1、課時提升作業(二十七) 第四章 第四節 平面向量的應用一、選擇題1.(2013·咸陽模擬)已知ABC的頂點坐標為A(3,4),B(-2,-1),C(4,5),D在邊BC上,且SABC=3SABD,則AD的長為()(A)2(B)22(C)32 (D)7222.(2013·吉安模擬)已知a,b,c為非零的平面向量,甲:a·b=a·c,乙:b=c,則甲是乙的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件3.(2013·邯鄲模擬)設P是曲線y=1x上一點,點P關于直線y=x的對稱點為Q,點O為坐標原點,則OP

2、83;OQ=()(A)0(B)1(C)2(D)34.在ABC中,若=AB·BC+CB·CA+BC·BA,則ABC是()(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)等邊三角形5.在平行四邊形ABCD中,點E是AD的中點,BE與AC相交于點F,若EF=mAB+nAD(m,nR),則mn的值為()(A)12 (B)-12(C)2 (D)-26.圓C:x2+y2=1,直線l:y=kx+2,直線l與圓C交于A,B,若|OA+OB|<|OA-OB|(其中O為坐標原點),則k的取值范圍是()(A)(0,7) (B)(-7,7)(C)(7,+) (D)(-,-7)

3、(7,+)7.設E,F分別是RtABC的斜邊BC上的兩個三等分點,已知AB=3,AC=6,則AE·AF的值為()(A)6 (B)8 (C)10 (D)48.(2012·三亞模擬)已知偶函數f(x)滿足:f(x)=f(x+2),且當x0,1時,f(x)=sinx,其圖象與直線y=12在y軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記為P1,P2,則P1P3·P2P4等于()(A)2 (B)4 (C)8 (D)169.在ABC中,若向量m=(2,0)與n=(sinB,1-cosB)的夾角為3,則角B的大小為()(A)56 (B)23 (C)3 (D)610.(能力挑戰題)已知圓O

4、(O為坐標原點)的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點,那么PA·PB的最小值為()(A)-4+2 (B)-3+2(C)-4+22 (D)-3+22二、填空題11.設向量a與b的夾角為,a=(3,3),2b-a=(-1,1),則cos=.12.(2013·許昌模擬)在平面直角坐標系xOy中,點P(0,-1),點A在x軸上,點B在y軸非負半軸上,點M滿足:AM=2AB,PA·AM=0,當點A在x軸上移動時,則動點M的軌跡C的方程為.13.(能力挑戰題)已知開口向上的二次函數f(x)的圖象的對稱軸為x=2,設向量a=(|x+2|+|2x-1|,1),b

5、=(1,2).則不等式f(a·b)<f(5)的解集為.14.在長江南岸渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江,則航向為.三、解答題15.(2013·淮南模擬)已知A,B,C三點的坐標分別為A(3,0),B(0,3),C(cos,sin),其中(2,32).(1)若|AC|=|BC|,求角的值.(2)若AC·BC=-1,求tan(+4)的值.答案解析1.【解析】選C.由題意知,BD=13BC,設D(x,y),則(x+2,y+1)=13(6,6)=(2,2),x=0,y=1,點D的坐標為(0,1),AD=(-3

6、,-3),|AD|=32.2.【解析】選B.由a·b=a·c得a·(b-c)=0,但不一定得到b=c;反之,當b=c時,b-c=0,可得a·(b-c)=0,即a·b=a·c.故甲是乙的必要不充分條件.3.【解析】選C.設P(x1,1x1),則Q(1x1,x1),OP·OQ=(x1,1x1)·(1x1,x1)=x1·1x1+1x1·x1=2.4.【解析】選B.AB·BC+CB·CA+BC·BA=BC·(AB+BA)+CB·CA=CB·CA

7、,-CB·CA=BC·(BC+CA)=BC·BA=0,B=2,ABC為直角三角形.5.【解析】選D.如圖,由條件知AFECFB,故AFFC=AECB=12.AF=13AC.EF=AF-AE=13AC-AE=13(AB+AD)-12AD=13AB-16AD,m=13,n=-16.mn=-2.6.【思路點撥】利用|OA+OB|<|OA-OB|(OA+OB)2<(OA-OB)2進行轉化.【解析】選D.由|OA+OB|<|OA-OB|兩邊平方化簡得OA·OB<0,AOB是鈍角,所以O(0,0)到kx-y+2=0的距離小于22,2k2+1&

8、lt;22,k<-7或k>7,故選D.【方法技巧】向量與解析幾何綜合題的解答技巧平面向量與解析幾何相結合主要從以下兩個方面進行考查:一是考查向量,需要把用向量語言描述的題目條件轉化成幾何條件,涉及向量的線性運算,共線、垂直的條件應用等;二是利用向量解決幾何問題,涉及判斷直線的位置關系,求角的大小及線段長度等.7.【解析】選C.AE·AF=(AB+BE)·(AC+CF)=(AB+13BC)·(AC-13BC)=AB·AC-19|BC|2+13BC·(AC-AB)=29|BC|2=29×(62+32)=10.8.【解析】選B.

9、依題意P1,P2,P3,P4四點共線,P1P3與P2P4同向,且P1與P3,P2與P4的橫坐標都相差一個周期,所以|P1P3|=2,|P2P4|=2,P1P3·P2P4=|P1P3|P2P4|=4.【誤區警示】解答本題時容易忽視P1P3與P2P4共線導致無法解題.9.【思路點撥】利用m,n的夾角求得角B的某一三角函數值后再求角B的值.【解析】選B.由題意得cos3=2sinB2sin2B+(1-cosB)2,即sinB2-2cosB=12,2sin2B=1-cosB,2cos2B-cosB-1=0,cosB=-12或cosB=1(舍去).0<B<,B=23.10.【思路點

10、撥】引入輔助量,利用向量數量積的定義求得PA·PB,再利用基本不等式求最值.【解析】選D.設|PA|=|PB|=x,APB=,則tan2=1x,cos=x2-1x2+1,則PA·PB=x2·x2-1x2+1=x4-x2x2+1=(x2+1)2-3(x2+1)+2x2+1=x2+1+2x2+1-322-3,當且僅當x2+1=2,即x2=2-1時,取“=”,故PA·PB的最小值為-3+22,故選D.11.【解析】a=(3,3),2b-a=(-1,1),b=(1,2),則cos=932×5=31010.答案:3101012.【解析】設M(x,y),由

11、AM=2AB得點B為MA的中點,所以A(-x,0).所以AM=(2x,y),PA=(-x,1).由PA·AM=0得y=2x2.所以軌跡C的方程為y=2x2.答案:y=2x213.【思路點撥】由條件求得a·b,利用單調性將問題轉化為解不等式的問題.【解析】由題意知f(x)在2,+)上是增函數,a·b=|x+2|+|2x-1|+2>2,f(a·b)<f(5)a·b<5|x+2|+|2x-1|<3(*),當x-2時,不等式(*)可化為-(x+2)-(2x-1)<3,x>-43,此時x無解;當-2<x<1

12、2時,不等式(*)可化為x+2-(2x-1)<3,x>0,此時0<x<12;當x12時,不等式(*)可化為x+2+2x-1<3,x<23,此時12x<23.綜上可知不等式f(a·b)<f(5)的解集為(0,23).答案:(0,23)14.【解析】如圖所示,渡船速度為OB,水流速度為OA,船實際垂直過江的速度為OD,依題意知|OA|=252,|OB|=25.OD=OB+OA,OD·OA=OB·OA+,ODOA,OD·OA=0,25×252cos(BOD+90°)+(252)2=0,cos(

13、BOD+90°)=-12,sinBOD=12,BOD=30°,航向為北偏西30°.答案:北偏西30°15.【解析】(1)AC=(cos-3,sin),BC=(cos,sin-3),|AC|=(cos-3)2+sin2=10-6cos,|BC|=10-6sin.由|AC|=|BC|得sin=cos,又(2,32),=54.(2)由AC·BC=-1,得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1,sin+cos=23,sin(+4)=23>0.又由2<<32,34<+4<,cos(+4)=-73.故tan(+4)=-147.【變式備選】已知M(1+cos 2x,1),N(1,3sin2x+a)(xR,aR,a是常數),且y=OM·ON(O為坐標原點).(1)求y關于x的函數關系