1、精選優質文檔-傾情為你奉上選修45不等式選講1兩個實數大小關系的基本事實a>b_；ab_；a<b_.2不等式的基本性質(1)對稱性：如果a>b，那么_；如果_，那么a>b.即a>b_.(2)傳遞性：如果a>b，b>c，那么_(3)可加性：如果a>b，那么_(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么_；如果a>b，c<0，那么_(5)乘方：如果a>b>0，那么an_bn(nN，n>1)(6)開方：如果a>b>0，那么_(nN，n>1)3絕對值三角不等式(1)性質1：|ab|_.(2)性質2：|

2、a|b|_.性質3：_|ab|_.4絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>a(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，當且僅當ab時，等號成立(2)定理(

3、基本不等式)：如果a，b>0，那么_，當且僅當_時，等號成立也可以表述為：兩個_的算術平均_它們的幾何平均(3)利用基本不等式求最值對兩個正實數x，y，如果它們的和S是定值，則當且僅當_時，它們的積P取得最_值；如果它們的積P是定值，則當且僅當_時，它們的和S取得最_值6三個正數的算術幾何平均不等式(1)定理如果a，b，c均為正數，那么_，當且僅當_時，等號成立即三個正數的算術平均_它們的幾何平均(2)基本不等式的推廣對于n個正數a1，a2，an，它們的算術平均_它們的幾何平均，即_，當且僅當_時，等號成立7柯西不等式(1)設a，b，c，d均為實數，則(a2b2)(c2d2)(acbd)

4、2，當且僅當adbc時等號成立(2)設a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個數k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設，是兩個向量，則|·|，當且僅當是零向量，或存在實數k，使k時，等號成立8證明不等式的方法(1)比較法求差比較法知道a>bab>0，a<bab<0，因此要證明a>b，只要證明_即可，這種方法稱為求差比較法求商比較法由a>b>0>1且a>0，b>0，因此當a>0

5、，b>0時要證明a>b，只要證明_即可，這種方法稱為求商比較法(2)分析法從待證不等式出發，逐步尋求使它成立的_，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)這種證法稱為分析法，即“執果索因”的證明方法(3)綜合法從已知條件出發，利用不等式的有關性質或定理，經過推理論證，推導出所要證明的不等式成立，即“由因尋果”的方法，這種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式_的假設；第二步：從條件和假設出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結論，否定假設，從而證明原不等式成立(5)放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當地_，以利于化簡，并使

6、它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得到欲證不等式成立(6)數學歸納法設Pn是一個與自然數相關的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切自然數成立1不等式|2x1|x2|<0的解集為_2不等式1<|x1|<3的解集為_3(2013·福建改編)設不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.則a的值為_4已知a、b、m均為正數，且a<b，M，N，則M、N的大小關系是_5設a，b，c，則a，b，c的大小關系為_.題型一含絕對值的不等式的解法例1(2012·

7、課標全國)已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍思維升華解絕對值不等式的基本方法：(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉化為解不含絕對值符號的普通不等式；(2)當不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉化為解不含絕對值符號的普通不等式；(3)利用絕對值的幾何意義，數形結合求解已知函數f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍題型二柯西不等式的應用例2已知3x22y26，求證：2xy

8、.思維升華使用柯西不等式時，關鍵是將已知條件通過配湊，轉化為符合柯西不等式條件的式子，二維形式的柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時等號成立若3x4y2，試求x2y2的最小值題型三不等式的證明方法例3已知a，b，c(0，)，且abc1，求證：(1)(1)·(1)·(1)8；(2).思維升華用綜合法證明不等式是“由因導果”，分析法證明不等式是“執果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉化，互相滲透，互為前提，充分

9、利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野設a，b，c>0，且abbcca1.求證：(1)abc；(2) ()絕對值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思維啟迪本題不等式為|xa|xb|c型不等式，解此類不等式有三種方法：幾何法、分區間(分類)討論法和圖象法規范解答解方法一如圖所示，設數軸上與1,1對應的點分別為A，B，那么A，B兩點的距離和為2，因此區間1,1上的數都不是不等式的解設在A點左側有一點A1，到A，B兩點的距離和為3，A1對應數軸上的x.4分1x1x3，得x.同理設B點右側有一點B1到A，B兩點距離之和為3，B1對應數軸上的x，x1x(1)3.x.從數軸

10、上可看到，點A1，B1之間的點到A，B的距離之和都大于3；點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A，B的距離之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二當x1時，原不等式可化為(x1)(x1)3，解得：x.3分當1<x<1時，原不等式可以化為x1(x1)3，即23.不成立，無解6分當x1時，原不等式可以化為x1x13.所以x.9分綜上，可知原不等式的解集為.10分方法三將原不等式轉化為|x1|x1|30.構造函數y|x1|x1|3，即y3分作出函數的圖象，如圖所示：函數的零點是，.從圖象可知，當x或x時，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集為.10分溫馨提醒這三

11、種方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中關鍵是找到特殊點，方法二中的分類討論要遵循“不重不漏”的原則，方法三則要準確畫出函數圖象，并準確找出零點.方法與技巧1解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉化為一元一次和一元二次不等式(組)進行求解含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m為正常數)，利用實數絕對值的幾何意義求解較簡便2不等式的證明方法靈活，要注意體會，要根據具體情況選擇證明方法3柯西不等式的證明有多種方法，如數學歸納法，教材中的參數配方法(或判別式法)等，參數配方法在解決其它問題方面應用比較廣泛柯西不等式

12、的應用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函數最值，解方程等應用時，通過拆常數，重新排序、添項，改變結構等手段改變題設條件，以利于應用柯西不等式失誤與防范1理解絕對值不等式的幾何意義2掌握分類討論的標準，做到不重不漏3利用基本不等式必須要找準“對應點”，明確“類比對象”，使其符合幾個著名不等式的特征4注意檢驗等號成立的條件，特別是多次使用不等式時，必須使等號同時成立.A組專項基礎訓練1已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.2(2013·江蘇)已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.3若a、b、c均為實數，且ax22y，by22z，cz22x

13、.求證：a、b、c中至少有一個大于0.4(2013·課標全國)設a、b、c均為正數，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1.5設不等式|2x1|<1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小6(2013·遼寧)已知函數f(x)|xa|，其中a1.(1)當a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a的值B組專項能力提升1若nN*，Sn，求證：<Sn<.2(2013·課標全國)已知函數f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，

14、求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設a>1，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍3(2012·福建)已知函數f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.4設a，b，c為正實數，求證：abc2.答案要點梳理1ab>0ab0ab<02(1)b<ab<ab<a(2)a>c(3)ac>bc(4)ac>bcac<bc(5)>(6)>3(1)|a|b|(2)|ab|a|b|a|b|4(1)x|a<x<ax|x>a或x

15、<ax|xR且x0R(2)caxbcaxbc或axbc5(2)ab正數不小于(即大于或等于)(3)xy大xy小6(1)abc不小于(2)不小于a1a2an8(1)ab>0>1(2)充分條件(4)相反(5)放大或縮小夯基釋疑1x|1<x<12.(4，2)(0,2)314.M<N5.a>b>c題型分類·深度剖析例1解(1)當a3時，f(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2<x<3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|x

16、a|.當x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0跟蹤訓練1解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(2)當a2時，f(x)|x2|，設g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以當x<3時，g(x)>5；當3x2時，g(x)5；當x>2時，g(x)>5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為(，5方法二(1)同方法一(2)當a

17、2時，f(x)|x2|.設g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當且僅當3x2時等號成立)，得g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為(，5例2證明由于2xy(x)(y)，由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2()2()2(3x22y2)()×6×611，|2xy|，2xy.跟蹤訓練2解由柯西不等式(3242)·(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中當且僅當時等號成立，x2y2取得最小值，由方程組解得因此當x，y時，x2

18、y2取得最小值，最小值為.例3證明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)·(1)·(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，兩邊同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.跟蹤訓練3證明(1)要證abc，由于a，b，c>0，因此只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2 (當且僅當abc時等號成立)證得原不等式成立(2) .在(

19、1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明.即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca (abc時等號成立)原不等式成立練出高分A組1解|x3|x4|9，當x<3時，x3(x4)9，即4x<3；當3x4時，x3(x4)79恒成立；當x>4時，x3x49，即4<x5.綜上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，當t時取等號Bx|x2，ABx|2x52證明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab>0，所以ab0，ab>0,2ab>0，從而

20、(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3證明假設a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc>0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.4證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5解(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以Mx|0<x<1(2)由(1)和a，bM可知0<a<1,0<b<1.所以(ab