1、matlab回歸（擬合）總結前言1、學三條命令polyfit(x,y,n)-擬合成一元冪函數（一元多次）regress(y,x)-可以多元， nlinfit(x,y,fun,beta0) (可用于任何類型的函數，任意多元函數，應用范圍最廣，最萬能的)2、同一個問題，這三條命令都可以使用，但結果肯定是不同的，因為擬合的近似結果，沒有唯一的標準的答案。相當于咨詢多個專家。3、回歸的操作步驟：根據圖形（實際點），選配一條恰當的函數形式（類型）-需要數學理論與基礎和經驗。（并寫出該函數表達式的一般形式，含待定系數）-選用某條回歸命令求出所有的待定系數。所以可以說，回歸就是求待定系數的過程（需確定函數的

2、形式）一、多元回歸分析對于多元線性回歸模型(其實可以是非線性，它通用性極高)：設變量的n組觀測值為記 ，則 的估計值為排列方式與線性代數中的線性方程組相同（），擬合成多元函數-regress使用格式：左邊用b=b, bint, r, rint, stats右邊用=regress(y, x)或regress(y, x, alpha)-命令中是先y后x, -須構造好矩陣x(x中的每列與目標函數的一項對應)-并且x要在最前面額外添加全1列/對應于常數項-y必須是列向量-結果是從常數項開始-與polyfit的不同。）其中： b為回歸系數，的估計值(第一個為常數項)，bint為回歸系數的區間估計，r:

3、殘差 ，rint: 殘差的置信區間，stats: 用于檢驗回歸模型的統計量，有四個數值：相關系數r2、F值、與F對應的概率p和殘差的方差（前兩個越大越好，后兩個越小越好），alpha: 顯著性水平（缺省時為0.05，即置信水平為95%），（alpha不影響b,只影響bint(區間估計)。它越小，即置信度越高，則bint范圍越大。顯著水平越高，則區間就越小）（返回五個結果）-如有n個自變量-有誤（n個待定系數），則b 中就有n+1個系數（含常數項，-第一項為常數項）(b-b的范圍/置信區間-殘差r-r的置信區間rint-點估計-區間估計 如果的置信區間（bint的第行）不包含0，則在顯著水平為時

4、拒絕的假設，認為變量是顯著的*(而rint殘差的區間應包含0則更好)。b,y等均為列向量,x為矩陣(表示了一組實際的數據)必須在x第一列添加一個全1列。-對應于常數項。相關系數r2越接近1，說明回歸方程越顯著；(r2越大越接近1越好)F越大，說明回歸方程越顯著；（F越大越好）與F對應的概率p越小越好，一定要P<a時拒絕H0而接受H1，即回歸模型成立。乘余（殘差）標準差（RMSE）越小越好(此處是殘差的方差，還沒有開方)（前兩個越大越好，后兩個越小越好）重點：regress(y,x) 重點與難點是如何加工處理矩陣x。 y是函數值，一定是只有一列。也即目標函數的形式是由矩陣X來確定如s=a+

5、b*x1+c*x2+d*x3+e*x12+f*x2*x3+g*x12,一定有一個常數項，且必須放在最前面（即x的第一列為全1列）X中的每一列對應于目標函數中的一項（目標函數有多少項則x中就有多少列）X=ones, x1, x2, x3, x1.2, x2.*x3，x1.2 (剔除待定系數的形式)regress: y/x順序，矩陣X需要加工處理nlinfit: x/y順序，X/Y就是原始的數據，不要做任何的加工。(即regress靠矩陣X來確定目標函數的類型形式（所以X很復雜，要作很多處理） 而nlinfit是靠程序來確定目標函數的類型形式（所以X就是原始數據，不要做任何處理）例1 測16名成年

6、女子的身高與腿長所得數據如下：身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿長8885889192939395969897969899100102配成y=a+b*x形式>> x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164'>> y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102'>> plot(x,y,'r+')>> z=x;

7、>> x=ones(16,1),x;-常數項>> b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);-處結果與polyfit(x,y,1)相同>>b,bint,stats得結果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612-每一行為一個區間 0.7194 0.6047 0.8340stats = 0.9282 180.9531 0.0000即；的置信區間為-33.7017，1.5612, 的置信區間為0.6047,0.834; r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0。p<0.05, 可知回歸模

8、型 y=-16.073+0.7194x 成立.>> b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,0.05);-結果相同>> b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,0.03);>> polyfit(x,y,1)-當為一元時（也只有一組數），則結果與regress是相同的，只是命令中x,y要交換順序，結果的系數排列順序完全相反，x中不需要全1列。ans =0.7194 -16.0730-此題也可用polyfit求解，殺雞用牛刀，脖子被切斷。3、殘差分析，作殘差圖：>>rcoplot(r,rint)從殘差圖

9、可以看出，除第二個數據外，其余數據的殘差離零點均較近，且殘差的置信區間均包含零點，這說明回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數據，而第二個數據可視為異常點(而剔除)4、預測及作圖：>> plot(x,y,'r+') >> hold on >> a=140:165; >> b=b(1)+b(2)*a;>> plot(a,b,'g')例2 觀測物體降落的距離s與時間t的關系，得到數據如下表，求s關于t的回歸方程t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (c

10、m)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48法一：直接作二次多項式回歸 t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; >> p,S=polyfit(t,s,2)p =489.2946 65.8896 9.1329得回歸模型

11、為 ：方法二-化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;>> T=ones(14,1), t', (t.2)' %？是否可行？等驗證.-因為有三個待定系數，所以有三列，始于常數項>> b,bint,r,rint,stats=regress(s',T);>> b,statsb = 9.1329 65.8896 489.2946stats =1.0e+

12、007 * 0.0000 1.0378 0 0.0000得回歸模型為 ： %結果與方法1相同polyfit-一元多次regress-多元一次-其實通過技巧也可以多元多次regress最通用的，萬能的，表面上是多元一次，其實可以變為多元多次且任意函數，如x有n列（不含全1列），則表達式中就有n+1列（第一個為常數項，其他每項與x的列序相對應）。例3 設某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統計數據如下，建立回歸模型，預測平均收入為1000、價格為6時的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入1000600 1200500300400130011001300300

13、價格5766875439選擇純二次模型，即 -用戶可以任意設計函數>> x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;>> x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;>> y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60'>>X=ones(10,1) x1' x2' (x1.2)' (x2.2)' b,bint,r,rint,stats=regress(y,X)>> b,stats b = 110.5313 0.1464

14、-26.5709 -0.0001 1.8475stats = 0.9702 40.6656 0.0005 20.5771故回歸模型為：剩余標準差為4.5362, 說明此回歸模型的顯著性較好.三、非線性回歸（擬合）使用格式：beta = nlinfit(x,y, 程序名,beta0) beta,r,J = nlinfit(X,y,fun,beta0)X給定的自變量數據,Y給定的因變量數據,fun要擬合的函數模型(句柄函數或者內聯函數形式),beta0函數模型中待定系數估計初值（即程序的初始實參）beta返回擬合后的待定系數其中beta為估計出的回歸系數；r為殘差；J為Jacobian矩陣輸入數據

15、x、y分別為n*m矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量。可以擬合成任意函數。最通用的，萬能的命令x,y順序，x不需要任何加工，直接用原始數據。-所編的程序一定是兩個形參（待定系數/向量，自變量/矩陣：每一列為一個自變量）結果要看殘差的大小和是否有警告信息，如有警告則換一個b0初始向量再重新計算。本程序中也可能要用.* ./ .如結果中有警告信息，則必須多次換初值來試算.難點是編程序與初值存在的問題：不同的beta0,則會產生不同的結果，如何給待定系數的初值以及如何分析結果的好壞，如出現警告信息，則換一個待定系數試一試。因為擬合本來就是近似的，可能有多個結果。1:重點（難點）是預先

16、編程序（即確定目標函數的形式，而regress的目標函數由x矩陣來確定，其重難點為構造矩陣a）2:x/y順序列向量-x/y是原始數據，不要做任何修改3：編程： 一定兩個形參（beta,x）a=beta(1); b=beta(2);c=beta(3); x1=x(:,1); x2=x(:,2); x3=x(:,3); 即每一列為一個自變量4：regress/nlinfit都是列向量5：regress:有n項（n個待定系數），x就有n列；nlinfit:有m個變量則x就有m列例1 已知數據：x1=0.5,0.4,0.3,0.2,0.1; x2=0.3,0.5,0.2,0.4,0.6; x

17、3=1.8,1.4,1.0,1.4,1.8;y=0.785,0.703,0.583,0.571,0.126;且y與x1，x2 , x3關系為多元非線性關系（只與x2,x3相關）為： y=a+b*x2+c*x3+d*(x2.2)+e*(x3.2)此函數是由用戶根據圖形的形狀等所配的曲線，即自己選定函數類型求非線性回歸系數a , b , c , d , e 。(1)對回歸模型建立M文件model.m如下:function yy=myfun(beta,x) %一定是兩個參數：系數和自變量-一個向量/一個矩陣a=beta(1)b=beta(2)c=beta(3)d=beta(4)e=beta

18、(5)x1=x(:,1); %系數是數組，b(1),b(2),b(n)依次代表系數1, 系數2, 系數nx2=x(:,2); %自變量x是一個矩陣,它的每一列分別代表一個變量,有n列就可以最多nx3=x(:,3);yy=beta(1)+beta(2)*x2+beta(3)*x3+beta(4)*(x2.2)+beta(5)*(x3.2);(b(i)與待定系數的順序關系可以任意排列，并不是一定常數項在最前，只是結果與自己指定的相對應)（x一定是一列對應一個變量，不能x1=x(1),x2=x(2),x3=x(3)）(2)主程序如下:x=0.5,0.4,0.3,0.2,0.1;0.3,0.5,0.2

19、,0.4,0.6;1.8,1.4,1.0,1.4,1.8'-每一列為一個變量y=0.785,0.703,0.583,0.571,0.126'beta0=1,1, 1,1, 1,1' %有多少個待定系數，就給多少個初始值。beta,r,j = nlinfit(x,y,myfun,beta0)beta = -0.4420 5.5111 0.3837 -8.1734 -0.1340例2混凝土的抗壓強度隨養護時間的延長而增加，現將一批混凝土作成12個試塊，記錄了養護日期（日）及抗壓強度y（kg/cm2）的數據： 養護時間：x =2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 2

20、8 56 抗壓強度：y =35+r 42+r 47+r 53+r 59+r 65+r 68+r 73+r 76+r 82+r 86+r 99+r 建立非線性回歸模型，對得到的模型和系數進行檢驗。 注明：此題中的+r代表加上一個-0.5,0.5之間的隨機數 模型為：y=a+k1*exp(m*x)+k2*exp(-m*x); -有四個待定系數Matlab程序：x=2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56; r=rand(1,12)-0.5; y1=35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99; y=y1+r ;myfunc=inline('bet

21、a(1)+beta(2)*exp(beta(4)*x)+beta(3)*exp(-beta(4)*x)','beta','x'); -beta=nlinfit(x,y,myfunc,0.5 0.5 0.5 0.5); -初值為0.2也可以，如為1則不行，則試著換系數初值-此處為一元，x,y行/列向量都可以a=beta(1),k1=beta(2),k2=beta(3),m=beta(4)%test the modelxx=min(x):max(x); -2：56yy=a+k1*exp(m*xx)+k2*exp(-m*xx); plot(x,y,'o

22、',xx,yy,'r') 結果： a = 87.5244 k1 = 0.0269 k2 = -63.4591 m = 0.1083 圖形：例3 出鋼時所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增大.我們希望知道使用次數與增大的容積之間的關系.對一鋼包作試驗，測得的數據列于下表：使用次數增大容積使用次數增大容積234567896.428.209.589.509.7010.009.939.991011121314151610.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76對將要擬合的非線性模型y= aeb/x，（如再加y= c*sin(x)+a

23、eb/x）建立m-文件volum.m如下：function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);或function f=zhang1(beta,x)a=beta(1);b=beta(2);f=a*exp(b./x);-2、輸入數據：>> x=2:16;>> y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76;>> beta0=8 2'-初值1，1也可以3、求回歸系數：>>

24、beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',beta0); %beta0初值為列/行向量都可以，還是為列吧。>> betabeta = 11.6037 -1.0641即得回歸模型為：4、預測及作圖： >> YY,delta=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)>>plot(x,y,'k+',x,YY,'r')或>> plot(x,y,'ro')>> hold on>> xx=2

25、:0.05:16;>> yy=beta(1)*exp(beta(2)./xx);>> plot(xx,yy,'g')又或>> plot(x,y,'ro') >> hold on>> xx=2:0.05:16;>> yy=volum(beta,xx);-通過調用用戶自編的函數>> plot(xx,yy,'g')>> beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',1,1); %下面換了多個初值，結果都是一樣

26、的。>> betabeta =11.6037 -1.0641>> beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',1,5);>> betabeta = 11.6037 -1.064>> beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',10,5);beta =11.6037 -1.0641>> beta,r ,J=nlinfit(x',y','volum',10,50);beta =11.6037 -1.064

27、1例4 財政收入預測問題：財政收入與國民收入、工業總產值、農業總產值、總人口、就業人口、固定資產投資等因素有關。下表列出了1952-1981年的原始數據，試構造預測模型。財政收入預測問題：財政收入與國民收入、工業總產值、農業總產值、總人口、就業人口、固定資產投資等因素有關。下表列出了1952-1981年的原始數據，試構造預測模型。年份國民收入（億元）工業總產值(億元)農業總產值（億元）總人口（萬人）就業人口（萬人）固定資產投資（億元）財政收入(億元)1952598349461574822072944184195358645547558796213648921619547075204916026

28、621832972481955737558529614652232898254195682571555662828230181502681957837798575646532371113928619581028123559865994266002563571959111416815096720726173338444196010791870444662072588038050619617571156434658592559013827119626779644616729525110662301963779104651469172266408526619649431250584704992773

29、612932319651152158163272538286701753931966132219116877454229805212466196712491647697763683081415635219681187156568078534319151273031969137221016888067133225207447197016382747767829923443231256419711780315679085229356203556381972183333657898717735854354658197319783684855892113665237469119741993369689

30、19085937369393655197521214254932924213816846269219762052430995593717388344436571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810解 設國民收入、工業總產值、農業總產值、總人口、就業人口、固定資產投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財政收入為

31、y，設變量之間的關系為：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解。1  對回歸模型建立M文件model.m如下: function yy=model(beta0,X) %一定是兩個參數，第一個為系數數組，b(1),b(2),b(n) %分別代表每個系數，而第二個參數代表所有的自變量， %是一個矩陣，它的每一列分別代表一個自變量。 a=beta0(1); b=beta0(2); %每個元素 c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); %每一列 x2=X(:,2); x3=X(:,

32、3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 2. 主程序liti6.m如下:X=598.00, 349.00 ,461.00, 57482.00, 20729.00, 44.00;586, 455, 475, 58796, 21364, 89;707, 520, 491, 60266, 21832, 97;737, 558, 529, 61465, 22328, 98;825, 715, 556, 62828, 23018, 150;837, 798, 575, 64653, 23711, 139

33、;1028, 1235, 598, 65994, 26600, 256;1114, 1681, 509, 67207, 26173, 338;1079, 1870, 444, 66207, 25880, 380;757, 1156, 434, 65859, 25590, 138;677, 964, 461, 67295, 25110, 66;779, 1046, 514, 69172, 26640, 85;943, 1250, 584, 70499, 27736, 129;1152, 1581, 632, 72538, 28670, 175;1322, 1911, 687, 74542, 29

34、805, 212;1249, 1647, 697, 76368, 30814, 156;1187, 1565, 680, 78534, 31915, 127;1372, 2101, 688, 80671, 33225, 207;1638, 2747, 767, 82992, 34432, 312;1780, 3156, 790, 85229, 35620, 355;1833, 3365, 789, 87177, 35854, 354;1978, 3684, 855, 89211, 36652, 374;1993, 3696, 891, 90859, 37369, 393;2121, 4254,

35、 932, 92421, 38168, 462;2052, 4309, 955, 93717, 38834, 443;2189, 4925, 971, 94974, 39377, 454;2475, 5590, 1058, 96259, 39856, 550;2702, 6065, 1150, 97542, 40581, 564;2791, 6592, 1194, 98705, 41896, 568;2927, 6862, 1273, 100072, 73280, 496;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506

36、.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0'beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,'model',beta0)結果為betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.0230 0.3658(結果也可能是：0.3459 -0.0180 -0.3700 0.0030 -0.0020 0.4728)即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230x5+0.3658x6此題也可以用regress來求解（我自己做的，不一定對？）-結果有些不同，含有一個常數>> clear>> x=xlsread('cz.xls'); %已經把所有的有效數據拷入到cd.xls文件中去了。>> y=x(:,7);&