1、一三角函數與解三角形(A)1.在ABC中,a,b,c分別是內角A,B,C的對邊,已知C=2A,cos A=34,·=272.(1)求cos B的值;(2)求b的值.2.在ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,c=3,cos2A-cos2B=3sin Acos A-3sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.3.在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos A=35,tan(B-A)=.(1)求tan B的值;(2)若c=13,求ABC的面積.4.在ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且acos B+

2、bsin A=c.(1)求角A的大小;(2)若a=2,ABC的面積為,求b+c的值.一三角函數與解三角形(B)1.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面積的最大值.2.在ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B2.(1)求證:c=2b;(2)若ABC的面積S=5b2-a2,求tan A的值.3.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A;(2)若a=4,求b2+c2的取值

3、范圍.4.已知ABC中,AC=42,BC=4,ABC =.(1)求角A和ABC的面積;(2)若CD為AB上的中線,求CD2.參考答案A卷1.解:(1)因為C=2A,cos A=34,所以cos C=cos 2A=2cos2A-1=2×342-1=18.因為0<A<,0<C<,所以sin A=,sin C=1-cos2C=378.所以cos B=cos-(A+C)=-cos(A+C)=-(cos Acos C-sin Asin C)=.(2)因為·=,所以accos B=,所以ac=24,因為=,所以a=23c.由a=23c,ac=24,解得a=4,c

4、=6.所以b2=a2+c2-2accos B=42+62-2×24×=25.所以b=5.2.解:(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-12cos 2A=sin 2B-12cos 2B,sin(2A-)=sin(2B-),由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=23,所以C=.(2)由c=3,sin A=45,=,得a=85,由a<c,得A<C,從而cos A=35,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.所以ABC的面積為S=12acsin B=83+1825.3.解:(1)在

5、ABC中,由cos A=35,得A為銳角,所以sin A=45,所以tan A=sinAcosA=43,所以tan B=tan(B-A)+A=3.(2)在三角形ABC中,由tan B=3,得sin B=31010,cos B=,由sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=,得b=15,所以ABC的面積S=12bcsin A=12×15×13×45=78.4.解:(1)在ABC中,acos B+bsin A=c,由正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin C,又sin C=sin(A+B)=sin A

6、cos B+cos Asin B,所以sin Bsin A=cos Asin B,又sin B0,所以sin A=cos A,又A(0,),所以tan A=1,A=.(2)由SABC=12bcsin A=bc=2-12,解得bc=2-2,又a2=b2+c2-2bccos A,所以2=b2+c2-2bc=(b+c)2-(2+2)bc,所以(b+c)2=2+(2+2)bc=2+(2+2)(2-2)=4,所以b+c=2.參考答案B卷1.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos

7、Bsin C.由和C(0,)得sin B=cos B,又B(0,),所以B=.(2)ABC的面積S=12acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,當且僅當a=c時,等號成立.因此ABC面積的最大值為2+1.2.(1)證明:ABC中,由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,得sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B,展開化簡得,cos Bsin C=2sin Bcos B,又因為B,所以cos B0,所以sin C=2sin B,由正弦定理得,c=2b.(2)解:因為ABC的面積為S=5b2-a2,所以有12bcs

8、in A=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2,又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A,代入得b2sin A=4b2cos A,所以tan A=4.3.解:(1)根據正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,則b2+c2-a22bc=12,即cos A=12,由于0<A<,所以A=.(2)根據余弦定理,a2=b2+c2-2bccos =b2+c2-bc,所以b2+c2=16+bc16+b2+c22,當且僅當b=c時取等號,則有b2+c232,又b2+c2=16+bc>16,所以b2+c2的取值范圍是(16,32.4.解:(1)由=,得sinBAC=12,又BC<AC,則BAC<,解得BAC=.所以ACB=,所以ABC的面積S=12×42×4