1、第 9 章非正弦交流電路學習指導與題解一、基本要求1建立幾個頻率為整數(shù)倍的正弦波可以合成為一非正弦周期的概念。明確一個非正弦周期波可以分解為一系列頻率為整數(shù)倍正弦波之和的概念（即諧波分析）、諧波中的基波與高次諧波的含義。了解諧波分析中傅里葉級數(shù)的應用。2掌握波形對稱性與所含諧波分量的關系。能根據(jù)波形的特點判斷所含諧波的情況。了解波形原點選擇對所含諧波的影響。3掌握非正弦周期電壓和電流的平均值（即直流分量）和有效值的計算。能根據(jù)給定波形計算出直流分量。 能根據(jù)非正弦周期波的直流分量和各次諧波分量，計算出它的有效值。4掌握運用疊加定理和諧波分析計算非正弦交流電路中的電壓和電流的方法。5建立同頻率的

2、正弦電壓和電流才能形成平均功率的概念。掌握運用疊加定理和諧波分量計算非正弦交流電路中和平均功率。二、學習指導在電工技術中，電路除了激勵和響應是直流和正弦交流電和情況外，也還遇到有非正弦周期函數(shù)電量的情況。 如當電路中有幾個不同頻率的正弦量激勵時， 響應是非正弦周期函數(shù)；含有非線性元件的電路中， 正弦激勵下的響應也是非線性的； 在電子、 計算機等電路中應用的脈沖信號波形，都是非正弦周期函數(shù)。因此，研究非正弦交流電路的分析，具有重要和理論和實際意義。本章的教學內(nèi)容可分為如下三部分：1非正弦周期波由諧波合成的概念；2非正弦周期波的諧波分析；3非正弦交流電路的計算。著重討論非正弦周期波諧波分析的概念，

3、非正弦周期量的有效值和運用疊加定理計算非正弦交流電路的方法。現(xiàn)就教學內(nèi)容中的幾個問題分述如下。（一）關于非正弦周期波的諧波的概念非正弦周期波是隨時間作周期性變化的非正弦函數(shù)。如周期性變化的方波、三角波等。這類波形，與正弦波相比，都有變化的周期T 和頻率f，不同的是波形而已。幾個頻率為整數(shù)倍的正弦波，合成是一個非正弦波。反之，一個非正弦周期波f (t ) ，可以分解為含直流分量（或不含直流分量）和一系列頻率為整數(shù)倍的正弦波。這些一系列頻率為整數(shù)倍的正弦波，就稱為非正弦周期波的諧波。其中頻率與非正弦周期波相同的正弦波，稱為基波或一次諧波；頻率是基波頻率2 倍的正弦，就稱為二次諧波；頻率是基波頻率3

4、倍的正弦波，稱為三次諧波；頻率是基波頻率k 倍的正弦波，稱為k 次諧波，k 為正整數(shù)。人們通常將二次及二次以上的諧波，統(tǒng)稱為高次諧波。（二）關于諧波分析的方法在電路分析中，將非正弦周期波的分解，應用傅里葉級數(shù)展開的方法，分解為直流分量（或不含有）和頻率為整數(shù)倍的一系列正弦波之和，稱為傅里葉分析，又稱為諧波分析。一人周期為 T 的函數(shù) f (t ) ，如果滿足狄里赫利條件，則f (t ) 可以展開為如下三角級數(shù)：f (t ) A0( Ak cosk t Bk sin kt)k 1這是一個無窮級數(shù)，由法國人傅里葉（Fourier ）提出來的，故稱為傅里葉級數(shù)。式中A0 ，Ak ， Bk 稱為傅里葉

5、系數(shù)，由如下公式計算得出：A01 T(直流分量 )f (t) dtT 0Ak2 Ttdtf (t )cos kT 0Bk2 Ttdtf (t)sin kT 0A0 是 f (t ) 一周期時間內(nèi)的平均值，稱直流分量。k 1 的正弦波，稱為基波；k 2 的正弦波，稱為二次諧波；k n 的正弦波，稱為n 次諧波。當 k 為奇數(shù)時，稱為奇次諧波；k 為偶數(shù)時，稱為偶次諧波。非正弦周期波的傅里葉級數(shù)展開，關鍵是計算傅里葉系數(shù)的問題。在電工技術中，遇到的非正弦周期波，都滿足狄里赫利條件的，均可展開為傅里葉級數(shù)。常見的非正弦周期波的傅里葉級數(shù)展開式，已在手冊及教材中列出，如下表所示，以供查用。常見非正弦周

6、期波的傅里葉級數(shù)展開式f (t ) 波 形 圖f (x) 傅里葉級數(shù)展開式f (t)Am(1sint2 cos2t2cos4 t)2315 狄利赫利條件：f (t ) 在TT， 或 0， T 區(qū)間，（1）除有限個第一類間斷點外，其余各點22連續(xù)；（ 2）只有有限個極點。f (t ) 波 形 圖f (x) 傅里葉級數(shù)展開式2Am (1222)f (t )cos2 tcos 4 tcos6 t31535f (t )4 A (sin t1 sin 3 t1 sin 5 t)m35f (t)2Am (sint1 sin 22t1 sin 3 t3)f (t) Am11(sin t1sin 2 t1si

7、n 3 t)223f (t )82Am (sint1 sin 39t1 sin 5t25)f (t)811)2 Am (cos tcos3 tcos5 t9254Am (sin sin t11)f (t )sin 3 sin 3 tsin 5 sin 5 t925f (t )3 3 Am ( 11 cos3 t1 cos6 t1 cos9 t)283580（三）關于波形對稱性與所含諧波分量的關系在電工技術中遇到的非正弦周期波，許多具有某種對稱性。在對稱波形中，傅里葉級數(shù)中， 有些諧波分量 （包括直流分量。 因直流分量是k0的零次諧波分量） 不存在。 因此，利用波形對稱性與諧波分量的關系，可以簡

8、化傅里葉系數(shù)的計算。1波形對稱性與諧波分量的關系有如下幾個對稱性與諧波分量的關系有如下幾個對稱性波形及其傅里葉系數(shù)情況。（ 1）偶函數(shù)f (t) 波形對稱于縱坐標，滿足 f (t)= f ( t ) 條件，如圖9-1 所示。則 Bk 0 ，傅里葉級數(shù)中只含 A0 和 Akcosk t 項， k =1， 2， 3， 。亦即這類對稱性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦函數(shù)的諧波分量。（ 2）奇函數(shù)f (t ) 波形對稱于坐標原點，滿足圖 9-1偶函數(shù)波形舉例f (t)f ( t) 條件，如圖9-2 所示。則 A0 0 ， Ak=0，傅里葉級數(shù)中，只含B sin k t 項， k =1， 2，

9、3， 。亦即這類對稱性非正弦周期k波，只含一系列正弦函數(shù)的諧波分量。（ 3）奇半波對稱函數(shù)若 f (t ) 波形移動半周 (T ) 與2原波形成鏡像，即對橫軸對稱，滿足f (t)f (tT ) 條2件。如圖 9-3 所示， f (t) 波形不對稱于縱軸和原點，故它圖 9-2 奇函數(shù)舉例不是偶函數(shù)和奇函數(shù)， 只是移動 (T ) 與原波形對稱于橫軸，則傅里葉系數(shù)中，A0 0 ， Ak 和 Bk 中 k 為奇數(shù)，即2k =1 ， 3， 5， 。這類非正弦周期波只含奇次諧波。所以，這類奇半波對稱函數(shù)f (t ) ，稱為奇諧波函數(shù)。以上是三種對稱波形及其諧波分量情況，下面再介紹半波重疊波和四種雙重對稱性

10、波形及其諧波分量情況。（ 4）半波重疊函數(shù)若 f (t ) 波形移動半波(T )2與原波形重疊，滿足f (t )f (tT ) 條件。如圖 9-42所示， f (t ) 不對稱于縱軸和原點，故它不是偶函數(shù)和奇函數(shù)，只是移動T圖 9-3奇半波對稱波形舉例與原波形重疊。則傅里葉系數(shù)2Ak 和 Bk 中 k 為偶數(shù)，即 k =0，2， 4， 6， 。這類非正弦周期波只含偶次諧波。所以，這類半波重疊函數(shù)，稱為偶偕波函數(shù)。圖 9-4半波重疊函數(shù)波形舉例圖 9-5奇函數(shù)且半波對稱波形舉例（ 5）奇函數(shù)且奇半波對稱若 f (t) 波形滿足 f (t)f (t) 和 f (t )f (tT) 兩個T2條件。如

11、圖 9-5 所示， f (t) 波形對稱于原點，是奇函數(shù)，且移動與原波形對橫軸成鏡2像對稱， 又是奇半波對稱函數(shù)。則傅里葉系數(shù)中 A0 0， Ak0 ， Bk 中 k 為奇數(shù)， 即 k =1，3，5 。傅里葉級數(shù)中只含B sin kt 項的奇次諧波。所以，這類奇函數(shù)且半波對稱波，k只含正弦函數(shù)的奇次諧波。(6) 偶函數(shù)且奇半波對稱f (t ) 波形滿足 f (t)= f (t) 和 f (t )f (tT ) 兩個條件。如圖9-6 所示，2Tf (t) 波形對稱于縱坐標， 是偶函數(shù)， 且移動與原波形2對橫軸成鏡像對稱，又是奇半波對稱函數(shù)。則傅里葉系A0 0 Bk 0 ， Ak 中 k 為奇數(shù)，

12、即 k =1， 3， 5 。傅里葉級數(shù)中只含Ak coskt 項的奇次諧波。 所以，這類偶函數(shù)且奇半波對稱對稱波，只含余弦函數(shù)的奇次諧波。（ 7）偶函數(shù)且半波重疊f (t) 波形滿足 f (t)f (t ) 和 f (t )f (t T ) 兩個條件。T2如圖 9-7 所示， f (t ) 波形對稱于縱軸，是偶函數(shù)，且移動與原波形重疊，又是半波重2疊函數(shù)。則傅里葉系數(shù)中，Bk 0 ， Ak 中 k 為偶函數(shù)，即 k =0 ，2， 4， 6， 。傅里葉級數(shù)中只含 A0 和 Ak coskt 項的偶次諧波。所以，這類偶函數(shù)且半波重疊波，只含余弦函數(shù)的偶次諧波，包含直流分量。（ 8）奇函數(shù)且半波重疊

13、f (t ) 波形滿足 f (t )f (t) 和 f (t )f (tT ) 兩個條件，2如圖 9-8 所示。 f (t ) 波形對稱于原點，是奇函數(shù)，且移動T與原波形重疊，又是半波重2疊函數(shù)。則傅里葉系數(shù)中，A0 0 ， Ak 0 ， Bk 中的 k 為偶數(shù)，即 k =2 ，4，6， 。傅里葉級數(shù)中只含Bk sin kt 項的偶次諧波。所以，這類奇函數(shù)且半波重疊波，只含正弦函數(shù)的偶次諧波。圖 9-7偶函數(shù)且半波重疊波形舉例圖 9-8奇函數(shù)且半波重疊波形舉例 2。非對稱性非正弦周期波諧波分析的簡化計算（ 1）非對稱性非正弦周期波f (t ) ，可以分解為偶部f e (t ) 和奇部 f 0

14、(t) 之和。偶部 f e (t)是對稱于縱軸的偶函數(shù)，奇部f 0 (t ) 是對稱于原點的奇函數(shù)。即f (t )f e (t)f 0 (t)fe(t )1 f (t )f(t)2f0 (t)1 f (t)f(t)2圖 9-9 非對稱性非正弦周期波u(t) 及其偶部 ue (t) 和奇部 u0 (t) 波形圖然后，利用波形的對稱性來簡化傅里葉系數(shù)的計算。例如，如圖 9-9（ a ）所示的非對稱性非正弦周期電壓波u(t) ，它的偶部 ue (t) 為如圖9-9（ b ）所示，是偶函數(shù)且半波重疊波，從上述波形對稱性可知，它的傅里葉級數(shù)只含A0和Ak cosk t 項的偶次諧波。即ue (t )U

15、m2U m 1 cos2 t1 cos4t1 cos6 t31535奇部 u0 (t ) 如圖 9-9( c )所示，它是一正弦函數(shù)，即u0 (t)1U m sint2故非對稱性非正弦周期波u(t ) 的傅里葉級數(shù)展開式為u(t )ue (t ) u0 (t )U mU m sint2U m 1 cos2t231t1cos6tcos41535（ 2）將非對稱性非正弦周期波移動坐標原點位置， 便可提到對稱性波形， 從而可以簡化傅里葉級數(shù)展開式的計算。例如 9-9 ( a )所示非對稱性非正弦周期電壓波u(t ) ,移動T 得出如圖 9-10所示的波形 ,4它對稱于縱軸，是偶函數(shù)，傅里葉系數(shù)中Bk

16、 0，只含 A0 和 Ak ，傅里葉級數(shù)展開式為u (t)U mU m cos t2U m ( 1 cos2t1 cos4t1 cos6 t)231535圖 9-10 偶函數(shù) u (t) 波形圖今若求圖 9-9（ a ）所示非對稱性非正弦周期電壓波u(t) 的傅里葉級數(shù)展開式，可將圖9-10 u (t) 波形移動 T 便可得到。 因此，將上式中的 t 以 tT代入便得出 u(t) 波形的傅里44葉級數(shù)的展開式為u(t ) u (tT )4U mU m cos(tT )2U m 1 cos2(tT )24341 cos4 (tT )1 cos6 (tT )154354U mU m cos( t)

17、2U m 1cos(2t)2231 cos(4 t2)1cos(6t3 )1535U mU m sint2U m 1 cos2t1 cos4 t23151 cos6 t35這一結(jié)果，與u(t ) 分解為偶部 ue(t) 和奇部 u0 (t) 之和的方法分析結(jié)果是相同的。從而可以了解利用波形對稱性分析非對稱性非正弦周期波諧波的方法。還應指出， 坐標原點位置的移動，即可沿橫軸移動，也可沿縱軸移動，以獲得對稱性波形為準。（四）關于頻譜的概念上述傅里葉級數(shù)f (t ) 中，將A coskt和B sin kt合并為一正弦函數(shù)形式為kkf (t ) A0A(kc ok s tBksk i nt)k 1A0

18、(Ck s i nkcko sCkcko s k sti n)k 1C0Cks i nk(tk)k 1式中C0A0AkCk sinkBkCk coskC kAk2Bk2AkkarctgBk上式就是傅里葉級數(shù)三角函數(shù)第二種形式。當然，也可以將Ak cosk t 和 Bk sin k t 合并為一余弦函數(shù)，得出第三種傅里葉級數(shù)的三角形式，即f (t )C0Ckcos(ktk )k 1(a) 振幅頻譜(b) 相位頻譜圖 9-12 振幅頻譜圖和相位頻譜圖為了方便而又直觀地表示一個周期信號包含有哪些諧波分量，各諧波分量所占的比重及它們相互的關系，可以作出頻譜圖來表示和分析。根據(jù)上述第二種或第三種傅里葉級

19、數(shù)三角函數(shù)形式，作出振幅頻譜和相位頻譜兩種頻譜圖。振幅頻譜，是將非正弦周期函數(shù)中各次諧波振幅值C k 按角頻率依次分布的圖形，縱坐標表示振幅 Ck ，橫坐標則表示角頻率 k ，振幅頻譜圖如圖9-12（ a ）所示。以各次諧波的相位 k 為縱坐標，以角頻率 k 為橫坐標，作出相位頻譜圖，如圖9-12（ b ）。在頻譜圖中，對應于某一角頻率的表示振幅大小和相位的垂直橫坐標的線段，稱為譜線。 每條譜線的高度表示一個諧波分量的振幅值和初相位。周期函數(shù)的頻譜具有如下的特性：（ 1）頻譜是由一系列不連續(xù)的譜線組成， 稱為不連續(xù)頻譜或離散頻譜。 頻譜的這種性質(zhì)，稱為離散性。（ 2）每條譜線只出現(xiàn)在基波角頻率

20、及其整數(shù)倍角頻率k上，相鄰譜線間的間隔等于基波角頻率。頻譜的這種性質(zhì)，稱為譜波性。（ 3）振幅頻譜中，各條譜線的高度，隨角頻率的增加而減小，當角頻率無限增大時，譜線的高度就無限減小，頻譜逐漸收斂。振幅頻譜的這種性質(zhì)，稱為收斂性。周期函數(shù)信號的頻譜，在信號的分析中，具有重要的理論與實際的意義。（五）關于非正弦周期波的直流分量與有效值1直流分量非正弦周期波 f (t) 的直流分量，就是在一個周期T 時間內(nèi)， f (t ) 的平均值，即A01 Tf (t )dtT 0（ 1）對稱于原點的非正弦周期波，沒有直流分量。即f (t ) 在一個周期中，正、負半周所包含的面積相等，上式積分為零，A00 。這類

21、非正弦周期函數(shù)有：奇函數(shù)波、奇半波對稱的奇諧波函數(shù)波、偶函數(shù)且奇半波對稱波和奇函數(shù)且半波重疊波等。（ 2）偶函數(shù)波、半波重疊偶諧波和偶函數(shù)且半波重疊波等，上式積分不為零，A00 ，均有直流分量。 A0 可以通過在一個周期中正、負半周所包含面積之差來進行計算。2有效值周期函數(shù) f (t ) 的有效值定義式為TF 1 f 2 (t)dt T 0設非正弦周期電流為 iI 0I km sin(ktk )代入上式，得f (t ) 的有效值為k 1I1 TI0I km sin( ktk ) 2 dt（ 1）T 0k 1將上式展開的幾項積分為T1 I 02dtI 02T 01 TI km2sin2 (k t

22、 k )dtI k2k1 T 0k 1式中， I kI km ， k 次諧波分量的有效值。21T0 I km sin(ktk )dt 0T2Ik 101 T I kmI qm sin(ktk ) sin(q tq )dt 0k 1T 0q 1k q將上述結(jié)果代入（1）式中，便得非正弦周期電流i 的有效值為II 02I k2k1上式導出中，應用了如下三角數(shù)組的正交性，即式II 02I k2sin kxdx0k 1 , 2 ,3 ,k1sin kxsin qdx0k q , k , q1, 2,3,sin 2kxdxk1,2,3,同理，非正弦交流電壓u 的有效值則為22UU 0U k表明： 非正弦

23、周期量的有效值，是直流分量和各次諧波分量有效值平方和的開方。（ 6）關于非正弦周期電流電路中電壓和電流的計算非正弦交流電源激勵的線性電路中，電壓和電流的分析，可按如下步驟進行計算。（ 1）將非正弦周期激勵電壓或電流， 應用傅里葉級數(shù)分解為直流分量（或不含有）和各次諧波分量之和。 由于電工技術中所遇到的非正弦周期量，一般都可以展開為傅里葉級數(shù)形式，而且傅里葉級數(shù)都是收斂的，頻率越高的諧波振幅越小，因此，較高次諧波因振幅很小而可以忽略不計。所以， 對非正弦周期函數(shù)電量進行傅里葉級數(shù)展開時，一般只取接近基波分量的前幾項，所取的項數(shù)多少，應視所要求的準確度而定。（ 2）分別計算出直流分量和各次諧波分量

24、單獨作用時， 電路中的電壓和電流分量。 直流分量單獨作用時，電路中各次諧波分量均置零，作出直流穩(wěn)態(tài)電路，這時電感相當于短路，電容相當于開路。按直流電阻電路分析方法進行計算，求出待求支路中的電壓和電流分量。每一諧波分量單獨作用時，按正弦交流電路分析的相量法進行計算。這時對于 k 次諧波，相量模型中， 感抗是 X Lk kL ，容抗是 X Ck1k。最后應將分析計算所得的待求支路C相量形式的電壓和電流分量，變換時域正弦量的瞬時值表達式。（ 3）應用疊加定理將各分量單獨作用時， 所計算的結(jié)果進行疊加， 求它們的代數(shù)和，便求出線性電路在非正弦周期函數(shù)電源激勵下所求支路的電壓和電流。應該注意的是， 疊加

25、時應按瞬時值表示式不進行。因各次諧波的頻率不同，故不能用相量進行疊加。（七）關于非正弦交流電路平均功率的計算若一個二端網(wǎng)絡，端口的非正弦周期電壓和電流分別為u(t )U 02Uksin( ktuk )k 1i (t)I 02I k sin( k tik )k 1則二端網(wǎng)絡吸收的平均功率為P U0I0U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 U 3I 3 cos 3U 0I0U k I k cos kk 1式中，kukik表明：（1）非正弦交流電路的平均功率，等于直流分量功率和各次諧波平均功率之和。非正弦交流電路中，不同頻率的各次諧波平均功率滿足疊加性，而在直流電路和單一頻率多電源正弦

26、交流電路的有功功率不滿足疊加性。（ 2）非正弦交流電路中， 同次諧波電壓和電流形成平均功率， 而不同次諧波電壓和電流不形成平均功率。這是由于三角函數(shù)的正交性所決定的。本章學習的重點內(nèi)容是，非正弦周期波諧波分析的概念，非正弦周期量有效值的計算和非正弦交流電路中電壓和電流以及平均功率的計算。三、解題指導（一）例題分析例9-1波形對稱性與所含諧波分量情況的分析。如圖9-12（ a ）所示僅為非正T弦周期波的的波形，試分別給出如下函數(shù)一個完整周期的波形。（ 1） f (t ) 為偶函數(shù)且只含奇次諧波；（ 2） f (t ) 為奇函數(shù)且只含偶次諧波；f ( t )1f ( t )10Tt0 TtTT4T

27、2442(a)(b)(c)圖 9-13 例 9-1 波形圖解解題思路 利用波形的對稱性與所含諧波的關系，偶函數(shù)波形對稱于縱軸；T奇函數(shù)波形對稱于原點；奇諧波函數(shù)的波形必是奇半波對稱，即波形移動與原波形成2鏡像對稱； 滿足 f (t)f (tT ) 的條件； 偶偕波函數(shù)的波形必是半波重疊函數(shù)，即波形移2動T與波形重疊， 滿足 f (t )f (tT ) 的條件。 根據(jù)以上波形對稱性與所含偕波的關系，22便可在給出 T 波形條件下，繪出整個一周期的波形。4解題方法 （ 1） f (t ) 為偶函數(shù)且只含奇次諧波。第一步，在坐標圖上先作出如圖 11-13（ a ）所示的 (0T ) 區(qū)間的 T 波形

28、；第二步，根據(jù)f (t) 是偶函數(shù)，作出對稱于縱軸44(0T ) 區(qū)間的 T 波形；第三步，根據(jù)f (t ) 只含奇次諧波是奇半波對稱，對已作出的波44T形移動與橫軸成鏡像對稱，作出整個周期的波形，如圖9-13（ b ）所示。22）f (t)為奇函數(shù)且只含偶次諧波。 第一步，在坐標圖上作出如圖9-12(0)（ a ）所示T4區(qū)間的 T 周期的波形； 第二步，根據(jù) f (t) 是奇函數(shù)， 作出對稱于原點(0T)區(qū)間的 T 波444形；第三步，f (t) 只含偶次諧波是半波重疊函數(shù)，對已作出的波形移動T，與原波形重29-13（ c ）所示。疊作出整個周期的波形，如圖例 9-2非正弦周期電流電路的計

29、算。 如圖 9-14 所示電路， u(t )45180 sin 10t60 sin 30t30sin 50t V 。求電流 i(t) 及其有效值 I 和電路吸收的平均功率 P 。解解題思路（ 1）首先，運用疊加定理，分別計算出輸入電壓各諧波分量單獨作用時的電流分量。然后，在時域進行疊加，求出輸入電流i(t) ；（ 2）按非正弦函數(shù)由諧波分量計算有效值的公式，計算出i (t ) 的有效值 I ；（ 3）按相同次數(shù)諧波電壓和電流及其相位差計圖 9-14算出各次諧波的平均功率，最后疊加得出電路吸收的平均功率。解題方法（ 1）計算輸入電流i(t)當直流分量電壓單獨作用時，電路的導納為Y01113310

30、S30故輸入直流分量電流為I 0Y0U 01345 19.5 A30基波電壓分量單獨作用時，電路導納為Y j131+j10 103 10 610j40.10.12j 0.16j 0.010.22j 0.150.26618.3S故基波電流為i1(t)47.88sin(10 t18.3 ) A三次諧波電壓單獨作用時, 電路的導納為故三次諧波電流為i3 ( A)10.81sin(30 t3.2 ) A五次諧波電壓單獨作用時, 電路的導納為i5 (t )3.39sin(50 t21 ) A進行疊加求出端口輸入電流為i (t )19.547.88sin(10 t18.3 )10.81sin(30 t3.

31、2 )3.39sin(50 t21 ) A(2) 計算電流 i(t ) 的有效值為II 02I 12I 32I 5219.52( 47.88)2(10.81)2(3.39)2222380.251146.2556.435.7538.85A(3) 計算電路吸收的平均功率PU 0 I 0 U1 I1 cos 1U 3I 3 cos 3U 5I 5 cos 54519.51 (18047.88)cos18.31 (6010.81)22cos( 3.2 )13.39)cos(21 )(302877.54093.74323.8147.155342.2 W(二)部分練習題解答練習題 11-2圖 9-1 (

32、a )所示方波，如果把縱軸向右平移至t0.5 s處，波形如圖9-5 所示。試利用圖9-2，寫出該方波的傅里葉級數(shù)。解利用圖 9-2，可寫出圖9-1 ( a )所示方波的傅里葉級數(shù)為f (t )4sint11sin 5tsin 3t35現(xiàn)將圖9-1 ( a )所示方波的縱坐標向右平移至t0.5 s 處，得出如圖 9-5 所示方波。因周期 T2 s，故 t0.5s處是，以 (t2) 代入上式便得出圖9-5 所示方波的傅里葉級數(shù)2為f (t )4sint1sin 3t1t3sin 554sin(t)1sin 3(t)1(t)3sin 522524sin(t90 )1(3t1sin(5t 90 )si

33、n270 )354costcos3t1 cos5 t5或f (t )( 1)k 1cos(2k 1) tk 12k 1練習題9-5 試說明圖 9-13 所示三角波原點分別選在ba ， ，c 三點所含諧波成分有何不同？解（ 1）三角波原點選在 a 點，波形對稱于縱軸，是偶函數(shù)，則Bk0 ；且波形移TAk cosk t動，與原波形成鏡像， 又是奇半波對稱， 只含奇次諧波。 因此，三角波是2項的奇次諧波。（ 2）三角波原點選在b 點，波形不對稱于縱軸，也不對稱于原點，不是偶函數(shù)也不是T奇函數(shù)。而波形移動，與原波形成鏡像對稱，故它是奇半波對稱，這時三角波是含2Ak coskt 和Bk sin k t

34、的奇次諧波，即k =1， 3， 5， 。（ 3）三角波原點選在c 點，波形對稱于原點， 是奇函數(shù)， 則 Ak0 ；且波形移動T，2與原波形成鏡像對稱，又是奇半波對稱函數(shù)，只含奇次諧波。因此，三角波是只含B sin kt 項的奇次諧波。k練習題 9-7施加以二端口網(wǎng)絡的電壓uab (t)100100cost30cos3 t V ，流入 a端口的電流 i (t)50cos(t 45 )10sin(3t60 )20cos5t A 。求：（1） uab 的有效值；（ 2） iab 的有效值；（ 3）平均功率 P 。解（ 1） U ab1002(100)2(30) 2124.3V22（ 2） I ab(

35、50)2(10)2( 20)238.73A222（3） P1 (100 50)cos 451 (3010)cos1501637.86 W22（三）部分習題解答9.115方波電壓的峰谷值為20 V ，若濾去其三次諧波。試繪出波形圖，問所得波形的峰谷值是多少？解如圖 9-1（ a ）所示方波電壓，峰谷值為20 V ，它的傅里葉級數(shù)為u(t )401 sin k t Vk 1 k三次諧波電壓為u3 (t )40 sin 3t 4.24sin 3t V3濾去 u3(t) 后，電壓波形表達式為u (t ) u(t)u3 (t )40 1 sin kt 4.24sin 3t 作出波形圖，如圖9-15 所示

36、。從k 1 k圖中可見， u (t) 的峰谷值為 28.28 V 。9.12電路圖如圖題9-4 所示， us1 (t)cost V ， us2 (t )cos2t V 。（ 1）計算電路中的電流 i(t) ；（ 2）電流 i (t) 的有效值是多少；（ 3）計算電阻消耗的平均功率；（ 4）計算 us1(t) 單獨作用時電阻消耗的平均功率；（ 5）計算 us2 (t) 單獨作用時電阻消耗的平均功率；（ 6）由（ 3），（4），（ 5）的計算結(jié)果，能得出什么結(jié)論？解 （ 1）計算電路中的電流 i (t)當 us1 (t) 單獨作用時，1rad /s ， i1 (t ) 的振幅相量為i1(t )0.277 cos(t33.77 ) A圖 9-15習題 9.11 第 5 題波形圖當 us2 (t ) 單獨作用時，2rad / s ， i2 (t ) 的振幅相量為i2 (t)0.2cos(2 t53.13 ) A解出i (t ) 0.277cos( t33.77 ) 0.2cos(2 t 53.13 ) A（ 2）計算電