1、課題正多邊形與圓1.了解正多邊形和圓的有關概念及對稱性；教學目標2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系，會應用正多邊形和圓的有關知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關計算.重點、難點正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關系考點及考試要求會進行正多邊形的有關計算教學內(nèi)容一【要點梳理】知識點一 、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形要點詮釋：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1) 各邊相等；(2) 各角相等；缺一不可. 如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形( 正方形是正多邊形).知識點二 、正多邊形的重要元素1. 正多

2、邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓2. 正多邊形的有關概念(1) 一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心(2) 正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3) 正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角(4) 正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距3. 正多邊形的有關計算(1) 正邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正邊形每個中心角的度數(shù)是；(3)正邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋： 要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識點

3、三 、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正邊形的半徑和邊心距把正邊形分成2個全等的直角三角形 .3. 正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n 邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4. 邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方5. 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓要點詮釋： （ 1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（邊形 .2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多知識點四 、正多邊形的畫法1.用量角

4、器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角( 即等分頂點在圓心的周角) 可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應的正n 邊形 .2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.正四、八邊形。在 O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4 等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧( 即作AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以以 O的半徑為半徑畫弧與O相交于 C、 D 和 E、

5、 F，則 A、 C、 E、 B、 F、 D 是 O的 6 等分點。顯然， A、 E、 F( 或 C、 B、 D)是 O的 3 等分點。同樣，在圖(3) 中平分每條邊所對的弧，就可把O 12等分 , 。要點詮釋： 畫正 n 邊形的方法：（1）將一個圓n 等份，（ 2）順次連結各等分點.A、 B 為圓心，二【典型例題】類型一、 正多邊形的概念例 1已知：如圖，四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形，點P 是劣弧上不同于點C 的任意一點，則BPC的度數(shù)是（）A45°B60°C75°D90°【答案】A.【解析】如圖，連接OB、 OC，則 BOC=90°，根據(jù)

6、圓周角定理，得：BPC=BOC=45°故選A【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應用舉一反三：【變式 】如圖，O是正方形ABCD的外接圓，點P 在 O上，則APB等于（）A30°B45°C55°D60°【答案】連接OA， OB根據(jù)正方形的性質(zhì)，得AOB=90°再根據(jù)圓周角定理，得APB=45°故選B例 2如圖1， PQR是 O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是 O的內(nèi)接正方形，BC QR，則AOQ=（）A60°B65°C72°D75°圖1圖2【思路點撥】連接 OD，根據(jù)題意求

7、出POQ和 AOD的度數(shù)，利用平行關系求出AOP度數(shù)，即可求出AOQ的度數(shù)【答案】 D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知POQ=120°， AOD=90°，由 BC RQ可知 P 為弧 AD的中點，所以 AOP=45°，所以 AOQ= POQ-AOP=120° - 45°=75°故選 D【點評】解決此類問題的關鍵是作出恰當?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等），再利用正多邊形與圓有關性質(zhì)求解類型二、 正多邊形和圓的有關計算例 3已知正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的半徑【答案與解析】如圖所示，過中心O作

8、OH AB 于 H，連接 OA， OB，則R，邊心距r6 ，面積AOH為直角三角形S6 1360° 1360°AOHn230°，26 R 2AH AB6(cm) ，在 Rt AOH中， r6R2AH 262323 3 (cm) ，S6 61r6 a654 3 (cm) 2【點評】關于正多邊形與圓的計算問題一般轉(zhuǎn)化為解由半徑、邊心距、邊長的一半組成的直角三角形例 4如圖，若正方形A1 B1C1D1 內(nèi)接于正方形ABCD的內(nèi)接圓，則的值為（）ABCD【思路點撥】根據(jù)正多邊形的特點，構建直角三角形來解決【答案】 B【解析】連結OC1，作 OF C1D1 于 F，交 BC

9、于 E.圖形中正方形A1 B1C1D1 和正方形ABCD一定相似，OF， OC1 分別等于兩個正方形的邊心距， OC1F 是等腰直角三角形，因而OF： OC1=，因而則的值為故選B【點評】邊數(shù)相同的正多邊形一定相似，邊心距的比，半徑的比都等于相似比舉一反三：【變式 】如圖是對稱中心為點點處），把這個正六邊形的面積的正六邊形如果用一個含角的直角三角板的角，借助點等分，那么的所有可能的值是_.（使角的頂點落在【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即可知： 360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷12

10、0=3；360÷180=2故么 n 的所有可能的值是2， 3，4，6，12三【鞏固練習】一、選擇題1一個正多邊形的一個內(nèi)角為120 °，則這個正多邊形的邊數(shù)為()A9B8C7D62如圖所示，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a 的值應是 ()A 2 3 cmB3 cmC 23 cm D 1 cm3第2題圖第3題圖第5題圖3如圖所示，兩個正六邊形的邊長均為1，其中一個正六邊形的一邊恰在另一個正六邊形的對角線上，則這個圖形( 陰影部分 ) 外輪廓線的周長是()A7B8C9D104正三角形、正方形、圓三者的周長都等于l ，它們的面積分別為S1， S2 、 S3，則 ()A

11、 S1 S2 S3B S3 S1 S2C S1 S2 S3D S2 S1 S35中華人民共和國國旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分，然后連接五個等分點而得到的( 如圖所示 ) 五角星的每一個角的度數(shù)是()A30°B35°C36°D37°第 6題圖第 7題圖第 9題圖6如圖所示，是由5 把相同的折扇組成的“蝶戀花”（如圖）和梅花圖案（如圖）（圖中的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個銳角均為（）A36°B42°C45°D 48°二、填空題7如圖所示，平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊，則等于 _ 8要用圓

12、形鐵片裁出邊長為4 的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小是_ 9如圖所示，等邊ABC內(nèi)接于 O， AB 10cm，則 O的半徑是 _ 10正六邊形的周長為12 ，則同半徑的正三角形的面積為_ ，同半徑的正方形的周長為_ 11正六邊形的半徑是5cm，則邊長a6_ ，周長P6_，邊心距r6_ ，面積S6_ 12.正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為.三、解答題13如圖所示，正ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，求ABC的邊長a，周長P，邊心距r ，面積S14. 如圖所示，半徑為 R 的圓繞周長為 10 R 的正六邊形外邊作無滑動滾轉(zhuǎn)，繞完正六邊形后，圓一共轉(zhuǎn)了多少圈？一位同學的解答過程：圓的周長為2 R，所以它繞完正六邊形后一共轉(zhuǎn)了10R 圈，結果一共轉(zhuǎn)了 5 圈你認2 R為這位同學的解答有無錯誤？如有錯誤，請更正15某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行了如下討論：甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6 時，它也不