同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程) (五)練習: P91 1. 2. 3. 4. (六)小結: (1)直線的傾斜角和斜率的概念 (2) 直線的斜率公式. (七)課后作業: P94 習題3.1 1. 3.

8、(八)板書設計: §3.1.11直線傾斜角的概念 3.例1 練習1 練習32. 直線的斜率 4.例2 練習2 練習4 3.1.2兩條直線的平行與垂直()（九）教學反思：兩條直線的位置關系教學目標 (一)知識教學理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直.(二)能力訓練通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養學生運用已有知識解決新問題的能力, 以及數形結合能力(三)學科滲透通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養學生的成功意識，合作交流的學習方式,激發學生的學習興趣 重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學生能熟練掌握，并靈活運用難點：啟發學生, 把研究

9、兩條直線的平行或垂直問題, 轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題注意：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況, 在課堂上老師應提醒學生注意解決好這個問題 教學過程 (一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直上一節課, 我們已經學習了直線的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度, 并推導出了斜率的坐標計算公式. 現在, 我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率, (1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90°，它們互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90

10、°，另一條直線的傾斜角為0°，兩直線互相垂直(二)兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的平行與垂直設直線 L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什么關系?首先研究兩條直線互相平行(不重合)的情形如果L1L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：1=2(借助計算機, 讓學生通過度量, 感知1, 2的關系)tg1=tg2即 k1=k2 反過來，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那么tg1=tg2由于0

11、°1180°， 0°180°，1=2又兩條直線不重合，L1L2結論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有L1L2; 反之則不一定.下面我們研究兩條直線垂直的情形如果L1L2，這時12，否則兩直線平行設21(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有1=90

12、76;+2因為L1、L2的斜率分別是k1、k2，即190°，所以20° ， 可以推出: 1=90°+2 L1L2結論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數；反之，如果它們的斜率互為負倒數，那么它們互相垂直，即注意: 結論成立的條件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1L2; 反之則不一定.(借助計算機, 讓學生通過度量, 感知k1, k2的關系, 并使L1(或L2)轉動起來, 但仍保持L1L2, 觀察k1, k2的關系, 得到猜想, 再加以驗證. 轉動時, 可使1為銳角,鈍角等).例題例1 已知A(2,3), B(-4

13、,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線BA與PQ的位置關系, 并證明你的結論.分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想:BAPQ, 再通過計算加以驗證.(圖略)解: 直線BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4)=0.5, 直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3)=0.5,因為 k1=k2=0.5, 所以 直線BAPQ.例2 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過計算加以驗證)解同上.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線AB與PQ的位置關系.解: 直線AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6)=2/3, 直線PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因為 k1·k2 = -1 所以 ABPQ.例4已知A(5,-