1、1一、無窮積分 無窮區間上的廣義積分 . ) , )( 上有定義在設函數axf . ) , ()( , , 記且AaRxfaARA , d)(limd)( AaAaxxfxxf . ) , )( 上的無窮積分在稱之為axf限值稱此無窮積分收斂，極若式中的極限存在，則 該無窮積中的極限不存在，則稱即為無窮積分值；若式 . 分發散1. 無窮積分的概念2 類似地可定義： . )( d)(limd)( ) 1 ( bBxxfxxfbBBb d)(d)(d)( )2(ccxxfxxfxxf . d)(limd)(lim AcAcBBxxfxxf. d)( d)( d)( 收斂則稱同時收斂，與若xxfxx

2、fxxfcc . d)( , d)( d)( 發散則至少有一個發散與若xxfxxfxxfcc d)( 的可加性，而言，由定積分對區間對xxf . 0 . cc為方便起見，通常取值無關與顯然其收斂性3例1解 . d 0 2xexx計算AxAxxexxex 0 0 d limd 22 2xu 令2 0 d21limAuAue20 )(21limAuAe) 2121 (lim2AAe . 21能否將這里的書寫方式簡化？4 )( )( 的一個原函數，則約定是為書寫方便起見，若xfxF . )()(lim )(d)(0 aFxFxFxxfxa . )(lim)( )(d)( xFbFxFxxfxbb .

3、 )(lim)(lim )(d)( xFxFxFxxfxx這樣就將無窮積分的計算與定積分的計算聯系起來了. 5例5解 )0( d 的斂散性，積分討論axxPap . 為任意常數其中P : 1 時當P |lnd aaxxxaxxln |lnlim , . 1 積分發散時，故Pp : 1 時當Papapxxx 1d1 . 1 , 1 , 1 , 1 ppapp 發散 收斂6綜上所述， . 1 1 時發散時收斂；當積分當ppP )0( d axxPap積分72. 無窮積分的基本運算性質 均存在，則設以下所有出現的積分 . d)(d)(d)( )2( Rcxxfxxfxxfccaa . d)( d)(

4、 d)()( )3( aaaxxgxxfxxgxf . d)()( )()(d)()( )4( aaaxxvxuxvxuxxvxu . )5(分的換元法進行計算無窮積分也可按照定積 . d)(d)( ) 1 ( aaxxfxxf . d)(d)( , )()( ) , )6( aaxxgxxfxgxfa則上若在其它類型的無窮積分的情形類似于此. 83. 無窮積分斂散性的判別法 : , 定義式寫成下面的形式我們可以將無窮積分的實際上 ; d)(limd)( xaxattfxxf . d)(limd)( bxxbttfxxf . 函數來進行有關的討論這樣可以利用積分上限9定理 . 0)( , )

5、) , ()( xfaCxf且設函數 ) , d)()( attfxFxa在若積分上限函數 . d)( , 收斂則無窮積分上有上界axxf10證 , , 0)( , ) ) , ()( 所以且因為xfaCxf . ) , )( 上單調增加在積分上限函數axF , ) , )( 從而上有上界在又已知函數axF d)()( xattfxF . ) , 由極限存在準則上單調增加且有上界在a . d)(lim)(lim x存在可知極限xaxttfxF . d)( 收斂即無窮積分axxf11定理（ 比較判別法 ）, , , ) , )( , )( aARAaxgxf上有界在設函數 0)()(，xfxg

6、. d)( d)( ) 1 ( 也收斂收斂時，積分當則aaxxfxxg . d)( d)( )2( 也發散發散時，積分當aaxxgxxf , ) , ()( ),(且滿足AaRxgxf12證 )()(0 , 得時由xgxfxa d)( ) 1 ( ，則下列極限存在收斂若積分axxg , d)(d)(0 xaxattgttf , 積分上限函數從而 . ) , d)( )( 上有上界在attgxGxa , ) , d)()( 上有上界在attfxFxa . d)( 收斂故積分axxf . d)(lim Ittfxax , 故可知限過程中必有界由于有極限的量在該極13 . )2(運用反證法 , d)

7、( , d)( 收斂積分發散時如果aaxxgxxf . d)( : ) 1 ( 收斂立即可得出矛盾則由axxf . . , 之一積分是重要的比較標準斂散性的重要方法窮積分比較判別法也是判別無與級數的情形類似P14定理（比較判別法的極限形式法） , ) , , ) , )( , )( aAaxgxf上的非負函數為定義在設 . ) A , ()( , )(aRxgxf d)( d)( , 0 ) 1 ( 同時與無窮積分時當aaxxgxxf . , 或同時發散收斂 , , )( )(lim 那么若有極限xxfx . d)( , d)( , 0 )2( 收斂則收斂無窮積分時當aaxxfxxg . d)

8、( , d)( , )3( 發散則發散無窮積分時當aaxxfxxg15定理（柯西極限判別法） 積分綜合而成由比較判別法與P . 0)( , )0( ) ) , ()( xfaaCxf且設 , )(lim , 1 則存在使得若存在常數xfxppx ; d)( 收斂無窮積分axxf則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx . d)( 發散無窮積分axxf16證 : , )(lim , 1 則由極限的定義存在時設bxfxppx , , 11有時當xxax , 1 |)(|bxfxp , 1)(0 Mbxfxp故 ).( )(0 1xxxMxfp即有 , d 1 1故收斂積分的由于x

9、pxxMPp . d)( 1收斂無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11收斂可知由axxaaxxfxxfxxfxxf17則或者若 , )(lim 0)(lim xfxIxfxxx , 2 |)(| , , 11故有時當IIxfxxxax , 2 )(1MIxfx ) . , )(lim (Ixfxx可取任意正數作為時 ).( )( 11xxxMxf即有 , d 1 11故發散積分的由于xxxMPp . d)( 1發散無窮積分xxxf . d)( d)(d)(d)( 11發散可知由axxaaxxfxxfxxfxxf18例10解 . d arctan 1 的斂散性判別無窮積分xxx

10、因為 , 2arctanlimarctanlimxxxxxx . d arctan 1 是發散的故無窮積分xxx19例11解 1 23 . 1d 的斂散性判別無窮積分xxx 因為 , 1lim1lim2223xxxxxxxx . 1 d 1 23是發散的故無窮積分 xxx20例12解 1 2 . 1 d 的斂散性判別無窮積分xxx 因為) 12 ( , 11 lim1 1lim222pxxxxxxx . 1 d 1 2收斂故無窮積分 xxx21定理阿貝爾判別法阿貝爾判別法 . ) , )( , )( 上有定義在設axgxf ) , )( , d)( 上在函數收斂若積分axgxxfa . d)(

11、)( , , 收斂則積分有界單調axxgxf狄利克雷判別法狄利克雷判別法: . ) , )( , )( 上有定義在設axgxf，存在有界的原函數上若在 d)( )( )( ) , xattfxFxfa . d)()( , 0)(lim )( x收斂則積分單調減少且axxgxfxgxg22例13解 d)( 時，收斂，則當如果積分xxxfa 0)( 嗎？一定有xf . 不一定 . dsin 1 2xxI例如，考慮積分, 2dd , ttxtx則令 1 1 2 dsin21dsintttxxI，且顯然， 0 1lim)(lim , 1)() 1,ttgttgtt . )t(1 , 2 |cos1co

12、s| | cos| |dsin| | )(| 1 1 tuuutFtt . sinlim 2不存在原積分收斂，但由狄利克雷判別法可知xx234. 無窮積分的絕對收斂性 , d | )(| 則稱無窮積分收斂若積分axxf . d)( 為絕對收斂的axxf . d)( , 為條件收斂的則稱積分收斂axxf d)( , d | )(| aaxxfxxf而積分發散若積分 . ) , )( , d)( 上絕對可積在也稱為絕對收斂時axfxxfa24定理 , d | )(| , ) ) , ()( 收斂若設函數axxfaCxf . d)( 必收斂則axxf . 定收斂絕對收斂的無窮積分一25證 由于 ,

13、| )(| 2 | )(| )(0 xfxfxf , d| )(| 故無窮積分收斂又axxf . d) | )(|)( ( 收斂axxfxf , , | )(| ) | )(| )()( 從而但xfxfxfxf, d | )(|d) | )(| )(d)( aaaxxfxxfxfxxf . d)( 收斂故無窮積分axxf26定理（柯西判別法） , | )(|lim , ) , )( 則且上有定義在設Ixfxaxfpx . d | )(| , 0 1 ) 1 ( 收斂積分時且當axxfIp . d | )(| , 0 1 )2( 發散積分時且當axxfIp該定理的證明請讀者自己完成.27例14解

14、 . dsin 0 的斂散性判別無窮積分xxbexa) . 0 , , , (aba且為常數其中 , |sin| 0 且因為xaxaexbe , 11d0 0 aeaxexaxa , d 故無窮積分收斂即無窮積分axaxe . d |sin| 0 收斂xxbexa . ) ( dsin , 0 當然收斂絕對收斂無窮積分從而xxbexa28二、瑕積分1. 瑕積分的概念無界函數的廣義積分(1) 瑕點的概念為內無界，則稱點在，若函數 ),(U )( 0 00 xxxf . )( 的一個瑕點函數xf 1)( 的一個瑕點；是例如：axxfax . )1ln()( 1 2的瑕點是xxgx . 1)( 22

15、的瑕點是axxhax29(2) 瑕積分的概念 . , ,( )( 為其瑕點上有定義在設axbaxf , ) , ()( , 0 記若baRxf , d)(limd)( 0 babaxxfxxf . , )( 上的瑕積分在稱之為函數baxf , , 極限值即則稱該瑕積分收斂若式中極限存在 . , ; 則稱該瑕積分發散若式中極限不存在為瑕積分值30 . d)(limd)( 0 babaxxfxxf類似地，可定義, ) 1 (為瑕點時當bx , )( )2(為瑕點時當bcacxbccabaxxfxxfxxf d)(d)( d)( , )(limd)(lim0 0 b ccadxxfxxf . d)(

16、 , d)( d)( 才收斂同時收斂時與僅當babccaxxfxxfxxf . d)( , d)( d)( 發散至少有一個發散時與babccaxxfxxfxxf31與無窮積分的情形類似，瑕積分也有下列運算形式： . ) ( , )(lim)( )(d)( 為瑕點axxFbFxFxxfaxbaba . ) ( , )()(lim )(d)( 為瑕點bxaFxFxFxxfbxbaba這樣就將瑕積分的計算與定積分的計算聯系起來了. 322. 瑕積分基本運算性質 , 敘述為唯一瑕點的情形進行以下均以積分下限ax . 形仍成立其結論對其它瑕點的情 均存在，則設以下所有出現的積分 . d)(d)(d)(

17、)2( Rcxxfxxfxxfbccaba . d)( d)( d)()( )3( bababaxxgxxfxxgxf . d)()( )()(d)()( )4( bababaxxvxuxvxuxxvxu . )5(的換元法進行計算瑕積分也可按照定積分 . d)(d)( ) 1 ( abbaxxfxxf . d)(d)( , )()( ,( )6( babaxxgxxfxgxfba則上若在33例19解) ( . )( d )( 為任意常數的斂散性瑕積分討論paxxPbap . , , 0 ) 1 (故是收斂的積分為通常的定積分時當Pp , , , 0 )2(此時為瑕點時當axp . , |ln

18、 d , 1 積分發散則若Paxaxxpbaba , 1 則若p . 1 , 10 1)( )(11 )( d 1 1 發收pppabaxpaxxpbapbap34綜上所述，得 ; )(d )( , 1 收斂瑕積分時當bapaxxPp ; )(d )( , 1 發散瑕積分時當bapaxxPp35定理（瑕積分的比較判別法） , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕點與為設xgxfaxbaCxgxf . ) ,( , )()(0 baxxgxf且滿足 ; d)( , d)( 收斂則收斂若積分babaxxfxxg . d)( , d)( 發散則發散若積分babaxxgxxf36定理（比

19、較判別法的極限形式法） d)( d)( , 0 ) 1 ( 同時與無窮積分時當babaxxgxxf . , 或同時發散收斂 , , )( )(lim 那么若有極限xxfax . d)( , d)( , 0 )2( 收斂則收斂無窮積分時當babaxxfxxg . d)( , d)( , )3( 發散則發散無窮積分時當babaxxfxxg . ) ,( , )()(0 baxxgxf且滿足 , )( )( , ) ,( ()( ),( 的唯一瑕點與為設xgxfaxbaCxgxf37定理（瑕積分的柯西極限判別法） 積分綜合而成由比較判別法與P . , 0)( , ) ,( ()( 為其唯一的瑕點且設

20、axxfbaCxf , )()(lim , 10 則存在使得若存在常數xfaxppax ; d)( 收斂瑕積分axxf . d)( , )()(lim 發散則瑕積分apaxxxfxfax , 0)()(lim , 1 或者使得若存在常數Ixfaxppax38例19解 . sin d 1 0 的斂散性判別積分xx . 0 , sin1lim 0為瑕點故點因為xxx , 1sinlim sin 1lim 0210 xxxxxx又 , 01 1, 21 ,的情形即柯西判別法中Ip . sind 1 0 收斂故由柯西判別法知xx39例20解 . ln d 10 1 的斂散性判別積分xx . 1 , ,

21、 ln1lim 1是瑕點所以因為xxx , 1 1 1limln1) 1(lim 11xxxxx又羅 , 01 , 1 ,的情形即柯西判別法中Ip . lnd 10 1 發散故由柯西判別法知積分xx40例21解 . d1sin 1 0 2的斂散性判別積分xxx , 1 1sin 02xxx , 11lim , 1lim 2100 xxxxx又 . 0 ,因為為瑕點這是瑕積分x . ) 21 ( d 1 0 pxx收斂故瑕積分 . d1sin , 1 0 2收斂原積分從而xxx柯西判別法比較判別法41例22解 . , , d)1 ( 1 0 11為正常數其中的斂散性判別xxx . , 1 , 1

22、 該積分是通常的定積分時當 . 1 , 0 , 1 ,0 是被積函數的兩個瑕點時當xx . d)1 ( d)1 ( d)1 (1 21 1121 0 111 0 11xxxxxxxxx故令 : 1)1 (lim 1110及柯西判別法可知由xxxx . d)1 ( 21 0 11收斂xxx : 1)1 ()1 (lim 1111及柯西判別法可知由xxxx . d)1 ( 1 21 11收斂xxx . d)1 ( , 1 0 11收斂積分綜上所述xxx 11p 11p42三、廣義積分的柯西主值 ) 1 (無窮積分的柯西主值 按無窮積分的定義： d)(d)(d)(ccxxfxxfxxf . d)(l

23、imd)(lim AcAcBBxxfxxf的變化與即過程是相互獨立的等號右邊的兩項的極限 , BA . 不要求一致 , 變化一致的情與經常遇到要求在數學物理問題中BA . , 的特殊情形即需要考慮形AB43 . ) ,( )( 上有定義在設函數xf . ) , ()( , 0 , 記AARxfARA , d)(limd)( . AAAxxfxxfPV . ) ,( )( 值上的無窮積分的柯西主在稱之為xf 值意義下稱此無窮積分在柯西主若式中的極限存在，則 . 散分在柯西主值意義下發不存在，則稱該無窮積 ; , 若式中極限義下的無窮積分值極限值即為柯西主值意收斂無窮積分的柯西主值44例23解 d

24、sin 的斂散性討論無窮積分xx . 散性和柯西主值意義下的斂 , coslim1 cosdsin 0 0 xxxxx因為 . dsin , coslim 0 發散故積分不存在而xxxx . dsin , 發散無窮積分從而xx , 0dsinlimdsin . AAAxxxxPV又奇函數 . dsin 在柯西主值意義下收斂故無窮積分xx由此例想到一點什么沒有?45 :該例說明 . , 它本身不一定收斂義下收斂時無窮積分在柯西主值意 : d)( . d)( 的定義可知與由xxfPVxxf . d)( . , d)( 必收斂則收斂若xxfPVxxf46 . )( , , )( 為其瑕點上有定義在設

25、函數bcacxbaxf 記 , d)(d)( limd)( . 0 bccabaxxfxxfxxfPV . ) ( , )( 的柯西主值瑕點為上的瑕積分在稱之為cbaxf . ,值意義下收斂則稱此瑕積分在柯西主若式中的極限存在 . 值意義下發散則稱該瑕積分在柯西主 , ; 若式中極限不存在義下的瑕積分值極限值即為柯西主值意 )2(瑕積分的柯西主值47例24解 d 2 1 的斂散性討論積分xx . 散性和柯西主值意義下的斂 . 0 是被積函數的瑕點x , lnlim2ln lnd 02 0 2 0 xxxxx因為 . d , 2 1 是發散的瑕積分所以xx d d limd . 2 1 02 1

26、 xxxxxxPV而00 . ln2 |ln |ln lim2 1 0 xx . d . 21 收斂故積分xxPV48 . 1函數 :積分的斂散性首先研究一個含參變量 ). 0 ( , d 0 1sxexxs 0 ,為瑕點的又是一個以積分這個積分既是一個無窮x . 瑕積分 : , 將積分表示為為此 . ddd 1 11 0 1 0 1xesxesxesxsxsxs . 無窮積分的和這是一個瑕積分與一個瑕積分無窮積分49 , d , 0 1 0 1且的唯一的瑕點是因為xexxxs , 1lim1 10sxsxxex , 1 1d 1 0 1 0 1sxsxxss而 , , d , 0 1 0 1

27、從而收斂積分時故當xxss . d , 0 1 0 1收斂瑕積分時當xexsxs比較判別法的極限形式50 , 0limlim 12 1xsxxsxexxex又 : , d 1 2 故由比較判別法可知是收斂的而積分xx . d , 0 1 1收斂無窮積分時當xexsxs : , 0 ,斂下列含參變量的積分收時當綜上所述s ). 0 ( , d 0 1sxexxs . 積分該積分稱為歐拉第二型51 ) 1 (函數的概念 定的函數由含參變量的積分所確 ). 0 ( , d)( 0 1sxexsxs . ) Gamma ( 函數稱為 . 積分函數又稱為第二型歐拉52 )2(函數的簡單性質 .)( , 0s ) 1Cs時當 . )( ) 1( , 0 ) 2ssss時當 特別有 . )( ! ) 1()( ; )( ! ) 1( ; 1) 1 (ZnnnZnnn . sin )1 ( )( , 10 ) 3ssss時當下面證明這個遞推關系式53 . )( ) 1( , 0 :ssss時當證明時當運用分部積分法得 0 ,s d d) 1( 0 1 0 0 xexsexxexsxsxsxs )( )()(lim0 ssexexxxsxsx . )( ss 54例25解 . d , 21 0 2xex并由此計算求 , 2sin sin211 21 21 ss因為