1、八年級下期數學培優思維訓練二、勾股定理（一）知識梳理：（二）方法歸納：（三）范例精講：1.已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，CD2=AD·BD. 求證：ABC是直角三角形. 2.已知：ABC中，A、B、C的對邊分別是、，判斷ABC的形狀.（1）.（2）.（3）. 3.已知：如圖，在ABC中，C=90°，M是BC的中點，MDAB于D.求證：AD2 =AC2 +BD2.4.已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四邊形ABCD的面積. 5.已知：如圖，DE=，BC=，EBC與DCB互余. 求BD2+CD2 的值.6.如圖，有

2、一塊矩形塑料模板ABCD，長為10，寬為4，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合）并在AD上平行移動：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由. 再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.7.如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數.8.已知：ABC中，AB=15，AC=13，BC邊

3、上的高AD長為12. 求ABC的面積.9.如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，EC與AD相交于點F. 若AB=4，BC=6，求FAC的周長和面積.10.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F點處，已知CE=6 cm，AB=16cm，求BF的長11.如圖，一個高18m，周長5m的圓柱形水塔，現制造一個螺旋形登梯，為減小坡度，要求登梯繞塔環繞一周半到達頂端，問登梯至少多長？12.如圖1，在RtABC中，ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DEDF（1）如果AC=BC，求證：AE2+BF2=EF2；（2）如圖2，

4、如果ACBC，（1）中結論AE2+BF2=EF2還能成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由13.如圖，邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在平面直角坐標系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B落在第四象限B1處，設B1C交x軸于點D. 求：（1）ACD的面積；（2）點B1的坐標.（四）思維訓練：1.如圖，ABC中，AB=BC，BEAC于點E，ADBC于點D，BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF.（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長.2.如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，將ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到DCE，連接BD，交AC于F.

5、（1）猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論；（2）求線段BD的長.3.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的長.4.已知：ABC中，BC=，AC=，AB=若C=90°，如圖1，根據勾股定理，則若ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請你類比勾股定理，試猜想與的關系，并證明你的結論.5.細心觀察下圖，認真分析各式，然后解答問題，；，；，；（1）請用含（是正整數）的等式表示上述變化規律；（2）推算出OA10的長；（3）求出S12+S22+S32+S102的值6.已知ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（與點B不重合），分別

6、以AB、AP為邊在ABC的內部作等邊ABE和APQ，連接QE并延長交BP于點F（1）如圖1，若AB= ，點A、E、P恰在一條直線上時，求此時EF的長；（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并加以證明；（3）若AB=，設BP=4，求QF的長7.在ABC中，A=2B，且A=60°. 求證：.8.如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=AB=4，BC=7，點E在BC邊上，將CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB邊上的點C'處（1）求C'DE的度數；（2）求C'DE的面積9.如圖，在Rt

7、ABC中，BAC=90°，AB=AC，點M、N在邊BC上（1）如圖1，如果AM=AN，求證：BM=CN；（2）如圖2，如果M、N是邊BC上任意兩點，并滿足MAN=45°，那么線段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由10.如圖，ABC是一個邊長為1的等邊三角形，BB1是ABC的高，B1B2是ABB1的高，B2B3是AB1B2的高，B3B4是AB2B3的高，Bn-1Bn是ABn-2Bn-1的高.（1）求BB1的長；（2）填空：B1B2的長為_，B2B3的長為_；（3）根據（1）、（2）的計算結果，猜想寫出Bn-1B

8、n的值（用含n的代數式表示，n為正整數）11.如圖，ABD、CBD都是等邊三角形，DE、BF分別是ABD的兩條高，DE、BF交于點G（1）求BGD的度數；（2）連接CG，求證：BG+DG=CG；求的值12.（1）如圖1，在ABC中，BC=3，AC=4，AB=5D為AB邊上一點，且ACD與BCD的周長相等，則AD=_（2）如圖2，在ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2E為BC邊上一點，且ABE與ACE的周長相等；F為AC邊上一點，且ABF與BCF的周長相等，求CECF（用含a，b的式子表示）13.如圖，在ABC中，ABC=45°，CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，F

9、為BC中點，BE與DF、DC分別交于點G、H，ABE=CBE（1）求證：BH=2CE；（2）求證：BG2-GE2=AE214.如圖，等邊ABC和等邊DEC，CE和AC重合，CE=AB（1）求證：AD=BE；（2）若CE繞點C順時針旋轉30°，連BD交AC于點G，取AB的中點F，連接FG求證：BE=2FG15.在討論問題：“如圖1，ABC=30°，ADC=60°，AD=CD，請問：BD、AB、BC三邊滿足什么關系？”時，某同學在圖中作ACEDCB，連接BE得圖2，然后指出三邊的關系為BD2=AB2+BC2他的判斷是否正確？請說明理由16.已知：ABC中，ABBC，A

10、C的中點為M，MNAC交ABC的角平分線于N（1）如圖1，若ABC=60°，求證：BA+BC=BN；（2）如圖2，若ABC=120°，則BA、BC、BN之間滿足什么關系式，并對你得出的結論給予證明17.如圖，ABC是等邊三角形，過點C作CDCB交CBA的外角平分線于點D，連接AD，過點C作BCE=BAD，交AB的延長線于點E（1）求證：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的長18.在RtABC中，BAC=90°，AB=AC=2，BC=，點D在BC所在的直線上運動，作ADE=45°（A，D，E按逆時針方向）如圖1，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E（1

11、）求證：1=2（2）當ADE是等腰三角形時，求AE的長（3）如圖2，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點E，是否存在點D，使ADE是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由19.如圖，已知ABC中，BC=AC=8厘米，C=90°，如果點P在線段AC上以1厘米/秒的速度由A點向C點運動，同時，點Q在線段BC上由C點向B點運動，運動速度與點P的運動速度相等，點M是AB的中點（1）在點P和點Q運動過程中，APM與CQM是否保持全等，請說明理由；（2）在點P和點Q運動過程中，四邊形PMQC的面積是否變化？若變化說明理由；若不變，求出這個四

12、邊形的面積；（3）線段AP、PQ、BQ之間存在什么數量關系，寫出這個關系，并加以證明20.已知ABC，以AC為邊在ABC外作等腰ACD，其中AC=AD（1）如圖1，若AB=AE，DAC=EAB=60°，則BFC=_；（2）如圖2，若ABC=30°，ACD是等邊三角形，BC=4，AB=3求BD的長；（3）如圖3，若ACD為銳角，作AHBC于H，當BD2=4AH2+BC2時，判定DAC與ABC的數量關系，并證明你的結論21.某興趣小組在學習了勾股定理之后提出：“銳（鈍）角三角形有沒有類似于勾股定理的結論”的問題首先定義了一個新的概念：如圖（1）ABC中，M是BC的中點，P是射線

13、MA上的點，設=k，若BPC=90°，則稱k為勾股比（1）如圖（1），過B、C分別作中線AM的垂線，垂足為E、D求證：CD=BE（2）如圖（2），當k=1，且AB=AC時，AB2+AC2=_BC2（填一個恰當的數）如圖（1），當k=1，ABC為銳角三角形，且ABAC時，中的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，也請說明理由；對任意銳角或鈍角三角形，如圖（1）、（3），請用含勾股比k的表達式直接表示AB2+AC2與BC2的關系（寫出銳角或鈍角三角形中的一個即可）22.在四邊形ABCD中，ADBC，AD=CD，點E在DC的延長線上，AE交BC邊于點F，且AE=AB（1）如圖1，

14、求證：B=E：（2）如圖2，在（1）的條件下，在BC上取一點M，使BM=CE，連接AM，過M作MHAE于H，連接CH，若BAE=EHC=60°，CF=2，求線段AH的長23.如圖，在直角坐標系中，點B坐標為（-4，0），點C與點B關于原點O對稱，點A為y軸上一動點，其坐標為（0，k），BE，CD分別為ABC中AC，AB邊上的高，垂足分別為E，D（1）當k=-3時，求AB的長；（2）試說明DOE是等腰三角形；（3）k取何值時，DOE是等邊三角形？（直接寫出k的值即可）24.已知：ABC中，D是AB的中點，若AC=12，BC=5，CD=6.5.求證：ABC是直角三角形.25.如圖，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點，且ADAC，求BD的長26.已知一直角三角形的斜邊長是2，周長是，求這個三角形的面積27.臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力