1、高中物理競賽培訓第十二講 功能原理和機械能守恒定律功能原理根據質點系動能定理當質點系內有保守力作用和非保守力作用時，內力所做功又可分為而由保守力做功特點知，保守力做功等于勢能增量的負值，即 于是得到用E表示勢能與動能之和，稱為系統機械能，結果得到 外力的功和非保守力內力所做功之和等于系統機械能的增量，這就是質點系的功能原理。可以得到（外力做正功使物體系機械能增加，而內部的非保守力作負功會使物體系的機械能減少）。 功能原理適用于分析既有外力做功，又有內部非保守力做功的物體系，請看下題：圖4-7-1 勁度系數為k的輕質彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個質量為m的木塊（圖4-7-1）開始時木塊靜止

2、平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動摩擦因數為。然后加一個水平向右的恒力作用于木塊上。（1）要保證在任何情況下都能拉動木塊，此恒力F不得小于多少？（2）用這個力F拉木塊，當木塊的速度再次為零時，彈簧可能的伸長量是多少？ 題目告知“開始時木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明確切的位置，也就是說木塊在該位置時所受的靜摩擦力和彈簧的形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時，木塊在O點，那么當木塊在O點右方時，所受的彈簧的作用力向右。因為木塊初始狀態是靜止的，所以彈簧的拉力不能大于木塊所受的最大靜摩擦力。要將木塊向右拉動，還需要克服一個向左的靜摩擦力，所以只要F2，即可保證在任何情況下都能

3、拉動木塊。 設物體的初始位置為，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在此過程中，外部有力F做功，內部有非保守力f做功，木塊的動能增量為零，所以根據物體系的功能原理有可得因為木塊一開始靜止，所以要求 可見，當木塊再次靜止時，彈簧可能的伸長是 機械能守恒定律 若外力的與非保守內力的功之和為零時，則系統機械能守恒，這就是機械能守恒定律。 注意：該定律只適用于慣性系，它同時必須是選擇同一慣性參照系。在機械能守恒系統中，由于保守內力做功，動能和勢能相互轉化，而總的機械能則保持不變。下面介紹一例由機械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流體 不可壓縮的、沒有粘滯性的流體，稱為理想流體。定常流動

4、 觀察一段河床比較平緩的河水的流動，你可以看到河水平靜地流著，過一會兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速沒有什么變化。河水不斷地流走，可是這段河水的流動狀態沒有改變。河水的這種流動就是定常流動。流體質點經過空間各點的流速雖然可以不同，但如果空間每一點的流速不隨時間而改變，這樣的流動就叫做定常流動。自來水管中的水流，石油管道中石油的流動，都可以看做定常流動。 流體的流動可以用流線形象地表示。在定常流動中，流線表示流體質點的運動軌跡。圖4-7-2是液體流過圓柱體時流線的分布。A、B處液體流過的橫截面積大，CD處液體流過的橫截面積小。液體在CD處流得急，流速大。AB處的流線疏，CD處的流線密，

5、這樣，從流線的分布可以知道流速的大小。流線疏的地方，流速小；流線密的地方，流速大。圖4-7-2伯努利方程 現在研究理想流體做定常流動時流體中壓強和流速的關系。圖4-7-3表示一個細管，其中流體由左向右流動。在管的處和處用橫截面截出一段流圖4-7-3體，即處和處之間的流體，作為研究對象。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對研究對象的壓強為，方向垂直于向右。 處的橫截面積為，流速為，高度為，處左邊的流體對研究對象的壓強為，方向垂直于向左。 經過很短的時間間隔，這段流體的左端由移到。右端由移到。兩端移動的距離分別為和。左端流入的流體體積為，右端流出的流體體積為，理想流體是不可壓縮的，流入

6、和流出的體積相等，記為。 現在考慮左右兩端的力對這段流體所做的功。作用在液體左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的總功 （1） 外力做功使這段流體的機械能發生改變。初狀態的機械能是到這段流體的機械能，末狀態的機械能是到這段流體的機械能。由到這一段，經過時間，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定常流動，流體的密度和各點的流速沒有改變，動能和重力勢能都沒有改變，所以這一段的機械能沒有改變，這樣機械能的改變就等于流出的那部分流體的機械能減去流入的那部分流體的機械圖4-7-4能。 由于，所以流入的那部分流體的動能為 重力勢能為流出流體的動能為 重力勢能為機械能的改變為 （

7、2） 理想流體沒有粘滯性，流體在流動中機械能不會轉化為內能，所以這段流體兩端受的力所做的總功W等于機械能的改變，即 W= （3）將（1）式和（2）式代入（3）式，得 整理后得 （4）和是在流體中任意取的，所以上式可表示為對管中流體的任意處： 常量 （5） （4）式和（5）式稱為伯努利方程。 流體水平流動時，或者高度差的影響不顯著時（如氣體的流動），伯努利方程可表達為 常量 （6） 從（6）式可知，在流動的流體中，壓強跟流速有關，流速v大的地方要強p小，流速v小的地方壓強p大。圖4-7-5知道壓強和流速的關系，就可以解釋本節開始所做的實驗了。經過漏斗吹乒乓球時，乒乓球上方空氣的流速大，壓強小，下

8、方空氣的壓強大，乒乓球受到向上的力，所以會貼在漏斗上不會掉下來。向兩張紙中間吹氣，兩張紙中間空氣的流速大，壓強小，外邊空氣的壓強大，所以兩張紙將互相貼近。同樣的道理，兩艘并排的船同向行駛時（圖4-7-4）如果速度較大，兩船會互相靠近，有相撞的危險。歷史上就曾經發生過這類事故。在航海中。對并排同向行駛的船舶，要限制航速和兩船的距離。伯努利方程的應用： 球類比賽中的旋轉球和不轉球的飛行軌跡不同，是因為球周圍空氣流動情況不同造成的。圖4-7-5甲表示不轉球水平向左運動時周圍空氣的流線。球的上方和下方流線對稱，流速相同，上下不產生壓強差。現在考慮球的旋轉，致使球的下方空氣的流速增大，上方流速減小，周圍

9、空氣流線如圖乙所示。球的下方流速大，壓強小，上方流速小，壓強大。跟不轉球相比，圖4-1-6乙所示旋轉球因為旋轉而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。 例：如圖4-7-6所示，用一彈簧把兩物塊A和B連接起來后，置于水平地面上。已知A和B的質量分別為和。問應給物塊A上加多大的壓力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后會出現B對地無壓力的情況？彈簧的質量略去不計。圖4-7-6設彈簧原長為，建立如圖4-7-7所示的坐標，以k表示彈簧的勁度系數，則有 取圖中O點處為重力勢能零點，當A受力F由O點再被壓縮了x時，系統的機械能為 撤去F當A上升到最高處即彈簧較其自然長度再伸長時，系統的機械能圖4-7-7為 A在x處時，其受力滿足 ，以式的代入上式，乃有 當F撤去A上升到處時，彈簧的彈力大小為，設此時B受到地面的支持力為N，則對于