1、.數學為什么難以理解？ 郝寧湘一、彭加勒問題與彭氏解答數學為什么難以理解？這是世界著名數學家、科學家和哲學家彭加勒在其?科學與方法?一書中提出的問題以下簡稱彭加勒問題。盡管彭加勒的科學哲學思想和數學哲學思想在我國已得到了不同程度的研究，但他提出的數學為什么難以理解這一問題尚未引起人們的注意。筆者希望通過本文的闡述以引起數學哲學界，尤其是從事數學方法論和數學教育研究的人們對彭加勒問題的關注。彭加勒問題首先是在?科學與方法?的第一編第三章出現，彭加勒指出：“有人不理解數學，這是怎么發生的呢？既然數學有求助于所有正常思想都能承受的邏輯規那么，既然數學的證據建立在對一切人都是共同的原理的根底上，既然沒

2、有一個不發瘋的人會否認這一點，那么在這里為何出現如此之多的不開化的人呢？并非每一個人都可以創造，這決不是難以理解的。并非每一個人都可以記住一次學到的證明，這也可以略而不提。但是，當把數學推理加以解釋之后，并非每一個人都可以理解它，我們想想這件事，似乎是非常奇怪的。隨后，彭加勒又在第二編第二章進一步提出：“如此之多的人不愿理解數學，這種情況是怎么發生的呢？這難道不是一種悖論嗎？他們沒有創造的才能尚可諒解，但是我們向他們說明的論證，他們竟不理解，在我們看來是十清楚亮的閃光出如今他們面前時，他們竟視而不見，這是多么奇怪的事呀。彭加勒認為，“這是一個不容易解決的問題，但是它應當引起所有獻身于數學的人的

3、注意。那么彭加勒自己是如何解答這一問題的呢？這里我們先來看看彭加勒對“理解一詞是如何理解的。在彭加勒看來，理解首先意味著弄清一個定理的每一步的演繹推理，搞清它的正確性，它與數學規那么、邏輯規那么的一致性；以及弄清楚一個定義的全部意義。這是最淺層的理解，是對概念和定理“知其然的理解。這種理解事實上是遠遠不夠的，對于大多數學習數學的人來說，不僅要知道一個定理是怎樣證明的，而且更重要的是要知道這個定理為什么要這樣證明，是怎樣想到用這個方法、這個原理來證明的。這是彭加勒關于理解一詞的又一解釋，是“知其所以然意義上的理解。在學生心目中，老師證明一個定理似乎具有很大的任意性，他們不理解老師為什么這樣來證，

4、他們不知道一個定理的“所以然。另外，彭加勒對理解還作了直觀理解和抽象理解的區分盡管彭加勒沒有明確使用這兩個詞。他說：對于一個數學概念，一般人“都希望提出明顯的圖象；定義必須喚起這個圖象，以致在證明的每一個步驟中，他們可以看到它的變換和進展。只有在這一條件下，他們才能理解和記住。“假如他們在理論中或自然界中找不到它們，他們將不能理解這樣的數學概念的正當理由。這顯然指的是一種直觀的形象的理解。除此之外，我們還有“把空洞的形式組合起來的定義，這些形式是完全不可理解的、純粹不可理解的指不可作直觀的理解引者注，抽象剝去了全部內容。這就要求理解是一種抽象的理解。在理解了彭加勒關于理解的意義之后，我們來看看

5、彭加勒是怎樣解答自己提出的這個問題。彭加勒答復數學為什么難以理解這一問題，是結合著另一個與之親密相關的問題展開的，即數學推理為何會出錯？在他看來數學推理出錯的原因是多方面的，其中之一在于一個人的記憶力和注意力出了問題，他認為，在一個長系列的三段論推理過程中，人們很可能把一個開場是結論而隨后不久又作為前提的命題忘掉，或記錯它的意義，于是錯誤就由此而來。另外，對于常常使用的數學法那么，在開場證明的時候，人們還可以清楚地理解它的意義和使用范圍，但后來假如對其的意義記憶不清了就會把它用錯。不過彭加勒并不把記憶力和注意力的欠缺看成是數學推理出錯和數學難以理解的主要原因，他指出：“數學證明不是演繹推理的簡

6、單并列，它是按某種次序安置演繹推理，這些元素安置的順序比元素本身更為重要。假如我具有這種次序的感覺，也可以說這種次序的直覺，以便一眼就覺察到作為一個整體的推理，那么我已無需害怕我忘記這些元素之一，因為它們之中每一個都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人費心思記憶。可見，有沒有這種數學次序的感覺或直覺，被彭加勒看作是數學推理睬不會出錯和能不能理解數學的關鍵。因為根據這種數學次序的感覺或直覺，就可以以在數學推理過程中隱藏著的各種命題和法那么之間的和諧關系，推測出所需的命題和法那么，而不要死記硬背它們。由于這種直覺“并不是每一個人都具有的。有些人或者沒有這種如此難以定義的微妙的感覺，或者沒有超常

7、的記憶力和注意力，因此，他們絕對不可能理解較高級的數學。更重要的是，在彭加勒看來，只有超常的記憶力和注意力，而沒有數學直覺的人，他們可以理解數學，有時還能應用數學，但不能創造數學；而具有這種特殊的數學直覺的人，盡管記憶力和注意力毫無非同尋常之處，他們也能理解數學，并且可以成為數學創造者。另外，數學直觀不僅能幫助人們推測出數學證明所需的但又記憶不清的命題和法那么，而且更重要的是可以幫助人們從整體上或全局上選擇一條走向成功的道路。彭加勒正確地指出，你假如只能辯認一個推理過程是否正確，而不知道為什么要選擇這種推理而不是那種推理，那么你便會陷入困境。而邏輯只能告訴我們一個推理是否正確，“但是它不會告訴

8、我們那一條路能到達目的。為此，必須從遠處了望目的，教導我們了望的才能是直覺。可見，彭加勒認為，缺乏數學直覺是數學為什么難以理解的根本原因。最后，數學直覺還有一個作用，它能使完全抽象的、符號化的數學思維依附于一定的形象思維、直觀思維。彭加勒認為，“正是通過直覺，數學世界才能仍然與真實世界保持接觸，以填平把符號與實在分隔開的鴻溝。人們尤其是學生的思維往往負擔不起形式化較高的抽象思維，需要有一種形象的直觀的實在作為抽象思維的依附，數學直覺在此就起到一種“橋梁的作用。不過彭加勒也沒有過高地看重直覺的這層作用，因為在他看來，過于依賴形象與直觀，是造成數學出錯和數學難以理解的又一原因。其理由是，形象的、直

9、觀的東西往往是粗糙的、不可靠的，而數學需要的是嚴格與精神；數學推理也常常不顧人的直觀想象，推論出與直觀相違犯的結論。我們認為還有一條同樣重要的理由，即長期過于依賴形象的直觀的思維方式，會使這種思維方式成為一個人的思維定式，從而嚴重影響這個人的抽象思維才能的開展。最后，彭加勒認為，缺乏正確的推理技藝也是數學出錯與數學難以理解的一大原因。指出“數學老師首先應當培養正確推理技藝，我們應該不斷地仿效和贊美這些形式指數學家已經給出的數學推理形式引者注。認為要“有足夠的時機使學生練習數學那一部分中的正確推理。在此彭加勒非常強調了練習的重要性。經過以上闡述，我們認為，彭加勒把數學推理為何會出錯以及數學為什么

10、難以理解的原因歸結為以下四點了：記憶力和注意力較差；缺乏數學直覺；過于依賴形象思維、直觀思維；缺乏正確的推理技藝。其中缺乏數學直覺是最根本的原因。對于這個解答，我們認為它部分地解決了數學為什么難以理解這個問題，但也存在著需要進一步完善的地方。無疑，這是一個難解而又具有重大教育學意義的問題。二、數學困難與數學素質對于絕大多數人，數學尤其是高深的現代數學是難以理解的，數學推理是容易出錯的數學家也犯錯誤，這是眾所公認的事實。但數學為什么難以理解、為什么容易出錯，很少有人對此作過深化的考慮。彭加勒明確地提出了這一問題，并為解決此問題做出了重要奉獻，我們愿在此根底上提出自己的幾點淺見。為此，我們想先提出

11、“數學困難和“數學素質這兩個根本概念。因為數學的難以理解和易于出錯就是由于數學困難的存在，而數學困難的存在那么在于人們數學素質的相對低下。需要說明的是，本文所說的數學困難和數學素質只是相對于一般人理解數學而言的，而不泛指數學家創造數學的困難和所需素質。當然二者之間也可能有共同的地方。我們認為，數學困難有以下三種不同的分類：一是合理性困難，指對一個數學推理或一個概念等的合理性的辯認困難。如常常有學生搞不清楚在一個推理過程中從這一步到下一步的理由是什么；也有的學生對一個數學概念的意義不理解，對一個公理或定理的使用條件、范圍搞不清楚。二是抽象性困難，指運用或進展符號的形式化的抽象思維的困難。如很多人

12、學習抽象性較弱而直觀性較強的初等數學時很容易，而學習抽象性較強而直觀性較弱的高等數學時很困難。三是選擇性困難，指對一個數學問題解決的方法、途徑等的選擇性困難。如常常有學生面對一個數學問題不知如何下手，不知道應該選擇應用哪一個公里、定理，甚至不理解別人為什么這樣做而不那樣做。這三種困難中，合理性困難是最根本的具有較大合理性困難的人往往就是數學成績較差的人，抽象性困難是高一層次的困難，可以抑制這一層困難的人，一般對所學的東西都能自如的掌握將來至少是個應用數學的好手，選擇性困難是最高層次的困難，能不能抑制這層困難，將決定一個人能不能在數學上有較大的開展。當然，這三種數學困難是互相關聯、互相促進的。另

13、外，數學困難也是相對的，即同一個數學問題對于不同的人，其困難程度和困難類型是不同的，即使對于同一個人，同一個數學問題在他的不同時期，困難程度和困難類型也是不同的。因此，對于人們具有的數學困難，要根據其困難的不同類型和程度給予詳細地解決，否那么就是無的放矢。這在數學教育上有重要意義。產生數學困難的主要原因是人的智力因素。下面我們就分別將三種困難的形成原因作一簡單討論，同時也將說明人的數學素質或才能具有哪些方面的內容。首先，我們認為，數學合理性困難的產生是基于人的理解力、邏輯推理才能、想象力、記憶力和注意力的相對低下，所謂理解力主要是指對概念、性質和關系的辯認、分類才能，尋找邏輯關系或類比的才能。

14、假如一個人的理解力等不高，那么在他學習數學的過程中就會遇到種種合理性的困難。他會無法理解許多數學概念、無法發現命題之間的邏輯關系。面對一個如“蠟燭的長度為，燭影的長度比它長，問燭影的長是蠟燭的幾倍這樣的問題，他或者是不會解答，或者是答復“是三倍。即使給他再三提示，他也不會看出其答復的錯誤來。因此，我們認為，數學合理性困難首先是由于理解力相對低下而引起的。另外，記憶力和注意力相對低下也是引起數學合理性困難的一大原因。盡管具有一定的理解力，一時理解了的概念、命題和法那么，由于記憶力等不夠強、隨后也會象彭加勒所說的那樣，忘記或混淆了概念、命題和法那么的內涵，以及使用它們的條件和范圍。這種誤差只要有一

15、點點，結果就會是錯的。其次，數學抽象性困難是由人們長期形成的直觀思維定式所造成的。絕大多數人擅長形象的直觀的思維，對于抽象的數學符號人們往往駕御不了。假如他們在理論中或現實世界里找不到數學符號的“原型，他們就將無法理解這樣的數學概念，他們總希望能喚起一種形象的直觀的東西。當這種依賴形象和直觀事物的思維形式成為一個人的思維定式以后，他就會對不斷抽象的數學越來越無法理解。具有較好直觀性的初等數學有更多的人可以理解，而具有更高抽象性的高等數學沒有太多人可以理解，就說明了這一情況，最后，數學的選擇性困難，我們認為這是由于彭加勒所說的數學直覺的缺乏而造成的。數學直覺是一個很難定義的概念，本文暫且以彭加勒

16、的看法為根底對此作個簡要的描繪，即數學直覺是對數學符號的特定排列次序的一種突發性的整體的感覺或領悟。由于“它并不是每一個人都具有的，因此有些人“不可能理解較高級的數學，便也不是什么奇怪之事了。通過以上闡述，我們把數學困難的存在，或者數學為什么難以理解的原因，歸結為人們數學素質或才能的相對低下了，于是，剩下的任務便就成理解決這種素質或才能為什么低下的問題。這里我們無法對數學素質下個確切的定義，但以為它應該包括以下兩個方面的內容：抽象思維才能確切地說應該是駕御形式符號的才能；數學直覺。注意：這里我們沒有把邏輯推理才能、理解力、想象力、記憶力和注意力等包括在數學素質和才能的范圍內，這是因為這些才能均

17、是一些更根本更一般的才能，它們不僅是理解數學所必須的，也是理解其它各門科學所必須的，只是具有這些素質和才能還遠遠缺乏以理解數學。如律師和法官具有較強的邏輯分析和推理才能，詩人和畫家具有較強的想象力，但他們均可能理解不了微積分。這不是因為他們不具有根本的素質和才能，而是因為他們不具有理解數學所特有的素質和才能。我們認為，理解數學特有的才能應該是抽象思維才能的數學直覺。彭加勒把數學直覺當作了最主要的原因，我們以為這是他出于數學創造這一更大背景來考慮的，假如單純從理解數學這一點上來說，那么抽象思維才能或許是比數學直覺更重要的原因。在我們看來，數學是唯一的符號科學，這到不是因為其他學科中沒有符號，而是

18、因為只有數學符號是沒有“內容的，物理符號、化學符號都是有所指的，至少指稱一種理想物、想象物。因此，要理解數學必須具有駕御形式符號這一特殊才能。從小學算術到中學代數這個超越，是一部分學生數學成績突然下降的關口；而從初等代數到高等代數這個超越，更是大多數人無法越過的關卡，其根本原因就是抽象性的不斷進步。法官們可以作出邏輯性極強的分析和推理，但他們不會駕御形式符號，藝術家們可以作出令數學家也贊嘆的藝術想象，但他們不會想象形式符號。他們所能駕御和想象的是直觀的形象的詳細事物。下面我們就來看看人的根本素質或才能，尤其是人的數學素質或才能何以會相對的低下。對于這個問題我們要分兩部分來答復。一、就人的根本素

19、質或才能的相對低下而言，我們認為首先是人的先天遺傳因素引起的，神經心理學告訴我們，任何一種心理活動、認知活動都是以相應的神經生理活動為根底，有沒有一個健全的興隆的腦神經機能組織，將決定一個人能不能正常地理解一切事物。腦發育正常的人，他可以理解日常生活中的各種事物，可以理解一般的科學知識，甚至可以在某些學科上做出一定的奉獻，對于少數腦發育超常的人，那么可以在科學史上作出劃時代的出色奉獻如愛因斯坦。相反，對于腦發育有不同程度不良現象的人，他們往往不僅對理解數學是困難的，對理解其它各門學科也是困難的。當然，除了先天遺傳因素外，后天教育，尤其是早期教育也是一個重要的因素。后天教育不得當，就是先天條件比

20、較好的人，在以后的學習過程中也會受到不同程度的影響；反之，后天教育很得當，先天條件就是有點弱，也會有所補償。但更重要的還是先天條件。二、對于我們更主要的問題還是，為什么那些先天條件正常。即具備根本素質和才能的人也理解不了較高深的數學。這些人中不乏高智商的人，他們可以在其各行各業作出出色的成績，但就是理解不了較高深的數學，我們認為，造成這一現象的主要原因是一種先天的才能上的個性差異，心理學告訴我們，人們先天的才能的個性差異是客觀存在的，這種差異不僅表如今量上即開展的程度，大小和早晚上，而且也表如今質上即不同的人具有不同的特殊才能，以及對完成同一種活動可能采取不同途徑和方法的傾向。重要的是，人的才

21、能的個性差異是有其神經生理根底的，盡管人的才能的個性差異并不是單方面地由神經生理根底決定，而是由人的神經生理系統和外在環境影響下后獲得的暫時神經聯絡系統決定的，但一切暫時神經聯絡系統都是在一個人特有的神經生理根底上形成的，故這些暫時神經聯絡系統就都不可防止地要帶上一個人的神經生理類型的獨特色彩，使不同人的才能具有個性差異。如有的人善長藝術想象，而有的人善長形式推理；有的人善長形象記憶，而有的人善長符號記憶。理解數學所特需的才能；對形式符號的抽象思維，對形式符號排列次序的整體直覺，就是一類非常特殊而典型的個性化才能。我們認為，就是這種才能的上下，決定了一些人可以理解高深的數學、甚至是創造高深的數

22、學，而另一些人那么無法理解它。當然，后天對于數學素質或才能的強化培養與訓練，在一定程度上是有效的，但這要以一定的先天素質或才能為根底。先天素質或才能較差，是不可能成功地進展培養和訓練的。經過以上的闡述，我們還得出這么一個根本認識，即數學是一門對人的先天素質或才能有獨特要求的學科。大家知道，體育教練非常重視運發動的先天素質，一個先天素質優良的運發動，經過刻苦地訓練就可以獲得優異的成績，甚至是創造世界記錄。而一個先天體質較差的人，就是再苦練也不會創造出令世人贊揚的好成績，即決不是每一個人經過訓練就可以創世界記錄的。同樣，也決不是每一個人經過學習就可理解高深的現代數學的。同體育一樣，數學對人的先天素

23、質有著極特殊的要求。世界著名的心理學家馬斯洛也認為：“偉大的天才不僅多少賴于性格的優良和安康，而且也有賴于我們對之理解很少的某種東西。例如，有些證據說明，偉大的音樂天才和數學天才，更多地是通過遺傳而來，而不是后天獲得的。以上我們主要是從人的智力因素方面考察了數學為什么難以理解的原因。這固然是主要的一面，但有些非智力因素也可能是造成某些人不能理解較高深數學的重要原因。非智力因素很多，這里我們主要想就一個人的興趣、需要和意志三方面來談談這個問題。興趣是最好的老師。作為人對客體特殊的認識傾向的興趣，無疑在人的認識過程中發揮著重要作用，興趣這種認識傾向性除了它的持久性和穩定性特征外，對于主體來說，總是

24、與快樂、喜歡和滿意等情感體驗相伴隨的，即主體總是帶著“唯樂主義的情感去認識自己感興趣的對象。因此，對數學感興趣的學生，總是可以主動地去抑制一時遇到的各種困難，并在抑制困難的同時感到更大的樂趣。他們也能體驗到一種數學的美感：數和形的和諧，幾何學的雅致。當數學一再引發起一個人愉快的情感體驗時，那么他對數學的興趣就不僅僅是一種簡單的喜歡了，而是會上升為一種內在的精神需要。這時他就會把對數學的學習和研究看作是自己生命精神的一部分，學習數學是一件非常主動而情愿的事，就是不學反而感到失落、痛苦的一件事。這種人往往不怕困難，并且通常是主動地進攻困難。許多中學數學愛好者愿挑難題去作就說明這一點。相反，一個對于學習數學沒有內在需要、甚至毫無興趣的人，盡管他的素質和才能可能并不差，但真正遇到困難時他就很難主動地持久地去攻克困難，于是一時的困難就成了他永久的困難。更主要的是這很快就會造成一種惡性循環，前面的沒有弄懂，后面的就更難明白了。可見，有沒有對學習數學的興趣和需要，是一